田國英，高建敏，劉鵬飛

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

基于乘車舒適性的高速鐵路軌道高低不平順譜限值估計(jì)方法

田國英，高建敏，劉鵬飛

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

應(yīng)用車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論和平穩(wěn)隨機(jī)過程理論，借助車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型，以軌道高低不平順譜為輸入激勵(lì)，提出基于車輛垂向舒適性指標(biāo)(車體加速度和Sperling指標(biāo))估計(jì)高低不平順譜限值的方法。以我國武廣客運(yùn)專線及德國低干擾軌道高低不平順譜為例，對(duì)350 km/h行車速度時(shí)的譜限值進(jìn)行了估計(jì)。通過對(duì)比時(shí)域、頻域模型計(jì)算結(jié)果，對(duì)所估計(jì)譜限值進(jìn)行了校核，校核分析結(jié)果表明，頻域模型計(jì)算結(jié)果與時(shí)域結(jié)果吻合較好，說明了所估計(jì)譜限值的合理性。分析方法及研究結(jié)果可為高速鐵路軌道不平順管理提供參考。

高速鐵路 高低不平順 車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué) 功率譜密度

軌道不平順是引起車輛、軌道等結(jié)構(gòu)物振動(dòng)和破壞的主要原因。目前，對(duì)軌道不平順主要采用幅值管理和軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)管理，但兩種方法都存在一定局限性［1］。軌道不平順譜不僅能反映 TQI信息，還能提供軌道不平順幅值和波長特性。因此，結(jié)合現(xiàn)有幅值管理和軌道質(zhì)量指數(shù)管理，利用軌道不平順譜評(píng)價(jià)軌道狀態(tài)，評(píng)估行車安全性和舒適性，指導(dǎo)軌道養(yǎng)護(hù)維修是較為有效和合理的手段［2］。因此，應(yīng)將軌道不平順譜作為軌道質(zhì)量的控制指標(biāo)之一，納入到軌道不平順管理體系。目前，針對(duì)軌道譜限值方面的研究尚十分缺乏，以往的研究主要圍繞軌道不平順的幅值限值展開［3-7］，因而有必要開展軌道譜限值的研究，以便早日將軌道譜納入軌道管理體系中。基于以上目的，本文應(yīng)用車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論和平穩(wěn)隨機(jī)過程理論，借助車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型，以軌道高低不平順譜為輸入激勵(lì)，提出基于車輛垂向舒適性指標(biāo)(車體加速度和Sperling指標(biāo))的高速鐵路軌道高低不平順譜限值估計(jì)方法，并以武廣客運(yùn)專線和德國低干擾高低不平順譜為例，估計(jì)其限值并對(duì)所估計(jì)限值進(jìn)行校核，說明了方法的合理性。

1 高低不平順譜限值估計(jì)方法

在估計(jì)高低不平順譜限值時(shí)，作以下假設(shè):

1)軌道高低不平順是服從正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程。

2)軌道譜限值與原譜線是倍數(shù)關(guān)系，即軌道譜限值的曲線形狀與原譜線相同。

3)用于分析計(jì)算的動(dòng)力學(xué)模型為線性或弱線性系統(tǒng)，因此響應(yīng)也是服從正態(tài)分布的平穩(wěn)隨機(jī)過程。

根據(jù)上述假設(shè)，首先基于已有高低不平順譜，利用車輛—軌道垂向耦合頻域分析模型計(jì)算車體心盤處垂向加速度響應(yīng)功率譜;根據(jù)3σ規(guī)則估計(jì)車體垂向加速度可能最大值，同時(shí)推導(dǎo)車體垂向加速度功率譜與Sperling指標(biāo)間關(guān)系，得到其 Sperling指標(biāo)值;根據(jù)車體垂向加速度和Sperling指標(biāo)限值，反推高低不平順譜的增大倍數(shù)，從而得到基于舒適性指標(biāo)的高低不平順譜限值;最后利用時(shí)域數(shù)值模擬方法，比較時(shí)域、頻域結(jié)果以校核所估計(jì)譜限值的正確性。

1.1 車體心盤處垂向加速度功率譜

車輛—軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型［8］如圖1所示，利用文獻(xiàn)［9］的等效線性化方法，將輪軌間非線性赫茲接觸進(jìn)行線性化處理，得到了車輛—軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)頻域分析模型，運(yùn)用該模型可直接計(jì)算車體心盤處垂向振動(dòng)加速度響應(yīng)功率譜。

