文蒸肖輝

(同濟大學電子與信息工程學院，上海 201804)

1 引言

色溫 (CT，color temperature)和顯色指數(shù)(CRI，color rendering index)是光源評價的重要指標，都是在三基色原理的基礎上進行的計算。目前光源色溫的計算已有相關(guān)研究［1］～［5］，但各種算法的預測精度存在不同程度的誤差，所需數(shù)據(jù)相當龐雜，計算量也很大，對于不同使用者而言，這些算法選擇性較大，可操作性太隨意，同樣的，顯色指數(shù)的計算研究也存在這方面問題［6］、［7］，其所需的參照樣板的數(shù)據(jù)表更是龐大。更為重要的是，色溫和顯色指數(shù)的計算是分開計算的，采用兩套算法的，對于計算機編程或者單獨計算，都是一件繁重、要求一定數(shù)學功底的任務。

因此，有人提出建立相應的數(shù)據(jù)庫，體現(xiàn)在RGB光源方面，殷錄橋等人在實驗中測試得到一個不同色溫配比的數(shù)據(jù)庫，實際色溫與理論計算相差無幾，基本實現(xiàn)了類太陽光動態(tài)色溫變化趨勢［8］;彭浩等人［9］依托 Matlab軟件建立了顯色指數(shù)的計算模型，只需輸入?yún)⑴c合成的單色光源光譜就可以計算出合成后光源的顯色指數(shù)。但是兩者的研究還只是基于原有算法的計算機化的結(jié)果，因此，前期的數(shù)據(jù)輸入仍然相當龐大，基于此，針對RGB-LED光源的光譜功率分布構(gòu)成的特殊性，本文提供一種RBF神經(jīng)網(wǎng)絡建立三基色配比和色溫、顯色指數(shù)之間的網(wǎng)絡模型，試圖將兩者聯(lián)系起來，使得一組配比產(chǎn)生兩個結(jié)果，同時還兼具簡單的特點，通過Matlab軟件仿真，驗證了該網(wǎng)絡模型精度高，具有很好的預測性能，可以用于實際需要。

2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡 (Radial Basis Function Neural Network，RBF)是人工神經(jīng)網(wǎng)絡的典型結(jié)構(gòu)，它是一種三層前向逼近網(wǎng)絡，即包含有一個輸入層、一個隱含層和一個輸出層，如圖1所示 (圖中的m、n和k表示相應層次的節(jié)點數(shù)目)，具有結(jié)構(gòu)簡單、學習速度快、網(wǎng)絡模型能夠用數(shù)學式子表達等優(yōu)點;而且，它是一種通用逼近器，能夠以任意精度逼近待求解預測模型［10］、［11］，特別適合于預測數(shù)據(jù)少的問題。

圖1 RBF網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)Fig.1 RBF neural network structure

在RBF網(wǎng)絡中，隱含層是由一組徑向基函數(shù)構(gòu)成，隱含層節(jié)點通過基函數(shù)執(zhí)行一種非線性變化，將輸入空間映射到一個新的空間，輸出層節(jié)點則在該新的空間實現(xiàn)線性加權(quán)組合，從而建立非線性問題的數(shù)學模型。具體結(jié)構(gòu)和參量如下:假定X=(x1，x2，x3…xm)為輸入向量，Y=(y1，y2，y3…yk)是輸出向量，且Wij是隱含層到輸出層之間的權(quán)重值，其下標表示第i個隱含層節(jié)點到第j個輸出節(jié)點的連接權(quán)重;φi是關(guān)于n維空間的一個中心點具有徑向?qū)ΨQ的基函數(shù)，基函數(shù)的目的就是將低維的線性不可分的問題轉(zhuǎn)化成高維空間內(nèi)線性可分，以逼近任意非線性函數(shù)。

研究發(fā)現(xiàn)，我們采用什么樣的徑向基函數(shù)，對RBF神經(jīng)網(wǎng)絡函數(shù)逼近的性能幾乎沒有多大的影響［12］，同時由于高斯函數(shù)形式簡單，對于任意階導數(shù)光滑性能優(yōu)越，廣泛用于各種情況下的函數(shù)逼近，即

式中 k——輸出節(jié)點數(shù);

n——隱含層節(jié)點數(shù)。

在實際應用中，網(wǎng)絡的各種參數(shù)都是通過一定的樣本進行學習得出的，這樣，輸入和輸出之間的關(guān)系就可以數(shù)學表達式表示出來。

因此，要獲得理想的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型，需要確定一下幾個方面:

