韓奎 王娟娟 周菲 沈曉鵬 沈義峰 吳玉喜 唐剛

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系,徐州 221116)

1 引言

在光子晶體(PC)中已證實并觀測到許多獨特的色散現(xiàn)象,如負折射、超棱鏡效應(yīng)、自準直效應(yīng)(SC)等,由于這些效應(yīng)可適用于高集成光路系統(tǒng)而受到研究者的普遍關(guān)注.自準直現(xiàn)象是指電磁波光束在完美周期光子晶體中能夠沿某一特定方向無展寬地傳播,無須制造各種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)便可使光束禁錮從而保持窄光束的尺寸[1?4],使得基于光子晶體的全光器件在集成光學(xué)的應(yīng)用中日益重要.

Goos-H?nchen(GH)效應(yīng)作為其中一種光學(xué)奇異現(xiàn)象成為研究的熱點之一.所謂GH效應(yīng)就是全反射光束偏離幾何光學(xué)反射路徑而具有一個橫向位移(LS),GH位移物理內(nèi)涵深刻,自發(fā)現(xiàn)以來就受到物理學(xué)界的廣泛關(guān)注[2,5?12],例如粒子穿越勢壘時的超光速現(xiàn)象[13,14],共振激發(fā)引起的異常大的GH位移以及超棱鏡效應(yīng)等.隨著近場光學(xué)顯微鏡和平板印刷術(shù)的出現(xiàn),對GH位移的研究變得越來越重要,近年來對GH效應(yīng)的研究更多地關(guān)注于吸收材料、左手材料或光子晶體等,它們可獲得較大的橫向位移,GH位移最大可分別達到波長的數(shù)十倍和數(shù)百倍[15?18].但是一方面,由于結(jié)構(gòu)采用常規(guī)棱鏡,體積無法制作得很小,不適用于高集成光路系統(tǒng)和微型器件領(lǐng)域;另一方面產(chǎn)生較大GH位移的機理尚不太清楚.例如:Wang和Zhu[19]從理論上證明了具有左手材料的Kretschmann-Raether多層結(jié)構(gòu)中可以獲得較大的負向位移,原因為異常駐波的出現(xiàn),駐波“轉(zhuǎn)變?yōu)楸砻娌ā?而Moreau和Felbacq[20]則認為其所用結(jié)構(gòu)參數(shù)根本無法激發(fā)表面波,負向位移的產(chǎn)生是因為薄板支持的沿負向傳播的漏波而并非表面波的激發(fā),但Moreau等并未給出詳細的物理解釋.Felbacq等展示了入射光頻率在光子晶體帶隙(PBG)邊緣附近[7]或帶隙外[8]的GH位移,Matthews和Kivshar[2]證實了自準直光束在二維光子晶體中亦可發(fā)生GH位移,但是這些正向位移都較小.He等[21]證明了合理調(diào)節(jié)覆蓋層參數(shù),具有負等效折射率的二維光子晶體中可以獲得較大的負向GH位移,但是研究中并沒有對漏模進行詳細分析.本文基于自準直效應(yīng)研究了光束在新型Kretschmann結(jié)構(gòu)中的光子晶體棱鏡-波導(dǎo)分界面上發(fā)生的全反射,展示了當(dāng)準導(dǎo)波模式或表面模式被激發(fā)時同時具有正向和負向位移的雙束反射現(xiàn)象.

傳統(tǒng)的Kretschmann結(jié)構(gòu)是指兩個半無限電介質(zhì)之間配置吸收材料或者導(dǎo)電材料.對于該結(jié)構(gòu),GH位移一般出現(xiàn)于光束在兩電介質(zhì)間全反射時,而且是在滿足布魯斯特條件的情況下,這種結(jié)構(gòu)由于吸收損耗,反射光束的強度往往很弱,因此GH位移不易測量.本文采用新型Kretschmann結(jié)構(gòu)由光子晶體棱鏡和空氣之間放置一個無損介質(zhì)波導(dǎo)來構(gòu)成,理論上講反射光束的強度較大,易于測量.研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)泄漏的表面模式被激發(fā),該結(jié)構(gòu)能夠同時獲得具有較大負向和較小正向位移的雙束反射現(xiàn)象.

