丁麗澤,歐陽明,章晴雯

(1.嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江嘉興 314036;2.浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院,浙江杭州 310014)

利用Excel實(shí)現(xiàn)明渠特征水深計(jì)算

丁麗澤1,歐陽明2,章晴雯1

(1.嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江嘉興 314036;2.浙江工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院,浙江杭州 310014)

針對(duì)正常水深、臨界水深、收縮水深和共軛水深這四種明渠特征水深,通過Excel軟件的填充柄、單變量求解功能、循環(huán)引用迭代計(jì)算和規(guī)劃求解功能四種方法進(jìn)行求解計(jì)算。通過實(shí)例計(jì)算以及與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析,表明Excel求解與一般的人工手算或計(jì)算機(jī)編程計(jì)算相比,能更快速、準(zhǔn)確、方便地求得各種斷面形式的水深,計(jì)算過程方便易懂、計(jì)算結(jié)果精確可靠,為教學(xué)和設(shè)計(jì)等提供了很好的方法和思路。

明渠;特征水深;Excel;高次方程

在明渠水力學(xué)中,正常水深、臨界水深、收縮水深和共軛水深被稱為渠道的特征水深,在近些年來已有許多學(xué)者進(jìn)行了研究并提出了諸多的計(jì)算方法。蘆琴[1]比較系統(tǒng)地介紹了多種斷面明渠特征水深的直接計(jì)算方法,給出了較為常見的明渠特征水深直接計(jì)算公式的比較和誤差分析與評(píng)價(jià);而李蕊[2]系統(tǒng)地分析了梯形明渠特征水深的直接計(jì)算方法并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的改進(jìn)從而提出了四套相應(yīng)水深的計(jì)算公式。正如文獻(xiàn)[1]和[2]中提到的,明渠特征水深的求解實(shí)質(zhì)上是求解含多個(gè)未知參數(shù)的單變量或多變量的超越方程或高次方程;而這些方程在理論上多是沒有解析解的,因此在實(shí)際的應(yīng)用中常采用試算法、迭代法、圖解法和近似解法等。隨著研究的不斷深入,迭代算法和直接計(jì)算公式成了研究的主流方向[1-11],特別是直接計(jì)算公式的推求在近些年來已成為研究熱點(diǎn)[6-11]。在目前的文獻(xiàn)報(bào)道中,特征水深計(jì)算算法的實(shí)現(xiàn)除了常規(guī)的迭代求解和最小二乘法計(jì)算外,還包括牛頓算法[11]、遺傳算法[12]、模式搜索算法[13]、粒子群算法[14-15]、蟻群算法[16]、群競(jìng)爭(zhēng)算法[17]等。然而這些方法的實(shí)現(xiàn)通常均需借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),除了直接應(yīng)用編程軟件進(jìn)行程序編寫實(shí)現(xiàn)[18],近年來更傾向于利用數(shù)值計(jì)算軟件來求解,特別是MATLAB的使用[19-20]。然而無論是進(jìn)行編程還是利用MATLAB實(shí)現(xiàn),對(duì)于一般的工作人員和使用者而言均不易掌握,需要進(jìn)行比較專業(yè)性的學(xué)習(xí),且在實(shí)際的運(yùn)用中往往需要進(jìn)行一定的調(diào)試,特別是利用編程實(shí)現(xiàn)則更需要書寫繁復(fù)的程序代碼和集成開發(fā),這就更增加了推廣應(yīng)用的難度。在日常生活和工作中,Excel軟件作為最常用的基本辦公應(yīng)用軟件之一,其在數(shù)值計(jì)算上也具備很好的功能,用Excel求解明渠特征水深在理論上是可行的,而且這樣也可以避免必須安裝相關(guān)的專業(yè)軟件。

1 四種常見水深的基本計(jì)算公式

1.1 正常水深的計(jì)算

正常水深即為明渠恒定均勻流水深[2],通過聯(lián)立恒定流的連續(xù)方程和謝才公式可以得到明渠均勻流的流量公式,再將曼寧公式代入可以很方便地得到明渠均勻流的基本方程:

式中:n為渠道粗糙系數(shù);Q為流量;i為渠道比降;A為渠道過水?dāng)嗝婷娣e;χ為濕周。

由于過水?dāng)嗝婷娣eA和濕周χ在進(jìn)行計(jì)算時(shí)均包含正常水深h0,而不同形式的過水?dāng)嗝婢唧w計(jì)算公式有所不同。若將相應(yīng)的面積和濕周這些水力要素代入可以得到包含正常水深h0的隱式方程計(jì)算式,該方程是一個(gè)高次方程,不能直接求得正常水深h0的解析解。

