李 濱 鐘文斌 林飛振 / 廣州計(jì)量檢測(cè)技術(shù)研究院

0 引言

振弦式傳感器是目前國(guó)內(nèi)外普遍重視和廣泛應(yīng)用的一種非電量電測(cè)的傳感器。由于振弦式傳感器直接輸出的是自振頻率信號(hào)，不會(huì)因?qū)Ь€電阻的變化、溫度波動(dòng)的變化而引起信號(hào)的明顯衰減，具有性能穩(wěn)定、抗干擾能力強(qiáng)、零點(diǎn)漂移小、耐震和壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)，因此受到工程界的廣泛關(guān)注。到20世紀(jì)70年代，隨著現(xiàn)代電子技術(shù)、材料和制造工藝技術(shù)的進(jìn)步，振弦式傳感器技術(shù)得到了完善并真正能滿足工程應(yīng)用的要求。近年來已被大量運(yùn)用于大壩[1-2]、隧道[3]、礦井[4]、道路橋梁[5]、地基基礎(chǔ)[6]、船舶應(yīng)力[7]等的受力狀況的測(cè)試和長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，有著十分廣闊的應(yīng)用和發(fā)展前景。

振弦式傳感器的精度直接影響測(cè)試的數(shù)據(jù)是否準(zhǔn)確、可靠進(jìn)而影響工程的質(zhì)量和安全。其精度的高低不僅與材料和制作工藝有關(guān)，還與其采用的數(shù)學(xué)模型有著重要的關(guān)系，王學(xué)水、白泰禮、于鳳等人[8-11]對(duì)振弦式傳感器都提出了相同的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)這一模型進(jìn)行了驗(yàn)證，使振弦式傳感器的擬合精度得到提高。國(guó)內(nèi)外的一些學(xué)者也提出了一些其他的數(shù)學(xué)模型來提高振弦式傳感器的擬合精度。

本文根據(jù)國(guó)內(nèi)外的資料總結(jié)歸納了幾種振弦式傳感器的數(shù)學(xué)模型，以振弦式應(yīng)變計(jì)測(cè)量得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析比較各數(shù)學(xué)模型及其計(jì)算方法優(yōu)缺點(diǎn)和對(duì)振弦式應(yīng)變計(jì)擬合精度的影響，為振弦式應(yīng)變計(jì)擬合精度的提高提供借鑒。

1 振弦式應(yīng)變計(jì)的工作原理

主要有單線圈激勵(lì)方式（間歇觸發(fā)激振）和雙線圈激勵(lì)方式（等幅連續(xù)激振）。單線圈激勵(lì)方式的工作原理是激勵(lì)線圈既激勵(lì)弦產(chǎn)生振動(dòng)也接收弦的振動(dòng)所產(chǎn)生的激勵(lì)信號(hào)，雙線圈激勵(lì)方式是一個(gè)線圈激勵(lì)，一個(gè)線圈接收。除了線圈外，傳感器還帶有一個(gè)熱敏電阻，用以測(cè)試傳感器周圍環(huán)境溫度，以便進(jìn)行溫度修正（見圖1）。

圖1 振弦式應(yīng)變計(jì)

一根鋼絲弦固定在具有保護(hù)和支撐作用的應(yīng)變筒內(nèi)，此時(shí)鋼絲弦具有一定的固有頻率。把振弦式應(yīng)變計(jì)固定在結(jié)構(gòu)物的表面或內(nèi)部。當(dāng)結(jié)構(gòu)物內(nèi)部的應(yīng)力發(fā)生變化時(shí)，鋼絲弦與應(yīng)變筒同步感受結(jié)構(gòu)物的變形，鋼絲弦的應(yīng)力發(fā)生變化，固有頻率隨之變化。通過測(cè)試弦的固有振動(dòng)頻率就可以確定其內(nèi)部張力的變化（與結(jié)構(gòu)應(yīng)變相關(guān)聯(lián)），通過測(cè)量鋼絲弦固有頻率的變化，就可以測(cè)出結(jié)構(gòu)物應(yīng)變，振弦式應(yīng)變計(jì)就是根據(jù)這一原理制成的。由振動(dòng)理論得知其鋼絲弦固有頻率與所受應(yīng)力之間的關(guān)系可表示為

