高凱歌，鄭向偉

（1.山東師范大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 濟南250014；2.山東省分布式計算機軟件新技術(shù)重點實驗室，山東 濟南250014）

0 引 言

2008年，美國學(xué)者 Dan Simon在IEEE Transactions on Evolutionary Computation提出了一種新型的基于種群的仿生智能優(yōu)化算法——生物地理學(xué)優(yōu)化算法 （biogeographybased optimizer，BBO）。BBO算法模擬了自然界中生物種群的動態(tài)變化，即物種在棲息地上的分布、遷移、繁殖、滅絕的過程。

由于BBO的遷移算子采用已知的棲息地替換策略，所以新的棲息地的精確度受到限制，導(dǎo)致BBO算法收斂速度慢。另一方面，受到變異策略的影響，BBO容易陷入局部最優(yōu)解，以致難以獲得真正最優(yōu)解。MCBBO算法從新的角度對BBO算法的兩個核心算子——遷移算子和變異算子進行改進，即把中值定理應(yīng)用在遷移算子，把柯西變異應(yīng)用在變異算子中，提出一種基于中值遷移和柯西變異的MCBBO算法。在仿真實驗中，通過四個基準函數(shù)驗證了MCBBO算法更有優(yōu)勢：MCBBO得到的解比BBO、PSO和GA的解更加接近理論最優(yōu)解，而且MCBBO算法的收斂速度更快。

1 BBO算法和相關(guān)研究

1.1 BBO算法

BBO算法思想來源于生物種群在自然界中的動態(tài)變化過程［1］。大環(huán)境是在一個小生態(tài)系統(tǒng)中存在多個棲息地。若是其中某個棲息地的環(huán)境十分適合生物的生存和繁殖，表示該棲息地有較高的棲息地適宜度指數(shù)；反之，則表示這個棲息地有較低的適宜度指數(shù)。與棲息地適宜度指數(shù)相關(guān)的因素有許多，每種因素的變化都會改變棲息地的環(huán)境，進而對該棲息地物種分布和遷移等產(chǎn)生某種程度的影響。概括說來，棲息地適宜度指數(shù)和生物種群數(shù)量的關(guān)系是：具有高適宜度的棲息地相對來說可以容納較多的物種，具有較低適宜度的棲息地則只能容納較少的物種。所以，棲息地的適宜度和該棲息地的物種數(shù)量成正比。

BBO算法中的術(shù)語和定義包括如下幾個［2－3］。

（1）生態(tài)系統(tǒng)：數(shù)學(xué)模型中的最大范圍。

（2）棲息地 （Hi，i＝1，2，…，n）：生態(tài)系統(tǒng)中包含若干棲息地，每個棲息地可被看作一個相對獨立的物種生存區(qū)域。數(shù)學(xué)模型中物種之間的遷移操作是以棲息地為界的。

（3）棲息地適宜度指數(shù) （HSI）：用數(shù)值衡量棲息地是否適合物種的生存和發(fā)展。

（4）適宜度指數(shù)變量 （SIV）：每個變量都是影響棲息地的一個因素，采用整數(shù)表示。

（5）適宜度指數(shù)向量 （SIVs）：一個采用整數(shù)編碼的d－維向量表示整個優(yōu)化問題的一個可行解。

（6）遷入率 （λ）：棲息地被更改的概率。

（7）遷出率 （μ）：棲息地被作為信息引入源的概率。

（8）變異率 （Pmod）：棲息地發(fā)生變異的概率。

（9）遷移算子：根據(jù)棲息地的遷入率、遷出率以及遷移策略，進行遷移操作。

（10）變異算子：根據(jù)棲息地的變異率以及變異策略，進行變異操作。

1.2 相關(guān)研究

已有不少針對BBO研究和改進。文獻 ［4］提出一類基于物種遷移優(yōu)化的進化算法，比較分析了SMO與其他智能算法的優(yōu)缺點，其仿真實驗結(jié)果表明這類算法是有價值的。文獻 ［5］提出了BBO算法優(yōu)化過程中可以采用4種遷移模型，并分別測試了這4中遷移模型的性能。文獻［6］提出6種生物遷移模式，測試得到采用新遷移策略的BBO算法的性能得到了提高。文獻 ［7］給出一種結(jié)合精英策略的BBO算法，實驗結(jié)果表明對于該算法的適用問題來說，結(jié)合精英策略的BBO算法性能是有明顯改進的。文獻［8］將進化策略應(yīng)用于BBO算法，并采用一種新的遷移拒絕方法。文獻 ［9］利用DE算法的差分進化算子改進BBO算法的遷移算子，基準函數(shù)的測試結(jié)果表明改進后的算法性能同時優(yōu)于DE算法和BBO算法。文獻 ［10］引入對立學(xué)習(xí)機制 （OBL），提出了OBBO算法，仿真實驗結(jié)果表明OBBO比BBO表現(xiàn)的更優(yōu)秀。