1.2 臨界水深的計(jì)算

與正常水深有所不同的是臨界水深、收縮水深和共軛水深都屬于明渠恒定非均勻流水深[2],而臨界水深相應(yīng)于斷面單位能量最小值的水深,以hk表示[21]。通過計(jì)算斷面比能Es并對(duì)水深求導(dǎo)使其等于零可以求得臨界水深滿足:

式中:α為動(dòng)能修正系數(shù),通常取作1.0;Q為明渠流量;g為重力加速度,通常取為9.81 m/s2;AK為相應(yīng)于臨界水深時(shí)的過水面積;BK為相應(yīng)于臨界水深時(shí)的水面寬度。

同求解式(1)一樣,式(2)含有AK和BK,這都與臨界水深hk有關(guān),將具體斷面的水力要素代入也會(huì)得到一個(gè)高次方程,該方程除了某些簡(jiǎn)單的斷面形式(如矩形斷面),一般也沒有解析解。

1.3 收縮水深的計(jì)算

一般地,收縮水深在工程中最常見于泄水建筑物下游收縮斷面,該處流速最大,水深最小,以hc0表示,收縮水深hc0要小于臨界水深hk[21],因此水流流態(tài)為急流。利用能量守恒原理,分別取上游斷面和收縮斷面列出能量方程式,可以得到:

式中:E0為上游斷面總水頭;hc0為收縮水深;Q為過水流量;g為重力加速度,通常取為9.81 m/s2;φ為流速系數(shù);Ac0為收縮斷面面積。

顯然由于某個(gè)具體的斷面形式的斷面面積Ac0包含有收縮水深hc0,具體的水力要素代入能得到高次方程需要求解,這在理論上同樣不存在解析解。

1.4 共軛水深的計(jì)算

當(dāng)明渠中水流由急流狀態(tài)過渡為緩流狀態(tài),產(chǎn)生水面突然躍起的局部水力現(xiàn)象,也即在較短的渠段中水深從小于臨界水深急劇地躍升至大于臨界水深[21],這便是水躍,而共軛水深就發(fā)生在水躍過程中。由于水躍的上部會(huì)有表面旋滾的現(xiàn)象,故將表面旋滾起點(diǎn)的過水?dāng)嗝娣Q作躍前斷面,而表面旋滾末端的過水?dāng)嗝娣Q作躍后斷面,兩個(gè)斷面的水深分別叫作躍前水深(或第一共軛水深)和躍后水深(或第二共軛水深),我們將這兩個(gè)水深統(tǒng)稱為共軛水深。根據(jù)水躍前后斷面的動(dòng)量方程和連續(xù)性方程可以整理得棱柱體水平明渠的水躍方程:

式中:Q為流量;g為重力加速度,通常取為9.81 m/s2;A1和A2分別表示躍前和躍后過水?dāng)嗝娴拿娣e;hc1和hc2分別表示躍前和躍后過水?dāng)嗝嫘涡狞c(diǎn)的水深。

只要將水力要素代入,當(dāng)渠道斷面形狀、尺寸和過水流量一定,則水躍方程(4)兩端僅為水深的函數(shù),將之稱為水躍函數(shù):

式中:A是躍前或者躍后過水?dāng)嗝婷娣e;hc是躍前或者躍后過水?dāng)嗝嫘涡狞c(diǎn)的水深,其它符號(hào)含義同前述。

對(duì)于共軛水深,它不同于其它3種水深,因?yàn)樗舶瑑蓚€(gè)水深,它們具有相同的水躍函數(shù)值,因此將其稱作共軛水深,一般是由已知的一個(gè)共軛水深h1(或h2)計(jì)算另一個(gè)未知的共軛水深h2(或h1)。除了某些簡(jiǎn)單的斷面形式(如矩形斷面),一般共軛水深的計(jì)算并不存在解析解。

2 水深計(jì)算的Excel求解方法

由于明渠特征水深的求解實(shí)質(zhì)上是求解含多個(gè)未知參數(shù)的單變量或多變量的超越方程或高次方程,因此結(jié)合Excel本身具有的數(shù)值計(jì)算功能,在明渠特征水深的Excel求解實(shí)現(xiàn)上一般可以用填充柄、單變量求解功能、循環(huán)引用迭代計(jì)算和規(guī)劃求解功能等來完成。