2 新型Kretschmann結(jié)構(gòu)及計算方法

新型Kretschmann結(jié)構(gòu)采用二維光子晶體與空氣間放置一層介質(zhì)薄膜組成,如圖1(a)所示,其中直棱鏡由二維光子晶體構(gòu)成,二維光子晶體由硅(折射率n=3.4)介質(zhì)柱按正方晶格排列,晶格常數(shù)為a,硅介質(zhì)柱半徑為0.29a,整個結(jié)構(gòu)的背景為空氣,下方與光子晶體相切的介質(zhì)薄膜作為介質(zhì)波導(dǎo),厚度為W,折射率為nw,nw大于1.0,可見介質(zhì)薄膜并非空氣波導(dǎo),假設(shè)自準直光束以45?入射角入射到光子晶體-波導(dǎo)分界面,o為幾何光學(xué)反射點,z′軸代表鏡面反射方向,坐標軸(x′,z′)用來測量 GH 位移,o,o′間的距離為坐標軸 (x′,o′)用來測量入射光束波形,為了方便起見o,o′間的距離也為,對于某些波導(dǎo)寬度W和折射率nw,光子晶體-波導(dǎo)分界面如同一面反射鏡,自準直光束在分界面上將發(fā)生全內(nèi)反射,所以該結(jié)構(gòu)適合用來研究反射光束的GH位移.

利用平面波展開法[22]計算的二維光子晶體TM模式(電場垂直于介質(zhì)柱軸)的等頻圖(EFC)如圖1(b)所示,四角實線為角頻率ω=0.215(2πc/a)的等頻線,其中c為真空光速,中心圓實線對應(yīng)空氣的ω=0.215(2πc/a)的等頻線.等頻圖中平直的部分說明了角頻率在第一能帶的ω=0.215(2πc/a)附近的TM偏振光束可以在該光子晶體中沿[11]方向自準直傳播.

圖1 (a)Kretschmann結(jié)構(gòu)示意圖,左側(cè)插圖中矩形框為計算投影能帶時選擇的超晶胞的放大圖,右側(cè)插圖為PC晶格的放大圖;(b)四角實線為PC的ω=0.215(2πc/a)的等頻線,中心圓實線對應(yīng)空氣的ω=0.215(2πc/a)的等頻線

利用時域有限差分(FDTD)法模擬自準直光束在光子晶體棱鏡-波導(dǎo)分界面上的反射情況,所有計算均采用角頻率ω=0.215(2πc/a)的TM偏振高斯光束沿 o′o方向(ΓM 方向)傳播.實際運用中,入射光頻率都具有一定頻寬,而并非計算所用的單一頻率,自準直的實現(xiàn)一定程度上解決了這個問題,入射光角頻率若在自準直頻段ω∈[0.21(2πc/a),0.22(2πc/a)],所有計算結(jié)果幾乎不受影響,這里適當(dāng)?shù)厍懈盍似鸪醯目諝馀c光子晶體之間的入射界面從而減少表面反射[23].通過改變介質(zhì)波導(dǎo)折射率來研究光子晶體棱鏡-波導(dǎo)分界面上反射光束的GH位移,在特定的折射率區(qū)域會出現(xiàn)雙束現(xiàn)象.將 (x′,o′)坐標中測得的入射光束波形與(x′,z′)坐標中測得的反射光束波形進行對比從而計算出自準直反射光束的GH位移大小,可根據(jù)場峰在晶格分布中的位置確定GH位移值,同時為了研究GH位移產(chǎn)生的原因,利用超原胞技術(shù)[24]計算了Kretschmann結(jié)構(gòu)沿x方向的投影能帶以及對應(yīng)的模式分布.

