程旭健

（武義二中，浙江 武義 321203）

彈性碰撞（又稱完全彈性碰撞）是中學(xué)物理和大學(xué)物理中都涉及的課題.彈性碰撞的特點(diǎn)是碰撞前后兩物體的總動(dòng)量和總動(dòng)能守恒.那么，彈性碰撞成立的前提條件是什么？

17世紀(jì)，惠更斯指出，只有在碰撞后物體不發(fā)生永久形變、不裂成碎塊、不粘在一起、不發(fā)熱以及不發(fā)生其他內(nèi)部變化的情況下，動(dòng)能才是守恒的.這個(gè)表述是具體的，直觀的，但不夠深入.

現(xiàn)在一般大學(xué)教材論述彈性碰撞的過程時(shí)，把它分為兩個(gè)階段：壓縮階段和恢復(fù)階段.兩物體碰撞壓縮時(shí)有一部分（或全部）動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，在恢復(fù)階段彈性勢(shì)能全部變回動(dòng)能.據(jù)此，有的文獻(xiàn)提出了不妥當(dāng)?shù)恼f法.如網(wǎng)上百度百科這樣定義彈性碰撞：兩碰撞體的接觸區(qū)域僅發(fā)生彈性變形的碰撞表述為：“真正能反映碰撞過程的定義應(yīng)當(dāng)是：如果兩球碰撞過程中相互作用的內(nèi)力完全是由于形變引起的彈性力（保守力），而無其他非保守內(nèi)力的作用，則此碰撞稱為完全彈性碰撞.”［1］

僅發(fā)生彈性形變的碰撞就是彈性碰撞嗎？筆者認(rèn)為，兩個(gè)彈性體碰撞過程中相互作用的內(nèi)力完全是由于形變引起的彈性力（保守力）的前提下（沒有產(chǎn)生內(nèi)能或塑性形變之類），這種碰撞還未必是彈性碰撞.因?yàn)榕鲎策^程中一般有部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以動(dòng)能并不守恒，只能稱為機(jī)械能守恒，即動(dòng)能與彈性勢(shì)能之和守恒，稱不上彈性碰撞.現(xiàn)分析和計(jì)算如下，不妥之處請(qǐng)指正.

對(duì)于最簡(jiǎn)單的模型如兩個(gè)帶小球的彈簧碰撞見圖1，動(dòng)能是守恒的，但對(duì)結(jié)構(gòu)稍復(fù)雜一點(diǎn)的物體，碰撞結(jié)束后，物體未必恢復(fù)原狀，因而保留有一部分彈性勢(shì)能，這部分彈性勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，也就是說，物體碰撞結(jié)束之后還會(huì)振動(dòng).圖2所示的兩個(gè)鋼球碰撞時(shí)有清脆的撞擊聲；碰撞彈開后我們?cè)囍檬肿プ∑渲腥我粋€(gè)鋼球，手會(huì)感到有振顫感.這些事實(shí)說明物體碰撞后有一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化成振動(dòng)的能量.

圖1

圖2

為簡(jiǎn)單起見，我們考慮這樣一個(gè)物理模型如圖3：碰撞的兩物體是對(duì)稱的，每個(gè)物體都由兩個(gè)小球和兩根彈簧聯(lián)結(jié)起來，碰撞速度大小一樣.由于對(duì)稱性，它們的碰撞點(diǎn)（接觸點(diǎn)，稱為O點(diǎn)）是靜止的.在碰撞結(jié)束前它們一直接觸，這段時(shí)間內(nèi)可以看作固定在O點(diǎn)，這樣就把一個(gè)碰撞問題轉(zhuǎn)化為彈性振動(dòng)問題.為此建立坐標(biāo)系如圖4，x1、x2代表兩小球偏離平衡位置的位移.建立該系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程（忽略小球與水平支承面之間的摩擦）.

圖3

圖4

寫成矩陣形式

即

上式中

據(jù)文獻(xiàn)，［2］上述方程有非零解的充分必要條件是

將具體值（4）代入，求得

設(shè)特解x1＝Asin（ω1t＋φ1），x2＝Bsin（ω1t＋φ1），代入方程（1）、（2），求得

設(shè)特解x1＝Csin（ω2t＋φ2），x2＝Dsin（ω2t＋φ2），代入方程（1）、（2），求得則設(shè)一般解為

代入（5）式，得

x1的兩個(gè)分量都是周期函數(shù)，x1開始時(shí)為0，經(jīng)過一段時(shí)間，再次為0時(shí)，左邊第一根彈簧由壓縮狀態(tài)恢復(fù)原長(zhǎng)，接下去x1變?yōu)檎担磸椈蓪㈦x開原點(diǎn)，意味著碰撞結(jié)束，算出此時(shí)物體的動(dòng)能，與初始動(dòng)能比較，就可以知道是否動(dòng)能守恒.

對(duì)上述方程用天空軟件站的圖像繪制軟件《冰竹之新數(shù)學(xué)函數(shù) 參數(shù)方程》按精確到小數(shù)點(diǎn)后4位求得時(shí)，第2次x1＝0.此時(shí)

而初始動(dòng)能是

筆者再次用上述軟件按精確到小數(shù)點(diǎn)后7位重新計(jì)算，得

可見以一個(gè)小球和一根彈簧聯(lián)結(jié)而成的物體在對(duì)稱碰撞后確實(shí)動(dòng)能不守恒，有一小部分動(dòng)能（大約4.5%，即由算出）轉(zhuǎn)化成彈性勢(shì)能.

上面的精確計(jì)算表明，一般彈性體碰撞結(jié)束后動(dòng)能不守恒，有一小部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，所以不等于彈性碰撞.彈性碰撞是一種理想化的物理模型，除了要求碰撞過程中相互作用的內(nèi)力完全是由于形變引起的彈性力（保守力）外，還要求碰撞物體剛度大（即變形小）、幾何尺寸小，從而碰撞時(shí)間短，碰撞作用瞬時(shí)傳到整個(gè)物體，這樣的宏觀物體的碰撞才可近似地看作是彈性碰撞.真正的彈性碰撞，只有在分子、原子以及更小的粒子之間才會(huì)遇到.

1 李增林等.力學(xué).南京：南京工學(xué)院出版社，1988.197—203

2 中山大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)教研室.力學(xué)教程.北京：高等教育出版社，1978.277—288