王勝利，王 慶，聶文鋒，潘樹國

（1.東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096；2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，南京 210096；3.安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院，安徽 淮南 232001）

1 引言

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng) （BeiDou navigation satellite system，BDS）是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng) （global navigation satellite system，GNSS）的重要組成部分［1］。BDS的導(dǎo)航星座主要由中圓地球軌道（medium earth orbits，MEO）衛(wèi)星、地球靜止軌道 （geostationary earth orbits，GEO）衛(wèi)星及傾斜地 球 同 步 軌 道 （inclined geo－synchronous orbits，IGSO）衛(wèi)星組成［2］，其中高軌道衛(wèi)星GEO/IGSO運行軌跡變化相對緩慢，GEO/IGSO衛(wèi)星相對接收機運動的角速度變化并不顯著，由此導(dǎo)致的模糊度解算觀測方程的病態(tài)性是BDS高精度定位模型的核心問題。

準(zhǔn)確和快速確定模糊度固定值有兩個前提：一是要有較準(zhǔn)確的模糊度浮點解，二是要有較好的模糊度搜索方法［3-4］。模糊度解算的處理流程是首先進行最小二乘 （least square，LS）估計模糊度浮點解，然后結(jié)合各種搜索模糊度的方法來確定整周模糊度，其中最具影響力的搜索方法有最小二 乘 降 相 關(guān) 分 解 法［5-6］（least－square ambiguity decorrelation adjustment，LAMBDA）和最小二乘 模 糊 度 搜 索 法［7-8］（least－squares ambiguity search technique，LSAST）等。對于準(zhǔn)確快速確定模糊度浮點解，文獻［3］利用雙差模型的法方程有三個特征值接近于零，其他特征值遠大于它們的特征，提出了基于奇異值分解的Tikhonov正則化解法，結(jié)果表明在分米級基線偏差時解算模糊度成功率較高，但是不適合于基線偏差較大的情況。文獻［4］針對這個問題，提出了利用基線先驗精度信息實時估計正則化參數(shù)的正則化算法，結(jié)果表明結(jié)合其提出的模糊度線性約束條件可提高模糊度解算效率和正確率。文獻［9］則進一步利用文獻［3］中特征值的特征，構(gòu)造了雙k嶺估計的方法對模糊度浮點解精度進行了改善。但是這些算法一是針對以軌道運行速度較快的中軌道MEO衛(wèi)星為基礎(chǔ)的全球定位系統(tǒng) （global positioning system，GPS）及格洛納斯衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng) （global navigation satellite system，GLONASS），而BDS主要由高軌道衛(wèi)星組成，GEO/IGSO衛(wèi)星平均運行角速度僅為MEO衛(wèi)星的2%及60%左右，因此運行特征存在一定差別，二是與常規(guī)基線處理中模糊度解算不同，在網(wǎng)絡(luò)實時動態(tài) （real time kinematic，RTK）基線處理中，基線偏差很小，先驗精度比較高，高精度定位模型也存在一定的區(qū)別。

本文通過對GPS中軌MEO衛(wèi)星，BDS高軌GEO/IGSO衛(wèi)星角速度的比較，詳細分析了BDS高精度定位模型中出現(xiàn)病態(tài)性問題的原因。針對這種問題，通過對兩個天頂對流層參數(shù)加以約束，提出了基于部分嶺估計的模糊度浮點解快速解算的改進方法。實驗算例的結(jié)果表明，在利用GEO/IGSO衛(wèi)星快速高精度定位時，該方法能夠提高模糊度浮點解的精度，進而縮小LAMBDA算法的搜索空間，提高模糊度固定解的合格基線方差比 （即Ratio）值。因此，本文探討的是制約BDS高精度定位的本質(zhì)問題和改進方法，是進一步研究BDS與其他GNSS技術(shù)融合高精度定位的基礎(chǔ)，具有理論意義和實際應(yīng)用價值。

2 GEO/IGSO載波相位雙差定位模型

在網(wǎng)絡(luò)RTK長基線處理中，采用的載波相位雙差觀測值能夠消除接收機鐘差和衛(wèi)星鐘差。當(dāng)距離較長時，由于對流層延遲很難用模型較好消除，所以引入天頂對流層參數(shù)進行估計。而對于電離層延遲，可以采用電離層無關(guān)的線性組合來削弱影響。

