王 青

（清華大學物理系，北京 100084）

1 關于磁單極子

磁單極子是指一些僅帶有南極或北極單一磁極的磁性物質.在電磁學和電動力學中它是作為類比于電相互作用源的電荷對應針對磁相互作用的源而出現(xiàn)在物理中的.早在1931年英國物理學家狄拉克就利用數(shù)學公式預言了磁單極子的存在.當時他認為，既然帶有基本電荷的電子在宇宙中存在，那么理應有帶有基本磁荷的粒子存在.遺憾的是在現(xiàn)實世界中至今為止尚未發(fā)現(xiàn)磁單極子，而只看到正反磁荷靠的很近形成的磁耦極子.在著名的麥克斯韋方程組中，這體現(xiàn)為真空中的麥克斯韋方程組的右端沒有出現(xiàn)相應的源磁荷密度項和磁流密度項.即使這樣，在物質材料的磁性質描述中，人們還是經(jīng)常喜歡采用等效磁荷的方法進行討論和計算.理論物理學家和實驗物理學家們還在大膽地想象和探索各種可能的磁單極及其相應的物理和應用.特別是實驗物理學家們?nèi)栽谧巫尾痪氤掷m(xù)、積極、認真地尋找磁單極.雖然基本的磁單極粒子一直未能被發(fā)現(xiàn)，但層展意義的磁單極的研究進展確不斷有所報道.例如2010年10月17日自然物理子刊（DOI：10.1038／NPHYS1794）報道科學家在人工戈薇的自旋冰中觀察到實空間層展的磁單極及相關的狄拉克弦（將在下一篇文章介紹和討論狄拉克弦）.2013年6月6日，美國每日科學網(wǎng)站報道，德國科學家通過將磁鐵表面細小的磁尖混合在一起制造出了一個人造磁單極，研究結果發(fā)表在《科學》雜志上.除了實驗上的不斷探尋，這些年來理論上的討論更是給磁單極子予以濃重的理論物理色彩.在電磁學和電動力學課上若希望對磁單極子的討論予以介紹，通常無法回避其復雜的理論物理基礎與背景，導致學生聽不懂或理解不了.本文及后繼三篇文章嘗試克服這個困難，不用過多的理論物理知識，僅在電磁學和電動力學框架內(nèi)分別介紹磁單極的若干奇特性質，或者說在麥克斯韋方程的框架內(nèi)有效地實現(xiàn)理論物理對磁單極的各種暢想.由于盡量避免了艱深繁雜的非電磁學理論物理細節(jié)，這樣給出的磁單極性質描寫相比原來的理論物理描述往往圖像更加清晰，并容易為學習電磁學和電動力學尚未有足夠理論物理基礎和背景的普通大學生所理解，而筆者也借助電磁場來體驗和展示了理論物理學家的那些荒誕和古靈精怪的奇思妙想.由于在電磁學和電動力學課程中絕大多數(shù)討論的內(nèi)容是已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很久的各種物理現(xiàn)象，把磁單極這樣一種在經(jīng)典電磁現(xiàn)象中唯一尚未被發(fā)現(xiàn)的物質新的基本組分的介紹引進電磁學和電動力學課，對提升課程的先進性和趣味也許會有幫助.遺憾的是，關于磁單極的理論討論通常是十分散亂和零碎的.有鑒于此，筆者分四篇文章分別選四個相互獨立的涉及磁單極的例子，依據(jù)電磁學和電動力學針對磁單極的特定性質進行詳細的介紹和演繹，展示有別于通常理論物理討論的磁單極子的另類推導.這四篇文章可以看作在前期《物理與工程》雜志上業(yè)已發(fā)表的《電磁學與電動力學中的超導》文章（2013.23（5））的后繼文章，它們的主要內(nèi)容曾由筆者于2013年7月在云南昆明由國家自然科學基金委員會資助、教育部高等學校物理學類專業(yè)教學指導分委員會主辦，云南大學物理科學技術學院承辦的“2013年全國高等學校電磁學與電動力學課程骨干教師培訓班”上進行過講解和介紹.