3 結(jié)果與討論

結(jié)合完美匹配層邊界處理[25]利用FDTD法計算了不同介質(zhì)波導(dǎo)折射率情況下的穩(wěn)態(tài)電場分布,通過入射光與反射光的波形對比計算出GH位移的大小.所有模擬計算中高斯光束束腰半徑都設(shè)置為20a,保持波導(dǎo)厚度W=2.1a不變.需要強調(diào)的是,W的選擇從本質(zhì)上不影響雙束現(xiàn)象的發(fā)生,因為該現(xiàn)象的出現(xiàn)取決于波導(dǎo)的兩個基本參數(shù)組合,即折射率和厚度.只有在特定的波導(dǎo)厚度和折射率范圍,才能在波導(dǎo)區(qū)域激發(fā)出準導(dǎo)波模式,該模式沿x軸正向的傳播是較大正向位移出現(xiàn)的物理原因,之所以選取W=2.1a僅僅是為了使該現(xiàn)象的發(fā)生更加明顯.

圖2 (a)nw∈[3.46,3.62]區(qū)域LS隨nw的變化曲線,水平虛線對應(yīng)LS為0;(b)nw∈[3.46,3.62]區(qū)域兩光束的場強隨nw的變化曲線

研究發(fā)現(xiàn)同時具有正向和負向LS的雙束反射現(xiàn)象出現(xiàn)在nw∈[1.82,2.00]和nw∈[3.46,3.62]區(qū)域,出現(xiàn)雙束反射現(xiàn)象的第一個區(qū)域nw∈[1.82,2.00]已在文獻 [26]中詳細討論,本文主要討論出現(xiàn)雙束反射現(xiàn)象的第二個區(qū)域nw∈[3.46,3.62].圖2(a)為nw∈[3.46,3.62]區(qū)域LS隨介質(zhì)波導(dǎo)折射率nw的變化曲線圖,圖中顯示該區(qū)域出現(xiàn)了同時具有較小正向位移和較大負向位移的雙束反射現(xiàn)象,負向LS隨著折射率nw先減小后增大,而正向LS則持續(xù)減小,當(dāng)nw=3.62時,負向LS達到最大為?23.23a,對應(yīng)4.99λ,是束腰半徑的1.1615倍,nw=3.62之后負向LS的反射光束場強變得非常微弱.為了清晰地解釋該現(xiàn)象,考察兩光束的場強隨折射率nw變化的曲線,結(jié)果如圖2(b)所示,由圖可知兩光束間存在著競爭.

圖3 (a)nw=3.54時Kretschmann結(jié)構(gòu)的投影能帶圖,水平虛線代表自準直角頻率ω=0.215(2πc/a),垂直虛線代表自準直光束波矢在x方向上的分量k′x=0.3478·2π/a,這里kx=k′x·2π/a,實線 ef代表空氣等頻線;(b)表面模式的 |Ey|2分布圖

以nw=3.54為例分析此區(qū)域雙束反射現(xiàn)象產(chǎn)生的原因.當(dāng)nw=3.54時,Kretschmann結(jié)構(gòu)沿x方向的投影能帶如圖3(a)所示,超晶胞的選擇見圖1(a)中的矩形框,超晶胞沿z方向設(shè)置為22a以便消除多余的虛假模式,如果色散曲線不受計算所用超晶胞大小的影響,那么所得的模式為真實的.在圖3(a)的投影能帶中出現(xiàn)了斜率為負的表面模式,在圖中用虛線cd表示表面模式對應(yīng)色散曲線,頻率0.215(2πc/a)處色散曲線深入能帶中說明該模式不再是真正的缺陷模式,其具有較差的能量禁錮能力,可以將其稱為泄漏的表面模式,該表面模式將在能帶中與光子晶體內(nèi)的自準直模式發(fā)生耦合.如圖3(a)所示,水平虛線代表自準直角頻率ω=0.215(2πc/a),垂直虛線代表自準直光束波矢在x方向上的分量=0.3478·2π/a,這里kx=·2π/a,該值可從等頻圖(圖1(b))中得到.虛線cd與水平虛線的交點就是表面模式,表面模式對應(yīng)色散曲線的斜率說明了群速度vsx=?ω/?k′x為負,所以表面模式的能量流將沿x軸負向傳播.水平和垂直虛線的交點稱為強激發(fā)點,對應(yīng)自準直體模式A.當(dāng)表面模式接近強激發(fā)點時,帶有較大負向LS的反射光束出現(xiàn)了,在整個反射過程中該模式起著重要的作用,導(dǎo)致了較大負向LS的產(chǎn)生.