2.1 巧用拖動(dòng)填充柄自動(dòng)計(jì)算

拖動(dòng)填充柄在Excel是非常常見的操作,一般而言,在這過程中往往需要先定義相對(duì)引用和絕對(duì)引用,這是由于在拖動(dòng)填充的過程中,相對(duì)引用的單元格會(huì)隨行與列變化而變化,而絕對(duì)引用就不會(huì)變化了[22],某些常數(shù)參量(如重力加速度g和計(jì)算時(shí)明確數(shù)值的流量Q等)就必須用絕對(duì)引用,否則就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤,絕對(duì)引用需要在確定的行號(hào)或者列號(hào)前加“＄”符號(hào)以示區(qū)別。利用拖動(dòng)填充柄進(jìn)行計(jì)算的本質(zhì)就是試算,通過改變需要求解的特征水深的數(shù)值得到一系列的結(jié)果再與需要求得的結(jié)果進(jìn)行比較,然后縮小搜索范圍直到求解出足夠精度的解答。由于事先不確定待求特征水深準(zhǔn)確的范圍,只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和基本的水力學(xué)知識(shí)進(jìn)行預(yù)判,這在一定程度上會(huì)增加計(jì)算量,但從另一方面來看,這種方法可以直接應(yīng)用特征水深的基本方程以及公式,往往比較直觀和明確,很早以前利用Excel求解非線性方程往往應(yīng)用該方法。

2.2 單變量求解功能

明渠特征水深一般就只有一個(gè),或者說未知水深只有一個(gè),因此利用單變量求解是可行的?！皢巫兞壳蠼狻?顧名思義,即單個(gè)變量的求解計(jì)算,可以在Excel的“工具”下拉菜單中找到,如圖1所示,它適用已知公式結(jié)果但不知結(jié)果所需的輸入值的情況,單變量求解是Excel通過不斷改變單元格中數(shù)值直到從屬于該單元格的公式返回預(yù)期結(jié)果[23]。

圖1 單變量求解輸入框

由于單變量求解功能的簡(jiǎn)便性,單變量求解功能在水力計(jì)算中也應(yīng)用得越來越廣泛,文獻(xiàn)[24]就利用Excel的單變量求解功能進(jìn)行明渠均勻流水力計(jì)算作了初步的探討,其中就有涉及求解正常水深的環(huán)節(jié),文獻(xiàn)[25]也談及利用Excel的單變量求解功能求解梯形斷面渠道正常水深,但利用該功能求解其它特征水深還未有多見。雖然單變量求解方便,但它是用牛頓法以一定步長(zhǎng)啟動(dòng)迭代計(jì)算,有時(shí)甚至修改迭代幾千次或多次修改估計(jì)根仍然不能得到有意義的根[23]。

2.3 規(guī)劃求解功能

規(guī)劃求解功能與單變量求解功能相比較,其功能更為強(qiáng)大。當(dāng)然同單變量求解一樣,操作的單元格需要與工作表的公式相關(guān)聯(lián)?！耙?guī)劃求解”可以在Excel的“工具”下拉菜單中找到,如果沒有找到該選項(xiàng)可以在“工具”下拉菜單中“加載宏”先進(jìn)行安裝,再打開規(guī)劃求解功能框,如圖2所示。

圖2 規(guī)劃求解輸入框

一般地,單變量求解能夠完成的利用規(guī)劃求解功能均能實(shí)現(xiàn),而且它也適用于需要同時(shí)改變多個(gè)單元格中的數(shù)值和同時(shí)滿足某些指定約束條件以獲得目標(biāo)單元格中的指定值的情況[23]。同單變量求解的缺陷有所類似,在求解結(jié)果時(shí)若單個(gè)未知量有多個(gè)根,在利用規(guī)劃求解功能計(jì)算時(shí)只能得到一個(gè)解答,這個(gè)解答與初始值有關(guān),但是比單變量求解好在其能夠在約束中限定約束條件以更好地得到需要的結(jié)果,這樣可以避免初始值選取時(shí)可能造成的差錯(cuò)。文獻(xiàn)[26]簡(jiǎn)要介紹了利用Excel規(guī)劃求解工具求解水躍中的共軛水深和圓形斷面渠道臨界水深等水力計(jì)算問題,指出規(guī)劃求解工具求解的優(yōu)越性。