總體而言，BBO算法在算法的收斂速度和擺脫局部最優(yōu)的能力仍然不夠理想。

2 基于中值定理和柯西變異的生物地理學(xué)優(yōu)化算法

2.1 基于中值定理的遷移算子

BBO算法通過遷移算子來實現(xiàn)棲息地之間的信息共享，進而更新棲息地得到更大更豐富的解集合，以便優(yōu)化過程結(jié)束后得到更優(yōu)解?？紤]到使用中值定理可以擴大信息源的范圍，信息源就不會僅局限于某個已存在的解，這樣理論上得到更優(yōu)解的可能性就大了。下面在三維立體空間中說明中值定理擴大引入信息源的原理。

將解的形式定義為 （x，y，z）。假設(shè)A：（x1，y1，z1）已確定要進行遷移操作，B：（x2，y2，z2）則是信息的來源。若是在進行遷移操作時，僅簡單的用B：（x2，y2，z2）中的變量依概率替換掉A：（x1，y1，z1）中的變量，顯然得到的解集只有8個元素。現(xiàn)在使用 ［0，1］之間的3個隨機實數(shù)：α1，α2，α3，分別作為3個對應(yīng)變量的系數(shù)。依概率用α1x1＋（1－α1）x2，α2y1＋ （1－α2）y2，α3z1＋ （1－α3）z2分別替換A：（x1，y1，z1）中的變量x1，y1，z1。這樣，信息的來源就不僅局限在有限的幾個變量，而是有無數(shù)種可能。

2.2 基于柯西分布的變異算子

突變是指生物的生存環(huán)境在短時間內(nèi)發(fā)生了急劇的變化，如由瘟疫疾病、自然災(zāi)害等原因?qū)е聴⒌丨h(huán)境發(fā)生徹底改變。突變操作豐富了解集合，提高了找到更優(yōu)解的可能性。在原有變異算子的基礎(chǔ)上提出一種新的、基于柯西隨機數(shù)的變異算子，即在進行變異操作時得到的隨機數(shù)是服從柯西分布的。

由于柯西分布函數(shù)的概率分布特性：在水平方向上越接近水平軸，變化得越緩慢。因此柯西分布可以看作是無限的，它產(chǎn)生一個遠離原點的隨機數(shù)的概率高于正態(tài)分布，所以產(chǎn)生的隨機數(shù)有更大的分布范圍。這意味著在優(yōu)化過程中陷入局部極值后，利用柯西變異更有可能跳出局部極值。

對確定發(fā)生變異的棲息地Hi的狀態(tài)：Xi＝ （xi，1，xi，2，……，xi，d）做 柯 西 變 異， 定 義 是：Xi＇ ＝ Xi ＋Xi＇＊Cauchy（0，1）。其 中，Cauchy （0，1）是 標 準 柯西分布。

2.3 MCBBO算法

MCBBO算法具體步驟如下：

步驟1 初始化算法參數(shù)。包括最大物種容納數(shù)量Smax、遷移率Pmod、最大遷入率Imax、最大遷出率Emax和最大變異率Mmax。

步驟2 初始化一組棲息地向量。每個向量都是問題的一個可行解。

步驟3 根據(jù)映射關(guān)系f：SIVs—＞HSI，將每一個棲息地向量對應(yīng)的SIVs映射到HSI。并判斷是否滿足程序終止條件，若滿足則輸出最優(yōu)解，退出程序，否則繼續(xù)步驟4。

步驟4 對于每一個棲息地，計算其遷入率和遷出率，根據(jù)結(jié)合中值定理的遷移算子修改棲息地，進行相關(guān)計算。

具體遷移過程為：①設(shè)定棲息地的全局遷移率Pmod，范圍是 ［0，1］。由全局遷移率Pmod決定棲息地是否進行遷移操作，即，信息的引入。例如，我們設(shè)Pmod＝1，說明每個棲息地都會被更新。若設(shè)Pmod＝0.5，說明棲息地有一半的概率會被更改。②循環(huán)判斷每個棲息地是否被選中做遷移操作。若第i個棲息地Hi被選中，利用Hi的遷入率λi判斷決定Hi的棲息地向量SIVs每個變量是否發(fā)生更改。λi是 ［0，1］之間的實數(shù)，由公式λk＝Imax＊（1－k／Smax）［1］求得。③循環(huán)判斷棲息地Hi的每個變量是否被選中做遷移操作。若棲息地Hi的第k個變量Hi，k已被選中，根據(jù)所有其它棲息地Hi（i?。絡(luò)）的遷出率μj，利用輪盤選擇法或其它方法以決定是引入了哪個棲息地的信息。假如，得到是第j個棲息地Hj。遷出率μ是由公式μk＝Ek／Smax得到。至此，可以確定被引入信息的來源。④為了擴大解的范圍，在確定了信息的來源之后，不再是用源的對應(yīng)變量替換發(fā)生遷入的變量 （即Hj，k替換Hi，k），而是結(jié)合α系數(shù)－中值定理，用α1x1＋（1－α1）x2，α2y1＋（1－α2）y2，α3z1＋（1－α3）z2分別替換相應(yīng)變量。

