李崇輝，李鑄洋，鄭 勇，張 超

（信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，鄭州 450001）

1 引言

傳統(tǒng)的天文導(dǎo)航定位原理都是基于天文定位三角形或高度差法來實(shí)現(xiàn)的，其顯著特點(diǎn)是以小視場光學(xué)成像系統(tǒng)為核心部件，由于觀測(cè)效率低下，所以每次進(jìn)行導(dǎo)航定位時(shí)一般只能利用2－3個(gè)天體的觀測(cè)信息。然而要實(shí)現(xiàn)快速高精度的天文導(dǎo)航定位，就需要同時(shí)觀測(cè)多個(gè)天體的信息，并利用處理設(shè)備實(shí)時(shí)解算得到測(cè)站的位置［1-6］。目前大視場天文導(dǎo)航設(shè)備的出現(xiàn)使得人們能夠同時(shí)獲得多個(gè)天體的觀測(cè)信息，但是常用的導(dǎo)航定位方法還是傳統(tǒng)的定位三角形原理［7-9］，本文提出了一種基于矢量分析的，可以同時(shí)處理多星觀測(cè)信息的天文導(dǎo)航定位方法。其基本過程是確定觀測(cè)天體分別在地心赤道坐標(biāo)系和地平坐標(biāo)系中的位置矢量，并據(jù)此求得兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，根據(jù)該轉(zhuǎn)換矩陣即可求得測(cè)者的位置信息。

2 相關(guān)坐標(biāo)系統(tǒng)及轉(zhuǎn)換

天文導(dǎo)航定位涉及多個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，如用于表示天體視位置的地心赤道坐標(biāo)系，用于表示天體地平位置的地平坐標(biāo)系，以及固連于觀測(cè)儀器的載體坐標(biāo)系。為方便起見，假設(shè)天文觀測(cè)時(shí)載體精確水平，并且其航向指向正南，即載體坐標(biāo)系與地平坐標(biāo)系重合。

2.1 地心赤道坐標(biāo)系

地心赤道坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于地心，其X軸指向春分點(diǎn)，Y軸指向上點(diǎn)，Z軸指向北天極，X軸、Y軸和Z軸構(gòu)成右手系。通常用赤經(jīng)α和赤緯δ來表示天體在地心赤道坐標(biāo)系中的坐標(biāo)［10］，如圖1所示。

圖1 地心赤道坐標(biāo)系

根據(jù)觀測(cè)時(shí)刻，從星表中可直接推算得到的天體的地心赤道坐標(biāo) （視位置），一般都表示為赤經(jīng)和赤緯 （α，δ），也可用空間直角坐標(biāo)表示為

式中

式中，F(xiàn)e為地心赤道坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)基，Xe、Ye、Ze分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的單位矢量。

2.2 地平坐標(biāo)系

地平坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于測(cè)站中心，其X軸指向正南方向，Y軸指向正西方向，Z軸指向天頂，X軸、Y軸和Z軸構(gòu)成左手系。通常用方位角A和高度角h來表示天體的地平坐標(biāo)［9］，如圖2所示。

若觀測(cè)載體精確水平，并且天文觀測(cè)儀器的零軸指向正南方向，則可直接觀測(cè)得到天體的地平坐標(biāo) （A，h），也可用空間直角坐標(biāo)表示為

式中，F(xiàn)h為地平坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)基，Xh、Yh、Zh分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的單位矢量。

2.3 坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

地平坐標(biāo)系到地心赤道坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要以時(shí)角坐標(biāo)系Ft為中介，其定義可參閱文獻(xiàn)［9］。若測(cè)站經(jīng)緯度為 （λ，φ），首先以Y軸為旋轉(zhuǎn)軸，將地平坐標(biāo)系系旋轉(zhuǎn)一個(gè)ψ角

使地平坐標(biāo)系的Z軸與時(shí)角坐標(biāo)系的Z軸重合。則可得轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

然后從時(shí)角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地心赤道坐標(biāo)系，注意到地平坐標(biāo)系和時(shí)角坐標(biāo)系均為左手系，而地心赤道坐標(biāo)系為右手系，因此轉(zhuǎn)換前應(yīng)先將Y軸反向，并以Z軸為旋轉(zhuǎn)軸，將時(shí)角系旋轉(zhuǎn)一個(gè)θ角：

式中，S為觀測(cè)時(shí)刻的格林尼治恒星時(shí)，可由觀測(cè)時(shí)的協(xié)調(diào)世界時(shí)時(shí)刻換算得到［10］。旋轉(zhuǎn)后使時(shí)角坐標(biāo)系的X軸與重合地心赤道坐標(biāo)系的X軸重合，則可得轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

綜合式 （6）及式 （8）可得地平坐標(biāo)系到地心赤道坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

從式 （9）中可以看出，地平坐標(biāo)系到地心赤道坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣只包含了測(cè)站的經(jīng)度λ和緯度φ兩個(gè)未知參數(shù)。因此，只需要求得兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，即可解得測(cè)站經(jīng)緯度。