2.4 循環(huán)引用迭代計(jì)算

除了上述利用填充柄以及單變量求解和規(guī)劃求解工具,利用Excel本身可以完成自動(dòng)循環(huán)引用迭代,這樣可以避免利用上述3種求解方法在計(jì)算新的案例需要重新計(jì)算的麻煩,只要更改實(shí)際中的相關(guān)量值,計(jì)算結(jié)果可以相應(yīng)直接求得。當(dāng)然,隱式計(jì)算式一般難以實(shí)現(xiàn)上述的直接計(jì)算,需要先通過等式變換成顯式迭代公式,然后利用Excel重復(fù)計(jì)算功能計(jì)算所得?？梢栽凇肮ぞ摺毕吕藛沃羞x擇“選項(xiàng)”,在“重新計(jì)算”中選擇“自動(dòng)重算”,選擇“迭代計(jì)算”,其中可以設(shè)置“最多迭代次數(shù)”及“最大誤差”,如圖3所示。

圖3 重新計(jì)算設(shè)置框

Excel中的循環(huán)引用只是把被循環(huán)引用單元格的初始值作為0處理,因此Excel中的循環(huán)引用只能直接處理初始近似為0的迭代計(jì)算[27],特別是在共軛水深的計(jì)算中往往會(huì)受到限制,當(dāng)然在單變量求解和規(guī)劃求解也會(huì)遇到,只是它們可以利用初始值及約束得到解決。在應(yīng)用循環(huán)引用迭代時(shí)需要引用本身的單元格,這樣定義的迭代計(jì)算與理論上的迭代計(jì)算是完全符合的。當(dāng)然,除了簡(jiǎn)單迭代法外,還可以使用加速迭代方法[23],常用的有Newton-Raphson法、Aitken法、連續(xù)代換法、Wegstein法等。

3 實(shí)例分析

3.1 循環(huán)引用迭代計(jì)算正常水深

有一梯形渠道,已知流量Q=3 m3/s,底坡i=0.0049,粗糙系數(shù)n=0.0225,邊坡系數(shù)m=1.0,渠底寬度b=1 m,求正常水深h0[10]。

根據(jù)題意可以利用循環(huán)引用迭代進(jìn)行計(jì)算,先將梯形斷面正常水深等式變換成顯式的迭代計(jì)算公式,可參照相關(guān)的經(jīng)典水力學(xué)教材[21],由梯形斷面水力要素和式(1)得簡(jiǎn)單迭代式:

先在Excel工作表中設(shè)置計(jì)算精度,可以在如圖3 中進(jìn)行選擇 。在A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9分別輸入相關(guān)的說明和注釋以方便閱讀,在B3、B4、B5、B6、B7 分別輸入已知參數(shù),如圖 4 所示?，F(xiàn)在需要計(jì)算正常水深h0,在B9中輸入“=(B3*B5/SQRT(B4))^(3/5)*(B7+2*B9*SQRT(1+B6^2))^(2/5)/(B7+B6*B9)”,由于B9單元格中的計(jì)算公式引用了自身單元格,所以可以進(jìn)行迭代計(jì)算,實(shí)現(xiàn)自動(dòng)運(yùn)算從而求得所需要的結(jié)果,最后通過該方法計(jì)算所得的正常水深h0=0.8613 m,如下圖4,與文獻(xiàn)[10]計(jì)算結(jié)果相一致,完全符合精確解答,如果需要調(diào)整計(jì)算結(jié)果的顯示精度,只需在單元格格式的“數(shù)字”中設(shè)置數(shù)值的小數(shù)位數(shù)。

圖4 梯形渠道正常水深循環(huán)引用迭代計(jì)算

該方法的優(yōu)點(diǎn)是更改相關(guān)的計(jì)算參數(shù),結(jié)果可以自動(dòng)計(jì)算所得,不需要再進(jìn)行重復(fù)的操作,如果更改過水流量為5 m3/s,10 m3/s,15 m3/s,20 m3/s,可以很方便地直接得到相應(yīng)的正常水深為1.1117 m,1.5495 m,1.8688 m,2.1285 m,其它的參數(shù)變化也能夠方便地獲得。

3.2 單變量求解臨界水深

某工程引水隧洞的設(shè)計(jì)直徑分別為15 m和3 m,對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)過水流量分別為500 m3/s和8 m3/s,試計(jì)算洞內(nèi)的臨界水深值[8]。