為了解釋這一現(xiàn)象,計算了表面模式的場強分布,計算結(jié)果如圖3(b)所示,分布沿x方向重復(fù)顯示10次,由圖3(b)可知光子晶體介質(zhì)柱以及波導(dǎo)區(qū)域都有電場聚集,在光子晶體介質(zhì)柱和波導(dǎo)區(qū)域,電場分布都呈一系列周期為a的離散的能量聚集區(qū),而且在波導(dǎo)區(qū)域(z∈[?41.39a,?39.29a])電場主要聚集在上下分界面處.這說明了該模式并不是完美局域模式,而負向LS的產(chǎn)生是由于表面模式的激發(fā),入射光束能量沿著波導(dǎo)負向傳播.在傳播過程中,電場能量從波導(dǎo)的上側(cè)泄漏回光子晶體結(jié)構(gòu)中,形成漏波,因表面模式處于空氣等頻線的下方,電場能量無法從波導(dǎo)下側(cè)泄漏到空氣中.

圖4(a)為nw=3.54時結(jié)合完美匹配層邊界處理,利用FDTD法模擬的高斯光束入射Kretschmann結(jié)構(gòu)的傳播情況.由圖4(b)nw=3.54時入射光(虛線)與出射光(實線)的波形對比圖可見反射光有兩束:一束具有較大的負向LS,另一束具有較小的正向LS,顯然在光子晶體-波導(dǎo)分界面上發(fā)生了雙束反射現(xiàn)象.對于較大負向LS的情況,當(dāng)自準直光束傳播至光子晶體-波導(dǎo)分界面上,光場似乎被限制在介質(zhì)波導(dǎo)中,反射點沿波導(dǎo)負向漸漸發(fā)生偏移.這說明入射光束部分能量轉(zhuǎn)移到表面模式中,該模式作為入射和反射過程的一個中間狀態(tài)起著重要的作用.當(dāng)能量在波導(dǎo)中傳遞時一部分能量從波導(dǎo)區(qū)域泄漏回光子晶體,這些漏波導(dǎo)致了具有較大負向LS的反射光束.

從FDTD的模擬過程中可以發(fā)現(xiàn)雙束反射現(xiàn)象并非一開始就產(chǎn)生,該現(xiàn)象的出現(xiàn)具有一個延遲時間,起初只有一束鏡面反射光束,束徑幾乎與入射光束束腰半徑一致,接著鏡面反射光束慢慢變寬,能量降低,同時后向表面波出現(xiàn)并隨著時間增強,當(dāng)漏波漸漸成形,反射光束分裂為兩束,光束中心慢慢分離,此時雙束反射現(xiàn)象才完整呈現(xiàn).

根據(jù)上面的分析,帶負向LS的反射光束可以理解為是由群速度為負的表面模式所致,當(dāng)表面模式激發(fā),能流沿著介質(zhì)波導(dǎo)負向傳播,并從波導(dǎo)上側(cè)界面泄漏回光子晶體形成反射光束.實際上,從投影能帶(圖3(a))中可知強激發(fā)點附近為一弱背向耦合區(qū),Kretschmann結(jié)構(gòu)同時具有群速度相反的兩個模式,這是同時出現(xiàn)具有正向和負向LS的雙束反射現(xiàn)象的根本原因.

圖4 (a)nw=3.54時高斯光束入射Kretschmann結(jié)構(gòu)的電場分布圖;(b)nw=3.54時入射光(虛線)與出射光(實線)的波形對比圖,用于測量GH位移值

進一步理解表面模式的特征,計算波導(dǎo)中場強最大處穩(wěn)態(tài)電場沿x軸和z軸的分布,結(jié)果如圖5所示.圖5(a)顯示電場在x方向上也呈現(xiàn)周期為a的分布.圖5(b)顯示三個峰值位于z=?41(a),z=?39.6(a)和z=?37(a),分別對應(yīng)介質(zhì)波導(dǎo)下表面、介質(zhì)波導(dǎo)上表面以及介質(zhì)波導(dǎo)上方第三排介質(zhì)柱.介質(zhì)波導(dǎo)上方第一排(z=?39(a))、第二排(z=?38(a))介質(zhì)柱處的電場較弱.以上分布與圖3(b)所示的表面模式分布完全符合,上述結(jié)果直接證明了雙束反射現(xiàn)象產(chǎn)生的關(guān)鍵原因正是表面模式的激發(fā).