2 磁單極與點電荷體系的電磁場角動量

本文討論涉及磁單極的電磁場的角動量.由于電磁場的角動量要求同時存在磁場和電場時才可能具有，因此考慮一個最基本的滿足這樣要求的體系，它由一個磁荷為g的磁單極和一個電荷為e的點電荷構成.把磁單極放在坐標原點.這個體系的安排如圖1所示，其中磁單極到場點P的矢量為r，點電荷到場點P的矢量為r′，磁單極到點電荷的矢量為R＝r－r′.為方便討論，進一步引入r方向的單位矢量和r′方向的單位矢量.磁單極在場點P產(chǎn)生的磁場強度H 通過適當?shù)膯挝恢七x擇可以寫為：；點電荷e在場點P產(chǎn)生的電場強度E可以寫為：E＝下面先計算這樣一個體系的電磁場的總角動量，它可按照標準的電動力學公式寫為

圖 1

其中，先把磁感應強度B＝μ0H的表達式代入上式并將r改用單位矢量n表達，進一步把叉乘運算改用點乘運算表達.上面結果可以進一步被化簡為

式中，第二個等號內(nèi)的第一個微商對其后面E的作用所導致的項與第二項正好抵消，剩下第一個微商對其后面n的作用所導致的項正是第一個等號后面所給出的項.在第三個等號后，利用數(shù)學上全散度體積分與面積分的互換公式把第二個等式的第一項換為在無窮大空間邊界上的面積分，也就是第三個等式的第一項.在這個無窮大的面上，由于距磁單極和點電荷已經(jīng)是無窮遠的距離，n′、r′和n、r之間的差別已經(jīng)可以忽略，因此電場表達式中的n′和r′完全可以用n 和r來替代，即dΩ，其中，dΩ 是無窮遠表面上的無窮小面元對坐標原點張開的無窮小立體角角元.把這個結果用于計算上面公式第三個等式中的第一項＝0，其中，最后的零是因為在4π立體角積分的過程中單位矢量n和它的反向矢量－n總會相互嚴格抵消掉.對上面公式第三個等式中的第二項中的Δ·E項可以利用麥克斯韋方程組將其化為：

其中，eδ（r′）是點電荷e的電荷密度.利用δ函數(shù)可以完成上面公式第三個等式中的第二項中的體積積分，得到結果：

結合前面討論上述公式第三個等式中的第一項的零結果，最后得到這個由磁單極和點電荷組成的體系的電磁場的總角動量為這是一個極其簡單的結果：電磁場總角動量的方向沿點電荷和磁單極的連線方向，大小只依賴于磁單極的磁荷量和點電荷的電量的乘積.雖然這樣一個體系的電磁場分布在全空間，因而場的角動量也彌散分布在全空間各處，但所有電磁場的角動量之和確只依賴磁荷和電荷的大小及兩者的連線方向.

以上結果的一個更加深刻的引申討論是：如果考慮到在微觀尺度角動量是量子化的（這點是本文唯一超出經(jīng)典電磁學和電動力學的地方），即角動量的大小不能取連續(xù)值，而只能取某個基本單位的整數(shù)倍.那么利用剛得到的角動量的大小和磁荷與電荷的簡單關系，磁荷與電荷的乘積也不能取連續(xù)值，而只能是某個基本值的整數(shù)倍.對給定的磁荷，它要求電荷必須是量子化的（即電荷必須取分立值，且是基本單位的整數(shù)倍）；反之對給定的電荷，磁荷也必須是量子化的.由于基本的磁單極尚未被發(fā)現(xiàn)，因此這個量子化關系尚未能夠實際實現(xiàn)，但一旦人類真正找到了（哪怕只有一個）磁單極，上面討論的量子化條件針對電荷就變成是現(xiàn)實的了.在物理學里，量子化是非常奇妙而又令人匪夷所思的現(xiàn)象，直到今天大部分的量子化問題，我們知道該怎么做，但無法理解為什么要這么做.現(xiàn)在通過這個由磁單極和點電荷組成的體系的電磁場角動量與磁荷和電荷的簡潔關系，把兩種看起來完全互沒關系且很難理解的量子化現(xiàn)象關聯(lián)起來了：只要存在磁單極，角動量量子化意味著電荷量子化，反過來承認電荷量子化則意味著場的角動量必須量子化（當然我們會問這只導致場角動量的量子化，那么對通常力學里說的機械角動量也許還是沒有影響.下面將要通過角動量的轉化與守恒說明場角動量的變化可以導致機械角動量的相應變化，由此，場角動量的量子化也就傳遞到了機械角動量的量子化上）.經(jīng)典電磁學和電動力學通過這樣一個簡單的體系展示出其遠超越本身的更深層次的物理關系.