與循環(huán)引用迭代計(jì)算正常水深一樣,先輸入相關(guān)的說明和已知參數(shù),如圖5所示。

圖5 圓形斷面臨界水深單變量求解

3.3 規(guī)劃求解收縮水深

已知壩(閘)前斷面總水頭E0=12 m,通過流量Q=200 m3/s,圓形斷面直徑d=15 m,流速系數(shù) φ=0.95,求壩(閘)后斷面收縮水深[9]。

圖6 圓形斷面收縮水深規(guī)劃求解

3.4 拖動(dòng)填充柄計(jì)算共軛水深

已知梯形渠道底寬b=2 m,邊坡系數(shù)m=1.5,流量Q=10 m3/s,第一共軛水深h1=0.25 m,求第二共軛水深h2[7]。

利用拖動(dòng)填充柄是最先被采用的方法,相應(yīng)的參數(shù)和說明見圖7,由于hc1和hc2表示躍前和躍后過水?dāng)嗝嫘涡狞c(diǎn)的水深,并不等于第一共軛水深h1和第二共軛水深h2,因此先將其進(jìn)行水深間的轉(zhuǎn)換,可以得到梯形渠道的水躍函數(shù)[7]:

圖7 梯形渠道共軛水深拖動(dòng)填充柄計(jì)算

在D5中輸入“=＄B＄3^2/＄D＄4*(1/(＄B＄4+＄D＄3*B5)*B5)+＄B＄4/2*B5^2+＄D＄3/3*B5^3”,在共軛水深求解中以J(h2)-J(h1)作為判定條件,因此在D7中輸入“=＄B＄3^2/＄D＄4*(1/((＄B＄4+＄D＄3*B7)*B7)-1/((＄B＄4+＄D＄3*＄B＄5)*＄B＄5))+＄B＄4/2*(B7^2-＄B＄5^2)+＄D＄3/3*(B7^3-＄B＄5^3)”,利用填充柄拖動(dòng)單元格B7和D7往下拉,可以利用判定條件判定解答的范圍,然后逐步縮減直至最后得到相應(yīng)精度的解,可以得到第二共軛水深為2.667 m,與文獻(xiàn)[7]一致。當(dāng)然這種方法如果逐步縮減范圍工作量比較大,可以小精度拖動(dòng),只是所需單元格數(shù)比較多?？傮w上來說,這種方法比較容易理解,其實(shí)質(zhì)就是人工的試算法,但由于手動(dòng)操作比較多,本文并不推薦該方法,共軛水深也完全也可以利用其它的方法進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果依然一致。

4 結(jié) 論

從上述的4個(gè)算例中可以看出本文介紹的4種Excel計(jì)算方法完全可以很好地應(yīng)用在明渠特征水深的求解中,其精度完全符合工程需求,比起利用編程語言編寫求解程序和利用數(shù)值計(jì)算軟件求解計(jì)算來說更為方便和簡(jiǎn)單。除了上述的求解方法,Excel還可以實(shí)現(xiàn)圖解法等進(jìn)行計(jì)算,這在水力學(xué)計(jì)算中也可以得到很好的應(yīng)用。Excel求解明渠特征水深能簡(jiǎn)化求解計(jì)算的過程,減少了工作量,對(duì)水力相關(guān)參數(shù)的修改便捷,大大降低了設(shè)計(jì)人員的勞動(dòng)強(qiáng)度,提高計(jì)算速度和工作效率。

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Realization for Calculation on Characteristical Depth of Open Channel by Excel

DING Li-ze1,OUYANG Ming2,ZHANG Qing-wen1
(1.Jiaxing Vocational and Technical College,Jiaxing,Zhejiang314036,China;2.College of Architectural Engineering,Zhejiang Polytechnical University,Hangzhou,Zhejiang310014,China)

The four kinds of characteristical depths of open channel,i.e.,normal water depth,critical water depth,contracted water depth and conjugate water depth,can be calculated by the four methods with Microsoft Excel such as filling handle,single goal seeking function,and iteration solving by circulating citation and programming solving function.Through the application examples and comparing with the reference results,it is shown that the depths in various kinds of sections can be obtained by Excel more quickly,precisely and conveniently compared with the general methods,such as manual calculation or computer programming.The process of calculation is simple and can be understood easily,the result of calculation is exact and reliable,and the good methods and new ways of thinking can be provided for teaching and design.

open channel;characteristical depth;Excel;high-exponent formula

TV133

A

1672—1144(2013)02—0176—06

2012-09-11

2012-10-27

丁麗澤(1987—),女,浙江嘉興人,碩士,主要從事建筑設(shè)計(jì)及巖土工程的教學(xué)和研究。