對(duì)于該頻域分析模型，最終可形成二階常系數(shù)線性微分方程組

圖1 車輛—軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型

式中:［M］為系統(tǒng)慣量矩陣;［C］為系統(tǒng)阻尼矩陣;［K］為系統(tǒng)剛度矩陣;［Kf］為系統(tǒng)轉(zhuǎn)換矩陣;{Z0}為軌道不平順輸入向量;、{}和{q}分別為系統(tǒng)廣義加速度、速度和位移向量。

令{Z0}={I}eiωt，則{q}={H(ω)}eiωt，帶入式(1)，得到

令［D］= －ω2［M］+iω［C］+［K］可得方程

式中，{H(ω)}為某一頻率下軌道不平順與各自由度位移的傳遞函數(shù)向量。不平順輸入間隔向量{I}為

式中:τ1=2lt/V，τ2=2lc/V，τ3=2(lc+lt)/V分別為第二位、第三位和第四位輪對(duì)與第一位輪對(duì)輸入不平順的時(shí)間差;V為車速;lc和lt分別為車輛定距和轉(zhuǎn)向架軸距之半。引入不平順輸入向量后，便可將四位輪對(duì)輸入{Z0}轉(zhuǎn)換為單一輸入 Z0=eiωt。通過求解式(3)的非齊次復(fù)系數(shù)線性代數(shù)方程組的解，從而最終得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣［H(ω)］。

根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣［H(ω)］，高低不平順與車體心盤處垂向振動(dòng)加速度的傳遞函數(shù)HVCA(ω)為

式中，H1(ω)，H2(ω)分別為車體沉浮和點(diǎn)頭位移傳遞函數(shù)。利用頻域輸入輸出關(guān)系，當(dāng)輸入的高低不平順譜為 SVI(ω)時(shí)，車體心盤處垂向振動(dòng)加速度譜SVCA(ω)可表達(dá)為

1.2 高低不平順譜限值估計(jì)

根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)可估計(jì)車體垂向加速度響應(yīng)的均方值σ和最大值qmax_VCA分別為

根據(jù)式(7)和式(8)及車體垂向加速度幅值限值，運(yùn)用比例關(guān)系，可推導(dǎo)車體垂向加速度幅值限值對(duì)應(yīng)的高低不平順譜限值相對(duì)原譜線幅值的增大倍數(shù)kVCA

式中，CVCA為給定的車體心盤處垂向加速度指標(biāo)限值。

根據(jù)文獻(xiàn)［10］的數(shù)值模擬方法，功率譜幅值與頻譜幅值的關(guān)系為

式中，A(fi)為頻率fi處的頻譜幅值，S(fi)為頻率fi處的功率譜幅值，Δf為頻域采樣間隔，可依據(jù)GB 5599—85［11］中規(guī)定的采樣時(shí)間長度確定，文中取 0.05 Hz。將式(10)帶入Sperling指標(biāo)計(jì)算公式得

總的Sperling指標(biāo)為

其中常數(shù) D=8 ×7.0810Δf1.5。

設(shè)使Sperling指標(biāo)達(dá)到其給定限值Wlimit時(shí)的高低不平順譜為原譜線的kW倍，則

式(12)與式(13)比較得

由車體垂向加速度和Sperling指標(biāo)限值確定的軌道高低不平順譜限值Slimit_VCA(ω)和Slimit_W(ω)分別為

當(dāng)以Slimit_VCA(ω)或Slimit_W(ω)作為輸入時(shí)，車體心盤處垂向加速度響應(yīng)的最大值或Sperling指標(biāo)將與給定的舒適度指標(biāo)限值相同。

1.3 高低不平順譜限值校核

對(duì)于由頻域分析模型估計(jì)的高低不平順譜限值，有必要將其轉(zhuǎn)換至?xí)r域進(jìn)行校核以分析其正確性。目前，最常用的校核頻域計(jì)算結(jié)果的方法為Monte-Carlo法，其基本思想是概率論中基于大數(shù)定理的逼近原理，系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性可從大量響應(yīng)樣本中近似獲得，且近似程度隨響應(yīng)樣本數(shù)的增加而提高［12］。

為此，通過數(shù)值模擬方法［10］將軌道高低不平順譜限值轉(zhuǎn)換成多個(gè)高低不平順樣本，利用時(shí)域車輛—軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)程序(考慮輪軌接觸非線性)，計(jì)算車體心盤處垂向振動(dòng)加速度響應(yīng)。通過以下3方面的對(duì)比分析，來驗(yàn)證所估計(jì)的高低不平順譜限值的合理性和正確性。