①確定樣本的選擇。選擇實際測量的正確樣本，且樣本數(shù)據(jù)分布具有均衡性，這樣才能正確反映所要確立模型關(guān)系的內(nèi)在規(guī)律，充分照顧到各個情況下的規(guī)律性特征，從而建立具有廣泛適用性的模型關(guān)系?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡算法的特點，樣本的規(guī)模決定了網(wǎng)絡訓練結(jié)果的精度，而樣本規(guī)模只影響訓練的時間，所以樣本規(guī)模只需滿足實際需求即可。

②確定隱含層的結(jié)構(gòu)。隱含層的節(jié)點數(shù)直接決定了RBF網(wǎng)絡的擬合程度［12］，數(shù)目過多會降低泛化能力，即用較少的樣本數(shù)據(jù)進行訓練，使神經(jīng)網(wǎng)絡對樣本數(shù)據(jù)之外的輸入也能給出合適的輸出，容易產(chǎn)生過擬合，相反又會造成誤差太大，不利于預測，所以隱含層節(jié)點數(shù)目是關(guān)鍵。目前還沒有統(tǒng)一的方法來確定節(jié)點的數(shù)目，對于小規(guī)模的樣本，隱含層的節(jié)點數(shù)?？梢匀≈档扔诨瘮?shù)中心數(shù)［13］。

③確定的函數(shù)參數(shù)有三個，分別是:RBF的中心和擴展常數(shù)以及輸出神經(jīng)元的權(quán)值。對于中心的選擇，并沒有統(tǒng)一的標準。一種常用的方法是根據(jù)經(jīng)驗選擇中心，但對樣本的分布均勻性要求很高，中心一旦確定，就不再發(fā)生改變，但算法無法判斷樣本是否選取合理;另一種就是采用聚類的方法來選擇中心，有硬C均值算法、k-means算法以及最近鄰聚類學習算法等。而擴展常數(shù)的大小和中心數(shù)往往成反比關(guān)系，該數(shù)值過小，就需要許多的神經(jīng)元來適應，這樣一來，設計的網(wǎng)絡性能就會很不好，因此，最好的方法就是采用尋優(yōu)的方式尋找合適的基函數(shù)擴展常數(shù)。而隱含層到輸出層的線性關(guān)系中的權(quán)值有多種算法:梯度下降迭代法，偽逆法和最小二乘法等，但常用最小二乘法求解［14］、［15］。

3 三基色配比到色溫、顯色指數(shù)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的模型確定

就目前的RGB-LED來說，商業(yè)應用的LED芯片或激發(fā)熒光粉后產(chǎn)生的藍、黃綠和紅光的峰值波長大多分別落在420～490、500～580和590～660nm區(qū)域，按照CIE顯色指數(shù)計算方法，光源的顯色指數(shù)與光譜功率分布密切相關(guān)，對于RGB-LED來說，單色LED的峰值波長是光譜功率分布的決定因素，不同的峰值波長的疊加會產(chǎn)生不同的光譜分布。一般而言，顯色指數(shù)越高，光源的照明效果會越好，但由于單個LED的光譜分布與傳統(tǒng)光源具有很大不同，因此顯色指數(shù)并不能有效的反映實際照明效果，尤其是白光 LED 光源［16］、［17］，而這并不是本文的重點，另外在一些特殊場合，對RGB-LED的顯色指數(shù)要求并不高，比如代替汞燈使用的一些場合，因此，這里對樣本輸出的顯色指數(shù)并不做過多要求，只要求符合樣本選擇的條件即可。

同時，根據(jù)三基色原理，任意色溫的光源可以通過紅綠藍任意比例實現(xiàn)，因此可以根據(jù)不同比例的三基色LED搭配來實現(xiàn)不同色溫和顯色指數(shù)的LED光源，目前商用RGB-LED色溫主要局限在2000k～6500k。

本文所使用的三基色樣本選取峰值波長分別為627nm、519nm和442nm，在這個條件下，三基色的配比作為輸入量，輸出量為色溫和顯色指數(shù)。本文選用參考文獻中的樣本［18］(見表1)，其分布均勻，完全符合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡對樣本的要求。結(jié)合RBF網(wǎng)絡性質(zhì)和聚類思想，其隱含層節(jié)點數(shù)不會超過學習樣本數(shù)。圖2為隱含層節(jié)點個數(shù)為5時的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)。

表1 RGB-LED樣本Table 1 RGB-LED samples

圖2 三基色配比與色溫、顯色指數(shù)的RBF網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)Fig.2 Three-color ratio and color temperature，color rendering index of RBF neural network structure

