王緒虎，陳建峰，陳萬平，張群飛

(1.西北工業(yè)大學 航海學院，陜西西安，710072;2.曲阜師范大學 物理工程學院，山東曲阜，273165)

在信號處理中，離散傅里葉變換(DFT)是信號分析和處理的重要工具［1，2］。離散傅里葉變換是將時域連續(xù)信號的采樣序列轉換到頻率域進行分析，而波束形成是將空間連續(xù)信號采樣后轉換到波束域進行分析［3，4］。為了方便學生的理解，我們對離散傅里葉變換和波束形成兩者進行了類比分析，討論了頻域分辨力和空間分辨力問題。我們還設計了相應的仿真實驗進行對比驗證，實現(xiàn)教學實驗與科研訓練相結合，啟發(fā)學生開展研究型學習和實驗，使其更好地掌握“自導系統(tǒng)”課程內容。

1 離散傅里葉變換

一種常用的離散傅里葉變換表示形式如下:

式中，X(k)為頻域序列，k頻率采樣點序號，x(n)為時間序列，n表示時間采樣點序號，N為時頻域的采樣點數(shù)。

利用離散傅里葉變換對連續(xù)時間信號做頻譜分析時，首先要滿足抽樣定理，即fs≥2fh(fh表示信號的最高頻率，fs表示抽樣頻率)。處理過程中會存在柵欄效應和頻譜泄漏等現(xiàn)象。

假設信號長度為T0，采樣頻率fs對應的采樣時間間隔為T，則采樣點數(shù)為N=T0/T。由此可得信號頻域上的采樣間隔(即頻率分辨率)為

所以頻率分辨率與信號的實際長度成反比，信號越長(T0越大)其分辨率越高(F0越小)。

2 波束形成

波束形成是指將基陣各陣元輸出(空間采樣信號)經(jīng)過處理(如加權、延時及求和等)形成空間指向性的過程。它可以濾除空間某些方位的信號，只讓指定方位信號通過。假定波束形成器采用加權、延時及求和算法，那么波束形成器的輸出為

式中，M表示陣元數(shù)目;wm是對第m個傳感器接收信號施加的權重;sm(t)為第m個陣元的接收信號，τm是相應陣元的相對時延。τm的選擇應該使來自空間特定方位Ω0的信號同相相加，而使其他方向的信號不能同相相加以致相互抵消。

考慮均勻線列陣的均勻加權的情況，波束形成器的輸出為

式中，ψ = β － β0，β =2πdsinθ/λ，β0=2πd sin θ0/λ，θ∈(-90°，90°)為波束掃描方向，θ0∈(-90°，90°)為預成波束方向，λ表示信號波長，d為陣元間距?，F(xiàn)令θ0=0°，則均勻線列陣的靜態(tài)方向圖為

式中，ω表示信號角頻率，c表示信號在介質中的傳播速度。

由|G(θ)|2=1/2可得均勻線列陣波束圖半功率點波束寬度 BW0.5，它是隨波束方向發(fā)生變化的［5］。為了對不同線列陣的分辨力進行比較，一般考慮的是靜態(tài)方向圖的半功率點波束寬度，對于均勻線陣而言，其波束寬度為

式中，D為天線的有效孔徑，rad表示弧度單位。對于M個陣元的均勻線列陣，陣元間距為λ/2，則天線的有效孔徑為D=(M－1)λ/2，所以對于均勻線列陣，陣列波束寬度為

由上式可見，均勻線陣的分辨力隨著陣元數(shù)目的增加而提高，即與陣列孔徑成正比。

3 實驗設計

比較式(3)和式(8)可知，傅里葉變換的頻率分辨率與波束形成的空間分辨力問題具有相似性。為了將兩者的相似性形象直觀地展示給學生，設計了下述實驗幫助學生理解掌握這部分內容。

3.1 頻譜分析實驗

實驗條件:信號頻率分別為 f1=50Hz，f2=52Hz，采樣頻率 f2=256Hz，信號 s1(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf3t)，s2(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)。對兩個信號作頻譜分析。