步驟5 根據(jù)柯西變異算子更新棲息地，并進行相關(guān)計算。

具體變異過程為：①設(shè)定棲息地最大變異概率Mmax。例如，Mmax＝0.005，說明所有的可行解發(fā)生突變的最大概率為0.005。②根據(jù)棲息地Hi的適宜度向量SIVs，可以得到該棲息地的相關(guān)數(shù)據(jù)，包括種群數(shù)量si。根據(jù)公式

可得到棲息地Hi種群數(shù)量為si的概s率P（si）。根據(jù)公式mi＝Mmax＊（1－P（si）／Pmax）［1］可以得到此時 Hi的變異概率mi。由mi決定Hi是否發(fā)生變異操作。③假設(shè)Hi已被選中發(fā)生變異操作。采用柯西變異算子，即用Xi′＝Xi＋Xi＊Cauchy（0，1）來替換隨機得到的棲息地向量Xi″。

步驟6 轉(zhuǎn)至步驟3進行下一次迭代過程。

3 仿真實驗

3.1 實驗準備

仿真實驗部分對4種仿生智能優(yōu)化算法：MCBBO、基本BBO、PSO和GA進行比較，通過4個代表性的測試函數(shù)驗證MCBBO算法的性能。為了提高實驗結(jié)果的可靠性，選取了在函數(shù)極值個數(shù)、極值點分布方面有代表性的4個函數(shù)作為測試函數(shù)：Sphere、Rosenbrock、Fletcher、Griewank四個函數(shù)，分別記為1—4號函數(shù)。

算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置。種群大小，n＝20；解向量維度，d＝20；遷移率，Pmod＝1；最大突變概率，Mmax＝0.005；一次實驗中算法迭代次數(shù)，Generation＝50。

3.2 實驗結(jié)果

在Matlab7.6中完成仿真實驗。表1是進行100次Monte Carlo實驗得到的結(jié)果，包括極小值、平均值、最大極小值。最小值代表了算法的最優(yōu)性能，平均值量化了算法的平均性能，最大極小值則是反映了算法求極小值的最壞性能。其中加粗顯示的數(shù)據(jù)是比較4種優(yōu)化算法結(jié)果得到的最優(yōu)解。圖1和圖2分別是得到每種算法基于Fletcher函數(shù)和Griewank函數(shù)，得到平均極小值的優(yōu)化過程曲線。

3.3 結(jié)果分析

由表1可知，經(jīng)過100次Monte Carlo實驗的驗證，在求四個測試函數(shù)的極小值、平均極小值和最大極小值的算法性能上，MCBBO優(yōu)于PSO和GA。同時，MCBBO算法在求函數(shù)Sphere、Rosenbrock和Griewank的極小值，求函數(shù)Sphere、Rosenbrock和Griewank的平均極小值，求函數(shù)Rosenbrock、Fletcher和Griewank的最大極小值上優(yōu)于基本BBO算法?；綛BO算法只在求Fletcher函數(shù)的極小值，求Fletcher函數(shù)的平均極小值，求Sphere函數(shù)的最大極小值上略有優(yōu)勢。所以，采用MCBBO算法求解4種測試函數(shù)，相較于其它算法更加接近理論上的最優(yōu)極值。

表1 算法極值 （A：algorithm V：value F：function）

由圖1和圖2可知，MCBBO算法的收斂過程曲線比其它算法的收斂過程更穩(wěn)定，收斂速度也更快。

以上兩點結(jié)論表明，將中值定理應(yīng)用到遷移算子，將柯西變異應(yīng)用到變異算子確實在一定程度上提高了BBO算法的性能，所以MCBBO算法是有效的。

4 結(jié)束語

本文通過將中值定理應(yīng)用到BBO算法的遷移算子、將柯西變異應(yīng)用到變異算子，改進基本BBO算法，提出MCBBO算法。MCBBO算法希望把遷移算子結(jié)合中值定理從而擴大引入信息的來源，將變異算子結(jié)合柯西變異以達到即使在優(yōu)化過程中一時陷入局部最優(yōu)也能盡快跳出局部最優(yōu)目的。在Matlab7.6中通過4個測試函數(shù)進行的仿真實驗結(jié)果顯示，與基本BBO、PSO、GA相比較，無論在獲得最優(yōu)極值和多次Monte Carlo實驗得到的平均值與理論上最優(yōu)極值的相近程度上，還是算法的收斂速度上，MCBBO算法都更有效。

目前，MCBBO算法還有待進一步研究完善。包括，在實現(xiàn)上是受某些條件限制，選擇采用的遷移模型是最簡單、最利于實驗實現(xiàn)的線性模型；對一些參數(shù)值的設(shè)定只是確定它在某個合理有效的范圍內(nèi)，并不能保證這里所設(shè)定的參數(shù)數(shù)值能最大限度的發(fā)揮算法優(yōu)勢。

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