為了避免輸入和輸出數(shù)據(jù)離散程度太大，造成學習數(shù)值的溢出和出現(xiàn)網(wǎng)絡預測誤差大，原始數(shù)據(jù)必須進行預處理，由于輸入是三基色配比數(shù)值在0到1之間，因此只需將輸出數(shù)據(jù)做歸一化處理。

對于輸出色溫來說:

由于對于顯色指數(shù)越大，效果就愈好，因此其歸一化采用不同的方式:

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的學習和驗證

本文通過樣本的訓練要達到目標關(guān)系的擬合，經(jīng)過三個步驟:

(1)通過網(wǎng)絡學習建立目標關(guān)系的網(wǎng)絡模型;

(2)驗證網(wǎng)絡模型在一定誤差范圍下的正確性;

(3)預測在新的輸入情況下，產(chǎn)生理想輸出。

因此，本文隨機將前5個樣本和第8號樣本選作網(wǎng)絡的訓練樣本，用于網(wǎng)絡的訓練構(gòu)建，剩下的樣本6號作為驗證樣本，7號樣本作為預測樣本來驗證網(wǎng)絡的精度和準確性。網(wǎng)絡的中心數(shù)和擴展常數(shù)都采用尋優(yōu)的方式進行確定，而權(quán)值的確定將根據(jù)隱含層輸出利用最小二乘法求解，其原理是根據(jù)式 (5)即輸出層的神經(jīng)元是隱含層神經(jīng)元的輸出加權(quán)求和，建立矩陣為確保獲得最佳網(wǎng)絡設計。在Matlab中，有專門的MSE(Mean Squared Errors，均方誤差)SSE(Sum of Squares for Error，誤差平方和)性能函數(shù)來判斷神經(jīng)網(wǎng)絡的網(wǎng)絡優(yōu)越性。MSE數(shù)值的大小反映了數(shù)據(jù)的變化程度，其值越小，越說明該模型具有跟高的精確度用來描述數(shù)據(jù)關(guān)系，具體表達式如下:

其中，εi代表期望輸出和實際輸出的誤差。本文MSE的數(shù)值采用實際輸出反歸一化后的誤差進行計算，因此考慮到數(shù)量級的問題，可能會呈現(xiàn)較大的數(shù)值。

而SSE則體現(xiàn)了樣本實際輸出值的離散狀況，數(shù)值越小，越能反映網(wǎng)絡中心具有標志性，聚類效果優(yōu)異，產(chǎn)生的預測效果就會更好，因此該網(wǎng)絡就具有很好的泛化能力。在神經(jīng)網(wǎng)絡學習中，此時的誤差是實際輸出和期望輸出 (歸一化后)的比較而得，考慮到精度的要求，數(shù)值上往往呈現(xiàn)接近于零的狀態(tài)。

通過兩個性能函數(shù)對不同情況下的網(wǎng)絡模型進行判定，以尋優(yōu)的方式獲得理想網(wǎng)絡模型。

3.2 輸出數(shù)據(jù)要求

色溫是對光源顏色的度量，人眼對顏色的可辨別顏色的容許色容差一般要求在4～5SDCM內(nèi)，因此，模擬輸出的色溫偏差必須在一定色容差值內(nèi)，否則就是無效，而國家標準GB/T24823—2009《普通照明用LED模塊性能要求》其色容差僅要求小于7SCDM即可，由于不同的色溫色容差要求是不同的，結(jié)合飛利浦照明公司的數(shù)據(jù) (見表2)，本文認為輸出色溫偏差值局限在 (－200，200)作為對結(jié)果輸出有效要求。

表2 一定色溫允許偏差值范圍Table 2 Deviation range in color temperature

對于顯色指數(shù)，該數(shù)值是對光源顯色性能的評價，但是，比如指數(shù)為1，具體為何種視覺感知，目前并沒有對于顯色指數(shù)容許范圍的研究，但根據(jù)實際應用中，顯色指數(shù)往往精確到整數(shù)部分，因此，本文將結(jié)合RBF網(wǎng)絡的性能函數(shù)進行判定，使得顯色指數(shù)的輸出與實際值相差不超過1。

3.3 仿真結(jié)果分析

在Matlab上建立基于6個學習樣本的RBF網(wǎng)絡，通過不斷調(diào)整隱含層節(jié)點數(shù)，即中心數(shù)，進行，選擇擴展常數(shù)從0.2到20，步長為0.2的不同取值，進行優(yōu)化網(wǎng)絡。