圖5 (a)z=?41a時|Ey|沿x軸方向上的分布;(b)x=?11.2a時|Ey|沿z軸方向上的分布;其中z∈[?39.29a,?41.39a]為介質(zhì)波導(dǎo)區(qū)域

圖6 不同情況下表面模式的|Ey|2分布 (a)nw=3.46;(b)nw=3.52;(c)nw=3.56;(d)nw=3.60

對于折射率nw與LS間的變化關(guān)系,可以從不同nw情況下Kretschmann結(jié)構(gòu)沿x方向的投影能帶來理解[26],發(fā)現(xiàn)nw∈[3.46,3.62]時,隨著折射率nw的增加色散曲線向左下方移動.當(dāng)表面模式接近強激發(fā)點時,表面模式在波導(dǎo)區(qū)域的越強,LS也越大,這點可從圖6不同情況下表面模式分布中的顏色列表得知.如圖2(a)所示,負向LS隨著折射率nw先微微減小后迅速增大,nw∈[3.46,3.52]時區(qū)域能帶中表面模式和自準直模式耦合變?nèi)?負向LS變小.nw=3.52之后能帶中表面模式和自準直模式耦合增強,入射光場能量轉(zhuǎn)移至波導(dǎo)中從而對負向LS增強.我們也可通過以下現(xiàn)象來理解這個過程:首先基于自準直效應(yīng)的TM偏振入射光束在光子晶體棱鏡中沿ΓM方向傳播;接著當(dāng)自準直高斯光束到達光子晶體-波導(dǎo)分界面,由于能帶中的強耦合,部分能量轉(zhuǎn)移至表面模式中,其余的發(fā)生鏡面反射;當(dāng)表面模式激發(fā),能流沿著介質(zhì)波導(dǎo)負向傳播,并從波導(dǎo)上側(cè)界面泄漏回光子晶體形成具有較大負向LS的反射光束,同時起初的鏡面反射光束受到擾亂而向相反方向發(fā)生偏移;此外表面模式在空氣等頻線下方,電場能量無法從波導(dǎo)下側(cè)泄漏到空氣中;最后兩光束在空間上相互干涉,該干涉過程形成了復(fù)雜的雙束反射現(xiàn)象.綜上所述,表面模式與自準直模式間的耦合為該非鏡面反射的關(guān)鍵.

4 結(jié)論

本文利用FDTD法模擬和分析了高斯光束在新型Kretschmann結(jié)構(gòu)光子晶體和介質(zhì)波導(dǎo)分界面上同時具有正向和負向位移的雙束反射現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn)隨著折射率nw的增加,正向LS減小,而負向LS則先減小后增大;結(jié)合投影能帶、模式分布,以及利用FDTD法計算的穩(wěn)態(tài)電場沿x和z方向上的分布說明,較大負向GH位移的出現(xiàn)是由于表面模式的強激發(fā),表面模式和光子晶體自準直體模式之間發(fā)生耦合作用,從而導(dǎo)致橫向偏移,耦合作用越強,負向LS越大;同時出現(xiàn)具有正向和負向LS的雙束反射現(xiàn)象的根本原因為強激發(fā)點附近為一弱背向耦合區(qū),Kretschmann結(jié)構(gòu)同時具有群速度相反的兩個模式;利用FDTD法給出了此區(qū)域LS和nw的關(guān)系,以實現(xiàn)調(diào)整介質(zhì)波導(dǎo)折射率來控制LS,得到負向LS最大達到?23.23a,對應(yīng)4.99λ,是束腰半徑的1.1615倍.

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