1)比較時(shí)域、頻域響應(yīng)的均方根值。

2)核對(duì)時(shí)域響應(yīng)幅值超過車體垂向加速度指標(biāo)限值概率是否滿足3σ規(guī)則［13］。

3)計(jì)算時(shí)域車體心盤處垂向振動(dòng)加速度響應(yīng)垂向Sperling指標(biāo)，分析其是否與頻域模型計(jì)算的Sperling指標(biāo)值接近。

2 數(shù)值算例

選取我國高速車輛，以武廣客運(yùn)專線軌道高低不平順平均譜及德國低干擾高低不平順譜為輸入激勵(lì)，計(jì)算了350 km/h行車速度下的車體垂向加速度功率譜響應(yīng)。依據(jù)《高速鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范(試行)》［14］(TB 10621—2009)，車體垂向加速度幅值限值(CVCA)為0.13g，Sperling指標(biāo)限值(Wlimit)取2.5，估計(jì)不同速度下的高低不平順譜限值。最后對(duì)所估計(jì)的譜限值進(jìn)行校核。

武廣客運(yùn)專線高低不平順平均譜及德國低干擾高低不平順譜表達(dá)式為

相關(guān)參數(shù)定義詳見文獻(xiàn)［8，15］，分析波長范圍取2～200 m［15］。經(jīng)單位變換，其功率譜密度曲線如圖 2所示。

圖2 典型高速鐵路軌道高低不平順功率譜密度

2.1 車體垂向加速度功率譜響應(yīng)特征

基于式(6)的輸入輸出關(guān)系，分別以式(17)、式(18)作為輸入，計(jì)算了車體心盤處垂向振動(dòng)加速度功率譜響應(yīng)，如圖3所示。

圖3 車體心盤處垂向振動(dòng)加速度功率譜

由圖3可見，對(duì)于武廣譜和德國譜，車體心盤處垂向振動(dòng)加速度功率譜曲線形狀十分相似，幅值隨波長增長呈增大趨勢，車體心盤處垂向加速度主頻集中在135 m左右。

2.2 高低不平順譜限值

根據(jù)式(8)和式(12)，計(jì)算車體心盤處垂向振動(dòng)加速度響應(yīng)的可能最大值及其垂向Sperling指標(biāo)值，如表1所示。由表1可知，德國譜激擾下的車體垂向加速度響應(yīng)最大值及垂向Sperling指標(biāo)均大于武廣譜激擾下的指標(biāo)值，但兩種高低不平順譜激擾下的指標(biāo)值均較小，未超過各自限值。其中，武廣譜激擾下的響應(yīng)很小，反映了武廣客運(yùn)專線軌道的高平順性。

表1 乘車舒適性指標(biāo)值

據(jù)式(15)和式(16)，武廣客運(yùn)專線和德國低干擾軌道高低不平順譜，由車體垂向加速度和Sperling指標(biāo)限值確定的軌道高低不平順譜限值SLimit_VCA(ω)和Slimit_W(ω)如圖4所示。

由圖4可見，盡管武廣譜和德國譜曲線線形不盡相同，但它們對(duì)應(yīng)的限值譜總體較為接近。在2～5 m波長范圍內(nèi)，德國譜限值與武廣譜限值幅值相當(dāng);在5～120 m波長范圍內(nèi)，武廣譜限值略低于德國譜限值;在120～200 m波長范圍內(nèi)，武廣譜限值則高于德國譜限值。

圖4 武廣客運(yùn)專線和德國低干擾軌道高低不平順譜限值

表2 高低不平順譜限值對(duì)應(yīng)的時(shí)域不平順最大值

根據(jù)3σ規(guī)則，由式(8)可估算上述譜限值對(duì)應(yīng)高低不平順幅值的可能最大值，如表2所示。由表2可知，武廣譜和德國譜限值對(duì)應(yīng)的高低不平順最大值十分接近;對(duì)于武廣譜和德國譜，車體垂向加速度指標(biāo)對(duì)應(yīng)譜限值的高低不平順幅值均小于Sperling指標(biāo)對(duì)應(yīng)譜限值的高低不平順幅值，即相比Sperling指標(biāo)，車體垂向加速度更容易出現(xiàn)超標(biāo)。

利用數(shù)值模擬方法［10］，將各譜限值轉(zhuǎn)換成時(shí)域不平順樣本，如圖5和圖6所示。

圖5 武廣譜限值模擬的時(shí)域不平順樣本

圖6 德國譜限值模擬的時(shí)域不平順樣本

2.3 譜限值校核

利用數(shù)值模擬方法分別將上述譜限值分別轉(zhuǎn)換成1 000組，每組有2 km長的時(shí)域不平順樣本，計(jì)算了車體心盤處垂向振動(dòng)加速度時(shí)域響應(yīng)，與頻域計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

