張 舉（中國電子科技集團公司 第二十研究所，陜西 西安710068）

0 引言

現(xiàn)代海戰(zhàn)中，超低空突防的來襲導(dǎo)彈已構(gòu)水面艦艇的主要威脅，而單平臺的偵察探測能力不能滿足反導(dǎo)作戰(zhàn)的要求，在此背景下，充分利用多平臺傳感器的信息共享可以提高其反導(dǎo)效果。當(dāng)采用多平臺傳感器探測的數(shù)據(jù)進行融合時，由于不同類型的傳感器的采樣率、預(yù)處理時間以及數(shù)據(jù)通信延遲，導(dǎo)致出現(xiàn)多個傳感器量測無序到達融合中心的現(xiàn)象[1]，即無序量測現(xiàn)象。由于Kalman濾波算法只適于處理順序量測，因此基于Kalman濾波框架的量測融合算法不能直接處理狀態(tài)估計的負時間更新問題。當(dāng)前針對無序量測現(xiàn)象的濾波方法主要有：丟棄延遲量測法、重新濾波法、數(shù)據(jù)緩存法和直接更新法[2]。丟棄延遲量測法會造成大量信息丟失，導(dǎo)致目標(biāo)跟蹤精度下降甚至丟失目標(biāo)。對于重新濾波法，存儲量和計算量隨傳感器數(shù)目、目標(biāo)數(shù)目及延遲時間的增長而顯著增加。數(shù)據(jù)緩存法需要較大的存儲空間而且輸出嚴(yán)重滯后。直接更新法直接使用無序量測更新當(dāng)前時刻的狀態(tài)估計，使其達到或逼近量測順序處理時的濾波精度[3][4]。

1 問題描述

對于協(xié)同作戰(zhàn)的多平臺系統(tǒng)，每個協(xié)同單元在自身坐標(biāo)系下進行目標(biāo)跟蹤的同時，接收其它平臺周期性發(fā)送探測信息。

狀態(tài)方程和測量方程如下：

其中，ωk～N（0，Qk）為建模誤差，vk～N（0，Rk）為測量誤差。 矩陣 Fk為狀態(tài)變換矩陣，Gk誤差輸入矩陣，Xk包含目標(biāo)位置、速度和加速度。

線性測量方程可通過對非線性觀測函數(shù)線性化：

其中，Xk＝［xkykzkx˙ky˙kz˙k］T

對于擴展卡爾曼濾波器的濾波方程如下：

下面在時間軸下，給出采用離散時間擴展卡爾曼濾波的負時間更新的情況。如圖1，用tk-2時刻的測量數(shù)據(jù)Zk-2，得到標(biāo)準(zhǔn)濾波器推導(dǎo)狀態(tài)估計值Xk-2/k-2。tk-1時刻遙控傳感器獲得測量值Zk-1，把這些數(shù)據(jù)添加時戳tk-1，并提交數(shù)據(jù)到具有傳輸延時的網(wǎng)上。tk時刻測量值Zk準(zhǔn)時到達，并更新狀態(tài)估計由Xk-2/k-2得到Xk/k。由于數(shù)據(jù)延時，測量值Zk-1在tk+時刻到達，把該延遲數(shù)據(jù)考慮進去用于提高狀態(tài)估計Xk/k+。

圖1 負時間更新時間軸

基于上述問題表述的負時間更新算法推導(dǎo)如下：

2 濾波模型推導(dǎo)

2.1 狀態(tài)推導(dǎo)

時間間隔表示為：

狀態(tài)Xk|j估計誤差表示為，相應(yīng)真值表示為狀態(tài)Xk，則

時間間隔T內(nèi)，狀態(tài)Xk∈Rn的離散時間推導(dǎo)表示為：

其中，F(xiàn)是離散時間狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，W（T）是對象噪聲影響的矢量Xk＝［xkx˙k］T表達式，假定狀態(tài)矢量 是一維向量，那么狀態(tài)變換矩陣為：

該模型的對象噪聲將為連續(xù)時間白噪聲加速度。單位脈沖加速度δ（t-α），tk-2＜α＜tk，將在在狀態(tài)空間［tk-2-α 1］T產(chǎn)生響應(yīng)。 白噪聲加速度ω（α）應(yīng)用整個時間間隔T產(chǎn)生對象噪聲：

從tk-2到tk狀態(tài)估計協(xié)方差的時間映射為：

2.2 tk時刻用 Zk值更新

當(dāng)測量值Zk到達濾波器用于處理時，濾波器并不知道延時測量值Zk-1的存在。因而，濾波器將繼續(xù)用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器更新處理。

首先處理將設(shè)計以前的狀態(tài)估計Xk-2

則狀態(tài)估計誤差為

標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波處理應(yīng)用增益更新狀態(tài)估計

進而可求得

考慮到突發(fā)性，負時間更新可能在Xk-2|k-2→Xk|k更新時刻，定義量

該量為協(xié)方差，tk時刻標(biāo)準(zhǔn)更新后的狀態(tài)估計誤差X?k|k，時間間隔T前半部分的累積對象噪聲誤差。通過整理可得：

2.3 負時間更新算法

延時測量 Zk-1具有誤差 vk-1～N（0，Rk-1），在狀態(tài)估計更新 Xk|k被發(fā)現(xiàn)時，時刻狀態(tài)估計更新Xk|k+。下面確定的卡爾曼增益新Kk+

該項F－1（T2）Xk|k于計算tk-1時刻更新的新息，同時確保 tk-1時刻的估計值Xk|k+。 代入Zk和 Xk，則

進而求得

3 簡單算例

這里只用目標(biāo)跟蹤的其中一個坐標(biāo)，濾波器參數(shù)為：

假定有4個測量值Zk，k=1，2，3，4，所有值的準(zhǔn)時到達在1秒的間隔內(nèi)。

為了對比分析最小均方差負時間更新方法和標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波公式的濾波結(jié)果，表1給出了三種不同情況下的最終協(xié)方差值：無延時測量值、缺失測量值Z3標(biāo)準(zhǔn)擴展卡爾曼濾波方法和Z3最后到達的負時間更新濾波方法。

表1 三種不同情況下最終協(xié)方差值

由表1可知，丟棄延時量Z3情況下，時間間隔增加到2秒，協(xié)方差值變得很大，濾波增益也很大；采用負時間更新方法濾波得到的最終協(xié)方差值與無延遲測量值的擴展卡爾曼濾波值近似是一樣的。

4 結(jié)論

本文針對多平臺傳感器目標(biāo)跟蹤的無序量測問題，給出了最小均方差負時間更新法的推導(dǎo)過程，并用簡單的例子驗證了采用負時間更新算法能夠取得較好的結(jié)果。

［1］韓崇昭，朱洪艷，段戰(zhàn)勝，等.多源信息融合[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2010.

［2］黃細鳳，吳欽章.順序更新式無序量測處理算法[J].傳感技術(shù)學(xué)報，2012，2，25（2）.

［3］Bar Shalom Y.Update with Out-of-Sequence Measurements in Tracking：Exact Solution[J].IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems，2002，38(3)：769 －778.Hilton R D，Martin D A，Blair W D.

［4］Tracking with Time Delayed Data in Multi-Sensor Systems[R].Technical Report NSWCDD/TR－93/351，AD－A355269，Dahlgren，VA，August 1993.