假設(shè)基站p，q觀測共視衛(wèi)星有n＋1顆，并且選擇參考衛(wèi)星編號為k，單歷元載波雙差網(wǎng)絡(luò)RTK L1模糊度解算誤差方程可表示為

式中

▽（·）為單差算子，▽Δ（·）為雙差算子，MF（·）為 映 射 函 數(shù)，▽MF）＝MF）－MF），ZTD為測站的天頂對流層濕延遲，λ、N分別表示L1載波波長和模糊度，λW、λN分別表示寬巷波長和窄巷波長，φIF、φ1、φ2、ρ、NW分別表示無電離層組合觀測值、L1相位觀測值、L2相位觀測值、衛(wèi)地距、寬巷模糊度、▽ΔTD為雙差對流層延遲干分量，可以用模型估計，f1、f2分別為L1載波頻率和L2載波頻率。

式 （1）為一個歷元的誤差方程，可簡寫為

因此，對于單個歷元，共視衛(wèi)星n＋1顆，可列n個誤差方程，而存在2個映射函數(shù)參數(shù)，以及n個雙差模糊度參數(shù)，共n＋2個未知參數(shù)，無法用單歷元求解。所以需要多歷元解算，解算方法可以使用序貫最小二乘。

3 GEO/IGSO雙差模糊度模型病態(tài)性分析

設(shè)兩基站連續(xù)觀測m個歷元，共視n＋1顆衛(wèi)星，在較短的時間內(nèi)天頂對流層延遲變化不大，因此假設(shè)對流層不變。總的誤差方程可以表示為

可寫成

式中，A為s×2維，C為s×n（s＝m×n）維系數(shù)矩陣，TZTD為2×1，▽ΔN為n×1維待估參數(shù)向量，L為s維雙差觀測值向量，V為s維殘差向量。

在最小二乘準(zhǔn)則下，由式 （6）組成法方程，得到無偏待估參數(shù)的解為

在主要由IGSO和GEO衛(wèi)星組成BDS中，由于GEO/IGSO衛(wèi)星屬于高軌衛(wèi)星，軌道高，運行速度慢，特別是GEO衛(wèi)星，運行軌跡變化相對緩慢，運行角速度變化并不顯著，如圖2及圖3所示。一方面由于衛(wèi)星結(jié)構(gòu)變化緩慢，另一方面，又由于對流層延遲變化不明顯，導(dǎo)致當(dāng)法方程行列式的絕對值很小時，一旦Naa，W有較小擾動，就會使得參數(shù)解有較大擾動，即導(dǎo)致觀測方程出現(xiàn)病態(tài)性問題。

圖1 GPS運行角速度

圖2 IGSO運行角速度

圖3 GEO運行角速度

圖1表示的是GPS G01號衛(wèi)星角速度從2012年6月27日0點至24點的變化情況，圖2是IGSO C06號衛(wèi)星角速度從2012年7月19日9點至7月20日1點變化情況，圖3是GEO C05號衛(wèi)星角速度從2012年7月19日9點至7月20日20點的變化情況。

從圖1、圖2及圖3可以看出，MEO G01衛(wèi)星的角速度最大，IGSO C06衛(wèi)星次之，GEO C05號衛(wèi)星最小，與實際情況相符。

模型的病態(tài)性可由法方程的條件數(shù)來表示。條件數(shù)是病態(tài)性的一種度量指標(biāo)。文獻 ［10］給出了一個經(jīng)驗數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，即0＜cond（N）＜100，認為沒有病態(tài)性；100≤cond（N）≤1000，認為存在有中等程度或較強的病態(tài)性；cond（N）＞1000，則有較嚴(yán)重的病態(tài)性 （cond（N）表示方程N的條件數(shù)）。本文采用法方程的條件數(shù)來衡量定位模型的病態(tài)性。

實驗通過數(shù)據(jù)模擬的方式，分析GPS和GEO/IGSO定位的病態(tài)性問題。以東南大學(xué)禮西樓頂點 （32.058°N，118.789°E）為參考站 A，以距離A站5km的倍數(shù)，方位角沿東方向每隔5km取點，構(gòu)造出B點的坐標(biāo)。分析基站距離由5－200 km，觀測時間由5－30min的基站模糊度解算中單GPS和單BDS的結(jié)構(gòu)及區(qū)別，如下圖所示 （由于條件數(shù)值比較大，采用了條件數(shù)的自然對數(shù)）。

圖4 GPS條件數(shù)