在Slimit_VCA(ω)激擾下，時(shí)域、頻域車體心盤處垂向振動(dòng)加速度均方根值如圖7所示，頻域均方根值根據(jù)車體垂向振動(dòng)加速度指標(biāo)限值(0.13g)運(yùn)用3σ規(guī)則確定。由圖可見，時(shí)域均方根值都在相應(yīng)頻域均方根值附近波動(dòng)，且時(shí)域、頻域偏差均＜7%，二者均方根值十分接近。

圖7 軌道譜限值激擾下的車體垂向加速度均方根

對(duì)于武廣譜和德國譜，在各自Slimit_VCA(ω)激擾下的車體心盤處垂向振動(dòng)加速度超過其指標(biāo)限值0.13g的概率分別為0.23%和0.25%，均略小于3σ規(guī)則預(yù)測的雙側(cè)概率0.26%，由此說明，譜限值激擾下的車體心盤處垂向振動(dòng)加速度 ＞0.13g的可能性很小，滿足車輛垂向加速度指標(biāo)限值。

對(duì)各樣本計(jì)算得到的車體心盤處垂向振動(dòng)加速度時(shí)域響應(yīng)，利用式(12)計(jì)算各樣本垂向Sperling指標(biāo)，并對(duì)其進(jìn)行平均。對(duì)于武廣譜和德國譜，平均后的Sperling指標(biāo)值分別為2.52和2.53，與 Sperling指標(biāo)限值2.5十分接近，說明頻域估計(jì)的Sperling指標(biāo)正確，反映出由 Sperling指標(biāo)估計(jì)的譜限值 Slimit_W(ω)合理。

綜合以上分析，對(duì)于武廣譜和德國譜，在由車體垂向加速度指標(biāo)限值確定的譜限值Slimit_VCA(ω)激擾下，車體垂向加速度時(shí)域響應(yīng)能夠滿足其指標(biāo)限值;在由垂向Sperling指標(biāo)確定的譜限值Slimit_W(ω)激擾下，時(shí)域平均Sperling指標(biāo)與頻域模型計(jì)算結(jié)果十分接近。由此說明，應(yīng)用本文提供的方法進(jìn)行軌道高低不平順譜限值估計(jì)是合理可靠的。

3 結(jié)論

通過建立車輛—軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)頻域模型，運(yùn)用平穩(wěn)隨機(jī)過程理論，提出了一種根據(jù)舒適性指標(biāo)估計(jì)軌道高低不平順譜限值的方法。采用該方法，以我國武廣客運(yùn)專線和德國低干擾軌道高低不平順譜為例，對(duì)350 km/h行車速度下的譜限值進(jìn)行了估計(jì)。對(duì)于武廣譜和德國譜，根據(jù)車體垂向振動(dòng)加速度指標(biāo)估計(jì)的譜限值對(duì)應(yīng)的高低不平順最大值分別為20.0 mm和19.4 mm，根據(jù)車體垂向Sperling指標(biāo)估計(jì)的譜限值對(duì)應(yīng)的高低不平順最大值分別為24.1 mm和24.2 mm;由車體垂向加速度指標(biāo)確定的譜限值均較由Sperling指標(biāo)確定的譜限值低;時(shí)域模型計(jì)算結(jié)果表明，在各譜限值激擾下，其對(duì)應(yīng)舒適度指標(biāo)值均與頻域模型計(jì)算的指標(biāo)值相吻合，從而說明了本文提出的譜限值估計(jì)方法的正確性。分析方法及相關(guān)研究結(jié)果可為高速鐵路軌道不平順管理提供參考。

應(yīng)當(dāng)指出的是，本文側(cè)重研究高低不平順譜限值的估計(jì)方法，關(guān)于譜限值的具體確定，尚需同時(shí)考慮其它幾種軌道不平順的共同作用，根據(jù)中國高速鐵路車輛運(yùn)營狀況及線路狀態(tài)等條件，開展更為深入和廣泛的研究。

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國家“九七三”計(jì)劃項(xiàng)目(2013CB036205);國家自然科學(xué)基金高鐵聯(lián)合基金項(xiàng)目(U1234209)

田國英(1986— )，男，陜西渭南人，博士研究生。

(責(zé)任審編 王 紅)