式中；f — 鋼絲弦的自振頻率；

σ — 鋼絲內(nèi)部拉或壓應(yīng)力；

L — 鋼絲弦長(zhǎng)度；

ρ — 鋼絲弦線密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)

由（1）式可以得到

式中：k = 4ρL2；

f0：初始頻率，Hz；f：當(dāng)前頻率，Hz；

σ0：初始應(yīng)力，MPa；σ：當(dāng)前應(yīng)力，MPa

由于振弦式應(yīng)變傳感器的應(yīng)變筒與其中鋼絲弦變形協(xié)調(diào)，應(yīng)變?cè)? 減)量相同。設(shè)應(yīng)變筒的應(yīng)變?cè)隽繛棣舎，鋼絲弦的應(yīng)變?cè)隽繛棣舋，

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型一

式（3）是國(guó)標(biāo)GB/T 3408.2-2008《大壩監(jiān)測(cè)儀器應(yīng)變計(jì)》中采用的一般計(jì)算模型（在不考慮溫度的影響下）。國(guó)內(nèi)生產(chǎn)振弦式應(yīng)變傳感器的廠家在其出廠檢驗(yàn)報(bào)告中也都一直使用這個(gè)模型來計(jì)算應(yīng)變量。其標(biāo)定系數(shù)K值的確定有以下三種方法。

1）總量均值法

2）增量均值法

3）最小二乘法

2.2 模型二

假設(shè)給定一組標(biāo)定用數(shù)據(jù) {εi，fi} i=1，2，3，…，N。可用多種數(shù)學(xué)式進(jìn)行擬合。例如：多項(xiàng)式、牛頓插值多項(xiàng)式、以及三次插值樣條函數(shù)等。從振弦式應(yīng)變計(jì)原理推導(dǎo)的模型計(jì)算式（3）中可以看出，應(yīng)變量與頻率是二次項(xiàng)關(guān)系，故可假設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)的二次拋物線模型：

其中，系數(shù)a、b、c可以由相應(yīng)的計(jì)算軟件直接得出。

2.3 模型三

王學(xué)水、白泰禮等人從振弦式傳感器的原理出發(fā)，提出了一個(gè)新穎的振弦式傳感器數(shù)學(xué)模型：

其中系數(shù)A、B可由最小二乘法確定

2.4 模型四

國(guó)外的一些技術(shù)資料中采用多項(xiàng)式回歸衰減的方法來計(jì)算變化量[12]，

其中系數(shù)α、β由以下兩式給出

3 計(jì)算分析

本文以澳大利亞生產(chǎn)的振弦式應(yīng)變計(jì)（1#）為例，對(duì)其進(jìn)行標(biāo)定得到一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)（見表1），利用該數(shù)據(jù)分別對(duì)上述四個(gè)模型和計(jì)算公式進(jìn)行比較分析，得到各個(gè)數(shù)學(xué)模型和計(jì)算公式的擬合精度誤差曲線圖（見圖2）。

表1 1#應(yīng)變計(jì)標(biāo)定數(shù)據(jù)

圖2 各計(jì)算式的絕對(duì)誤差曲線（1#）

從圖2中可見利用式（4）、（5）、（6）與式（3）結(jié)合計(jì)算擬合出來的誤差曲線偏離零點(diǎn)較遠(yuǎn)且離散性大，進(jìn)一步計(jì)算得到最大誤差分別為1.34%FS、0.83%FS、0.61%FS。而利用式（7）、（8）、（11）計(jì)算擬合出來的誤差曲線接近零點(diǎn)值且離散型小、 吻合度較好，其最大誤差分別為 0.157%FS、0.161%FS、0.191%FS。很明顯，式（7）、（8）、（11）的擬合精度比式（4）、（5）、（6）與式（3）結(jié)合計(jì)算擬合的精度要高。也說明模型二、三、四比模型一的擬合精度高。為進(jìn)一步驗(yàn)證模型公式精確性，利用同類型的2#、3#應(yīng)變計(jì)做了重復(fù)性試驗(yàn)（見圖3、4）。2#應(yīng)變計(jì)利用上式擬合計(jì)算出來的最大誤差分別為 0.410%FS、0.342%FS、0.285%FS、0.121%FS、0.117%FS、0.128%FS。3#應(yīng)變計(jì)利用上式擬合計(jì)算出來的最大誤差分別為0.629%FS 、0.362%FS、0.267%FS、0.089 9%FS、0.090 0%FS、0.101 0%FS 。重復(fù)性試驗(yàn)結(jié)果同樣表明式（7）、（8）、（11）三式比式（4）、（5）、（6）分別和式（3）結(jié)合擬合計(jì)算出來的誤差要小、精度要高、曲線的離散性小、與真值曲線的吻合度要好。由此可以得出數(shù)學(xué)模型二、三、四的擬合精度相當(dāng)，且誤差不超過0.03%FS。模型一的擬合精度最差。