圖5 BDS條件數(shù)

圖6 BDS－GPS條件數(shù)

從圖4、圖5及圖6中可以看出，隨著基站間距離的增加和觀測時間的延長，GPS和BDS條件數(shù)都降低。這是由于基站間距離增加，兩個基站天頂對流層延遲相關(guān)性減弱，病態(tài)性降低。又由于觀測時間越長，衛(wèi)星空間幾何結(jié)構(gòu)變化越明顯，病態(tài)性也降低。同時可以看出，載波雙差解算中，BDS的法方程條件數(shù)相應(yīng)要大于GPS的條件數(shù)，且隨著距離的增加和時間的延長，兩者的差異性越來越大。由此也反映了BDS中GEO/IGSO衛(wèi)星運行速度慢，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)變化緩慢，病態(tài)性較GPS MEO衛(wèi)星嚴(yán)重的特點。如果不進行改進，應(yīng)用序貫最小二乘求解時，模糊度浮點解的精度很低，與準(zhǔn)確值相差較大，嚴(yán)重影響網(wǎng)絡(luò)RTK的初始化時間以及導(dǎo)航定位的精度和效率。

4 基于部分嶺估計的病態(tài)性改進方法及實驗驗證

載波雙差定位模型

在實際的平差問題中，法方程系數(shù)陣的行列式不應(yīng)為零，但它的絕對值可能很小，條件數(shù)很大，使得參數(shù)解很不穩(wěn)定。

嶺估計是從減小均方差的角度出發(fā)而提出的一種有偏估計方法［11-12］，部分嶺估計是基于嶺估計思想的一種新的有偏估計方法［4］。文獻 ［13］給出了均方差意義下有偏估計解由優(yōu)于傳統(tǒng)最小二乘的條件。未知參數(shù)的部分嶺估計解為

由式 （11）可知，部分嶺估計是在最小二乘估計的法方程系數(shù)陣Naa的主對角線對流層項上加上一個常數(shù)k，從而改變法方程系數(shù)陣的態(tài)性。

為了驗證本文中針對GEO/IGSO衛(wèi)星高精度定位病態(tài)性問題提出的基于部分嶺估計的模糊度浮點解快速解算方法，進行了大量的實驗。通過選取不同的嶺參數(shù)k值，計算對應(yīng)的Ratio值來衡量模糊度解算的準(zhǔn)確程度。

實例1中，基線長度20km，采樣率5s，高度截止角為10°，觀測時間從1min到5min，觀測到6顆衛(wèi)星，分別為C01，C03，C04，C06，C07，C08，參考衛(wèi)星為C08。k值的選取從0到1，分別計算對應(yīng)的Ratio值，如圖7所示。

圖7 不同觀測時間不同k值的模糊度解算情況

實例2中，基線長度20km，采樣率5s，高度截止角為10°，觀測時間從1min到5min，觀測到6顆衛(wèi)星，分別為C01，C03，C04，C06，C08，C09，參考衛(wèi)星為C06。k值的選取從0到1，分別計算對應(yīng)的Ratio值，如圖8所示。

圖8 不同觀測時間不同k值的模糊度解算情況

從圖7及圖8可以看出，隨著觀測時間的增加，Ratio值逐漸變大，并且不同的觀測時間對應(yīng)某一具體的嶺參數(shù)k值，使得Ratio值達到最大。由此可以看出，本文提出的部分嶺估計方法確實改善了模型的病態(tài)性，提高模糊度浮點解的精度，縮小了模糊度浮點解的搜索空間，進而提高模糊度固定的準(zhǔn)確率。在此基礎(chǔ)上采用LAMBDA算法可快速準(zhǔn)確的固定整周模糊度，減小網(wǎng)絡(luò)RTK的初始化時間，提高導(dǎo)航定位的精度和效率。

5 結(jié)論

本文針對BDS中GEO/IGSO衛(wèi)星高精度定位模型中病態(tài)性問題，通過對兩個天頂對流層參數(shù)加以約束，提出基于部分嶺估計的模糊度浮點解快速解算方法，改善了模型的病態(tài)性，提高了模糊度浮點解的精度。實際算例的結(jié)果驗證了該算法的正確性。但是對于不同長度不同觀測時間的基線，如何選取嶺參數(shù)k值使得Ratio值達到最大，最大程度提高模糊度浮點解的精度是今后進一步研究的內(nèi)容。

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