3 磁單極與點電荷體系角動量的轉化與守恒

由于角動量在力學中經(jīng)常被作為守恒量來進行討論和應用，因此自然地會去問對目前這個體系角動量是否也是守恒的.本文的以下部分就詳細地討論這個問題.實際上，從麥克斯韋方程出發(fā)可以分別推導出能量、動量和角動量的轉化和守恒定律.只不過在通常的電動力學課程教學過程中，大多只講能量轉化和守恒定律，至多再講一下動量的轉化和守恒定律，為了節(jié)省課時一般都不會再去涉及角動量的轉化和守恒定律.但是考慮到角動量在量子物理中所起的重要作用，如果有可能對角動量的轉化和守恒定律是應該設法予以討論的.著名物理學家費曼就在他的《費曼物理學》的第二冊通過一個佯謬例子來說明電磁場的角動量是如何與機械角動量實現(xiàn)相互轉化的.對具有角動量的磁單極與點電荷體系，可以通過明顯的計算來討論其可能的角動量的轉化與守恒.

圖 2

注意到前面在計算磁單極與點電荷體系中電磁場的角動量時，并未限制電荷與磁單極之間的距離一定是固定不變的，那時的計算只關心在某個時刻點電荷相對磁單極的瞬時位置.由此，可以應用那里的結果到點電荷相對磁單極有相對運動的情形.取磁單極為靜止的參考系并把磁單極放在坐標原點，設點電荷相對磁單極的運動速度為，如圖2所示.在通常的電磁學或電動力學教材中，有時會看到類似系統(tǒng)被作為例題來進行討論.的洛倫茲力：.當點電荷從距磁單極位移R運動到位移R＋dR處時，設點電荷的機械角動量的變化為dL機械，則按照角動量的定義：dL機械＝d（R×p）＝（dR）×p＋R×dp＝R×Fdt，其中對第二個等號的第一項利用p＝，發(fā)現(xiàn)它實際沒有貢獻，即（dR）×p＝這樣的例題一般是計算一個磁單極從無窮遠射向一個帶電的點電荷（例如原子核），經(jīng)過與該點電荷進行彈性散射后飛向無窮遠，然后證明在瞄準距離（圖2中的參數(shù)b）很大時整個過程前后的角動量守恒.在這個例題中討論的是整體的體系角動量守恒，而目前的例子針對的是局域的角動量的轉化和守恒.或換句話說，我們關心具體到某個時刻和相鄰的下個時刻時體系的角動量的相互關系，并且對點電荷和磁單極之間的關系不做任何限制.從局域的角動量轉化和守恒很容易導出整體的角動量守恒，而反過來則一般無法導出.因此本文選擇的討論比通常教科書中的討論要更加詳細和一般.

對這個相互之間有運動的體系的電磁場總角動量，利用本文前面的計算，已經(jīng)知道了其電磁場的角動量L場，但這個體系不僅具有電磁場的角動量，如果點電荷具有質量m，則它由于運動還會帶有機械角動量L機械.磁單極在目前所選擇的參考系下，由于靜止在坐標原點，不具有機械角動量.為了討論角動量的轉化和守恒，必須要知道體系的機械角動量L機械.為此先計算一下點電荷受到dR×m＝0，因此dL的計算中只剩下第二個機械等式中的第二項.再利用牛頓第二定律F＝把動量的無窮小變化改用力替代，就得到了第三個等式的結果.進一步代入前面計算的洛倫茲力的結果，發(fā)現(xiàn)：

一個磁單極和一個點電荷體系的角動量及其守恒問題很容易被推廣到一個磁單極和一團電荷分布的體系.這時只要將整個的電荷分布化為一個個近似可用點電荷代替的小塊電荷區(qū)域，分別計算其與磁單極之間的角動量，再利用疊加原理把結果疊加起來即可.更復雜地，一團磁荷體系（這時不一定再局限于是磁單極，可以是有效磁荷）和一團電荷體系的角動量及其守恒問題也可以本文的結果為基礎通過疊加原理計算出來.從這個角度上，本文給出的是一般的電磁體系的角動量及其守恒問題最基礎的討論.

［1］ 王青.電磁學與電動力學中的超導［J］.物理與工程，2013，23（5）：1－4，9.