例如，當中心數(shù)為5時，見圖3。

圖3 不同擴展常數(shù)下的MSE變化趨勢Fig.3 MSE trends under different extensions constant

由圖3中可知，隨著spread的增加，均方誤差剛開始為零，隨后在擴展常數(shù)為12以后發(fā)生波動，說明擴展常數(shù)并不是越大越好，由圖中可見，此時的MSE在擴展常數(shù)0.2到12內(nèi)都為0，說明此時的網(wǎng)絡可以很好地反映輸入和輸出之間的關(guān)系。

由圖4可知，SSE變化趨勢與MSE變化趨勢類似，這說明，網(wǎng)絡精度和泛化能力都有不錯的表現(xiàn)，針對已知樣本具有很好的模擬能力。經(jīng)Matlab計算，當擴展常數(shù)為7.4。

實際上由公式來看，MSE和SSE隨著擴展常數(shù)的增加，理論上應該具有相似的趨勢變化，以MSE為標準 (這里的零表示其數(shù)量級已經(jīng)達到10－10或者更小)，通過調(diào)整中心數(shù)，具體的仿真結(jié)果參見表3。

圖4 不同擴展常數(shù)下的SSE變化趨勢Fig.4 SSE trends under different extensions constant

表3 網(wǎng)絡模型仿真結(jié)果Table 3 The simulation results of the network model

在表3中，顯然隨著中心個數(shù)的不斷增加，RBF具有無限逼近的能力，輸入和輸出數(shù)據(jù)得到很好的模擬。同時從表中可以看出通過聚類方法，中心數(shù)為5或者6的網(wǎng)絡模型，在MSE相同時，網(wǎng)絡綜合性能都很優(yōu)異，不僅輸出誤差適中，而且擴展常數(shù)值符合常態(tài)，但對于這兩種網(wǎng)絡模型，通常情況下，RBF網(wǎng)絡的設計在精度滿足的情況下，會選取具有最小結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡［19］～［20］，以保證神經(jīng)網(wǎng)絡的泛化能力，因此，本文最終選取第4個網(wǎng)絡模型用于第6號樣本的驗證，見圖5。

圖5 不同擴展常數(shù)時的輸出結(jié)果 (反歸一化后)Fig.5 Results under different extensions constant

由圖5可以看出，該網(wǎng)絡模型針對測試樣本6號輸出結(jié)果與期望結(jié)果始終徘徊在個位數(shù)差值，尤其是顯色指數(shù)方面，誤差不超過0.5，與實際偏離值都在要求范圍內(nèi)，顯示該網(wǎng)絡模型的性能優(yōu)越性，通過網(wǎng)絡運行，此時的MSE在擴展常數(shù)為7.4時達到最小，數(shù)值為38.9，因此，最后確定擴展常數(shù)為7.4，結(jié)合7號樣本進行預測，其結(jié)果見表4，此時中心個數(shù)為5，擴展常數(shù)為7.4。

表4 第7號樣本預測結(jié)果Table 4 No.7 prediction results

表4結(jié)果顯示，該網(wǎng)絡模型預測數(shù)據(jù)有效，表現(xiàn)在預測色溫和實測數(shù)據(jù)僅相差20k，優(yōu)越于飛利浦照明標準對產(chǎn)品色溫的要求，同時顯色指數(shù)偏離值只有0.2，相差值不超過1，符合輸出結(jié)果要求。輸出結(jié)果與測量值相對誤差非常小，色溫和顯色指數(shù)的輸出相對誤差幾乎一樣;同時SSE精度很高，表現(xiàn)了該網(wǎng)絡模型的泛化能力仍然具有很高的水平，因此該預測數(shù)據(jù)完全可以代替測量數(shù)據(jù)，省去測量步驟。采用該網(wǎng)絡模型可以有效對三基色配比預測色溫和顯色指數(shù)，應用于光源的生產(chǎn)和評價。

4 結(jié)論

通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡建立的網(wǎng)絡模型，采用聚類的方法，針對參照樣本進行了學習和仿真，結(jié)果顯示，該網(wǎng)絡具有局部逼近的能力，只需三基色比例，就可同時獲得理想的色溫和顯色指數(shù)，快捷有效。與傳統(tǒng)的方法相比較，不僅簡單實用，而且功能強大，可同時實現(xiàn)色溫和顯色指數(shù)的獲得，對光源生產(chǎn)和及時有效的評價具有重要意義。

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