圖3 各計(jì)算式的絕對(duì)誤差曲線（2#）

圖4 各計(jì)算式的絕對(duì)誤差曲線（3#）

式（4）、（5）、（6）是模型一中系數(shù)K值得三種不同的計(jì)算方法。從以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果看出利用最小二乘法[即式（6）]擬合的結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果比較吻合，這也是國(guó)標(biāo)及生產(chǎn)商在出廠標(biāo)定時(shí)一直采用的計(jì)算方法。式（5）次之，式（4）最差。盡管模型二的擬合精度高，但是由于該模型中不含初頻f0項(xiàng)，初頻漂移后該式無(wú)法使用,該模型存在一定的缺陷。模型三和模型四的擬合值都與實(shí)測(cè)結(jié)果相吻合，且相互之間的誤差微?。▋H為0.01%FS），兩模型都是很好的擬合計(jì)算方法。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)兩模型中都含有一共同項(xiàng)：fi2- f02，且都含有f0項(xiàng)。兩模型的區(qū)別在于另外一項(xiàng)不同，進(jìn)而導(dǎo)致了擬合系數(shù)和結(jié)果的差異。模型四與模型三的異同點(diǎn)在于模型四的修正項(xiàng)是二次項(xiàng)而模型三是一次項(xiàng)，從計(jì)算方法上講模型三更簡(jiǎn)單，且能夠直接從頻率上計(jì)算出應(yīng)變量的差值。筆者認(rèn)為模型三是以上四個(gè)模型中最理想的擬合計(jì)算方法。此外，可以發(fā)現(xiàn)圖1和圖2與圖3的誤差變化趨勢(shì)是相反的，這可能是由于應(yīng)變計(jì)本身特性的原因所致。

圖5、圖 6和圖 7分別為式（7）、（8）、（11）三式中各項(xiàng)參量對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量關(guān)系。從圖5中可以看出式（7）中b fi項(xiàng)與擬合值相近，是主導(dǎo)項(xiàng)，其余為修正項(xiàng)。這與振弦式應(yīng)變計(jì)的原理不符。盡管該式的擬合精度高，但是無(wú)法從原理上說明該式的根據(jù)，何況該式無(wú)初頻 f0項(xiàng)，因此不適合做為振弦式應(yīng)變計(jì)的數(shù)學(xué)模型。在圖6和圖7中項(xiàng)對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量最大，是主導(dǎo)項(xiàng)，這符合振弦式應(yīng)變計(jì)的原理，修正項(xiàng)對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量小，但不可缺少。

圖5 式（7）中各項(xiàng)對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量

圖6 式（8）中各項(xiàng)對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量

圖7 式（11）中各項(xiàng)對(duì)擬合值的貢獻(xiàn)量

4 結(jié)語(yǔ)

從以上幾個(gè)數(shù)學(xué)模型比較分析的結(jié)果來看，模型一的三種計(jì)算方法誤差都大，不適合作為高精度振弦式應(yīng)變傳感器的數(shù)學(xué)模型；模型二中不含初頻f0項(xiàng)，初頻漂移后該式無(wú)法使用,該模型存在一定的缺陷；模型三和模型四的計(jì)算擬合精度都高，但是由于模型四是高次多項(xiàng)式，計(jì)算相對(duì)較復(fù)雜。根據(jù)振弦式應(yīng)變計(jì)的本質(zhì)和原理，fi2- f02項(xiàng)是模型中不可或缺的一項(xiàng)。因此綜合各因素，模型三形式簡(jiǎn)單、計(jì)算擬合精度高，是四個(gè)模型中最好的（這與王學(xué)水等人得到的結(jié)論是一致的），該模型不僅適用于振弦式壓力傳感器、位移傳感器，而且也適用于振弦式應(yīng)變傳感器，應(yīng)當(dāng)加以推廣和應(yīng)用。

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