3 雙星矢量天文導(dǎo)航定位

假設(shè)分別觀測(cè)了兩個(gè)天體σ1和σ2，其位置矢量分別為和，它們?cè)诘匦某嗟雷鴺?biāo)系和地平坐標(biāo)系中的矢量可表示為

式中，Ue、Ve和Uh、Vh分別為、在地心赤道坐標(biāo)系和地平坐標(biāo)系中的方向余弦，根據(jù)式 （1）及式 （3）可表示為

對(duì)坐標(biāo)基進(jìn)行單位化

記該坐標(biāo)基為Fs

將式 （10）、式 （11）分別代入式 （14）、式（15）及式 （16）可得

其中，Cse為坐標(biāo)基Fe和Fs之間的轉(zhuǎn)換矩陣，同理可得

式中，Csh為坐標(biāo)基Fh和Fs之間的轉(zhuǎn)換矩陣，令坐標(biāo)基Fh和Fe之間的轉(zhuǎn)換矩陣為Ceh，由式 （19）及式 （20）可得

因此即可求得

根據(jù)Fh和Fe之間的轉(zhuǎn)換矩陣Ceh和式 （9）即可解算測(cè)站的經(jīng)緯度 （λ，φ），文獻(xiàn) ［10］已進(jìn)行過詳述。

4 多星矢量天文導(dǎo)航定位

4.1 方法一

若同時(shí)觀測(cè)了多個(gè)天體，實(shí)現(xiàn)多星矢量定位的一種方法是選擇其中任意兩個(gè)天體按照第3節(jié)的方法解算經(jīng)緯度。理論上所有解得的經(jīng)緯度應(yīng)該一致，但是由于觀測(cè)誤差的存在，導(dǎo)致其結(jié)果必然存在差別，可根據(jù)最小二乘法加權(quán)求解測(cè)站經(jīng)緯度的最優(yōu)估值，具體原理為［11］：設(shè)共觀測(cè)了N個(gè)天體，則可構(gòu)成個(gè)矢量對(duì)，從而求解得到測(cè)站經(jīng)緯度為 （λi，φi），其中i＝1，2，…N（N－1）/2。設(shè)和之間的夾角為θi，若認(rèn)為所有天體位置矢量的觀測(cè)精度一致，則容易證明，當(dāng)和正交，即θi＝90°時(shí)的定位誤差最小，當(dāng)θi＝0o或θi＝180o時(shí)定位誤差最大，故設(shè)定 （λi，φi）的權(quán)為

則根據(jù)最小二乘平差原理，最終的經(jīng)緯度為［8］

4.2 方法二

基于式 （10）建立誤差方程，其原理是根據(jù)同一個(gè)天體在兩個(gè)坐標(biāo)系中的矢量差異最小從而求解轉(zhuǎn)換矩陣，再根據(jù)轉(zhuǎn)換矩陣求解測(cè)站經(jīng)緯度。

同一個(gè)天體在地心赤道坐標(biāo)系和地平坐標(biāo)系中的位置矢量可如式 （12）表示，將地平坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到與地心赤道坐標(biāo)系相重合，設(shè)三個(gè)旋轉(zhuǎn)歐拉角分別為 （εx，εy，εz），可由旋轉(zhuǎn)矩陣A表示為

于是可得到第個(gè)i天體位置矢量在兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為

由于觀測(cè)誤差的存在，導(dǎo)致式 （28）不可能嚴(yán)格成立，因此可建立誤差方程如下

式中，為待估矩陣，其中包含的三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)為未知參數(shù)，其估計(jì)準(zhǔn)則可設(shè)為

式中，‖·‖表示歐式二范數(shù)，這就是著名的Wahba問題［12］，目前有多種解法可求解得到旋轉(zhuǎn)參數(shù) （εx，εy，εz）或旋轉(zhuǎn)矩陣A。根據(jù)式 （9）可知

根據(jù)式 （31）即可解得測(cè)站的經(jīng)緯度 （λ，φ）。

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)的基于球面三角形或高度差的天文定位方法只能利用天體的高度觀測(cè)信息，而忽略了天體的方位觀測(cè)信息。多星矢量天文導(dǎo)航定位方法同時(shí)考慮天體的方位角和高度角，并將每一個(gè)天體的觀測(cè)位置作為一個(gè)矢量進(jìn)行計(jì)算，其核心是求解地平坐標(biāo)系到地心赤道坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，因?yàn)槠渲邪瑴y(cè)站位置信息。這不僅提高了觀測(cè)量的利用率，而且能用于高精度、高自動(dòng)化、大數(shù)據(jù)量的天文導(dǎo)航定位。需要指出的是，本文為方便推導(dǎo)首先假設(shè)測(cè)者載體坐標(biāo)系與地平坐標(biāo)系重合，而實(shí)際導(dǎo)航定位過程中只需要利用水平基準(zhǔn)裝置測(cè)得運(yùn)載體的二維水平傾角，就能得到載體坐標(biāo)系與地平坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，然后即可按照本文所述方法實(shí)現(xiàn)多星矢量導(dǎo)航定位。

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