圖1是信號時長度為T0=0.5s的頻譜分析圖。圖1(a)是作256點的DFT。從圖中可看出，該信號s1(t)的頻譜上可以清晰的分辨出兩個頻率(上圖)，信號s2(t)的頻譜上只有一個極值，無法分辨出兩個頻率值(下圖)。圖1(b)作512點的DFT，其頻譜分辨情況與圖1(a)相近，但其頻譜包絡更細致平滑。由于兩信號長度為0.5秒，因此其頻率分辨率為F0=2Hz。信號 s1(t)兩頻率間隔 Δf1=f3－f1=2Hz，滿足Δf1≥F0因而能分辨出兩個頻率值;信號s2(t)的兩個頻率間隔為Δf2=f2－f1=1Hz，Δf2＜F0因而不能分辨出兩個頻率值。兩圖之間的包絡差異主要是由作傅里葉變換的點數(shù)不同造成的，兩個信號的數(shù)據(jù)點數(shù)都為128點，圖1(a)作256點DFT，后面補了128個零點;圖1(b)作512點的DFT，后面補了384個零點。也就是說圖1(b)的頻譜被插值細化，因而其譜型相對細致光滑。

圖1 時長0.5秒的DFT頻譜圖

圖2是信號長度為T0=1.0s的頻譜分析圖。由兩圖可以看到，在采用512和1024點的DFT時，信號s1(t)和s2(t)的頻譜圖上都能分辨出兩個頻率。這是因為此時頻率分辨率F0=1Hz，Δf2和Δf1都能滿足不小于F0，故能分辨出兩信號中的頻率分量。兩圖中右上部都給出了頻譜極值附近的細致結構圖。從圖上可以看出，圖2的波形包絡比圖1中的平滑，原因也是其參與傅里葉變換計算的點數(shù)多，頻譜被插值細化，故它的形狀細致平滑。

圖2 時長1秒的DTF頻譜圖

3.2 波束形成實驗

實驗條件:目標與均勻線列陣法線方向的夾角分別為0°、3°和6°。目標分成兩組，第一組目標分別位于0°和6°的位置，第二組目標分別位于0°和3°的位置。分別對半波長間隔的24元和48元均勻線列陣進行了仿真分析。

圖3為24陣元基陣波束圖。圖3(a)的上圖可清晰地分辨出兩個目標的方位，下圖只有一個極值，不能分辨兩個目標。24元均勻線列陣的半波束寬度約為 BW0.5≈4.25°，而第一組目標中目標的方位差Δθ1=6°＞4.25°，故能分辨兩信號方位;第二組目標中目標的方位差 Δθ1=3°＜4.25°，故不能分辨兩目標信號方位。圖3(b)對雙目標的分辨情況與圖3(a)基本一致，因其角度掃描間隔小于圖3(a)掃描間隔(0.2°＜1°)，故其波束包絡局部結構較圖3(a)更為細致。

圖4為48陣元基陣的波束圖。從圖中可以看出，兩組信號的雙目標方位都可清晰分辨出來，其原因在于兩組信號的目標方位差都大于半波束寬度BW0.5≈2.13°，因而都能分辨出兩個目標。從波束包絡的局部結構可看出圖4(b)比圖4(a)的包絡更為平滑，原因為其掃描間隔比較小。

圖3 24陣元陣列波束圖

圖4 48陣元陳列波束圖

［1］ 王玉德.“數(shù)字信號處理”教與學的探討［J］.南京:電氣電子教學學報，2008，30(6):97-98.

［2］ 程佩青.數(shù)字信號處理教程(第二版)［M］.北京:清華大學出版社，2001.

［3］ 田坦，劉國枝，孫大軍.聲吶技術［M］.哈爾濱:哈爾濱工程大學出版社，2000.

［4］ 李志舜.魚雷自導信號與信息處理［M］.西安:西北工業(yè)大學出版社，2003.

［5］ 王永良，陳輝，彭應寧等.空間譜估計理論與算法［M］.北京:清華大學出版社，2004.