高文杰，劉國(guó)清

（1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林長(zhǎng)春130012；2.大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

具有變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)和正初始能量p-Laplce方程解的爆破

高文杰1，劉國(guó)清2

（1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林長(zhǎng)春130012；2.大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶163712）

研究了具有變指數(shù)反應(yīng)項(xiàng)p-laplace方程解的爆破。通過(guò)構(gòu)造能量泛函方法發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始能量為正時(shí)，具有變指數(shù)源函數(shù)的p-laplace方程解在有限時(shí)刻爆破。

p-laplace方程；正初始能量；解的爆破

0 引言

本文考慮如下初邊值問(wèn)題

其中Ω?RN，（N≥1），?Ω充分光滑。非線性科學(xué)、物理學(xué)、流體力學(xué)、生物學(xué)和醫(yī)學(xué)等學(xué)科大量出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型以及來(lái)自于工業(yè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型通常歸結(jié)為一些具退縮性或奇性的非線性拋物型或橢圓型偏微分方程以及非線性泛函偏微分方程，其解的存在性、唯一性、漸近性及解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)等方面的研究在理論及實(shí)際應(yīng)用中都具有十分重要的意義，詳細(xì)的內(nèi)容可以參看文獻(xiàn)［1-3］。特別地，一類源于非牛頓流體力學(xué)中的非線性發(fā)展方程（即經(jīng)典p-Laplace方程從上世紀(jì)八九十年代開始便被許多學(xué)者研究.而關(guān)于此類問(wèn)題解的性質(zhì)例如存在性、唯一性、正則性等的研究已經(jīng)比較完善，詳細(xì)的內(nèi)容可以參看文獻(xiàn)［4-6］。在最近十年中，許多作者開始研究p-Laplace方程中指標(biāo)p為空間變量和時(shí)間變量的函數(shù)時(shí)，其相應(yīng)問(wèn)題解的性質(zhì)，其中指數(shù)p描述電流變液流體學(xué)中有關(guān)非均勻物質(zhì)在外電場(chǎng)影響下的劇烈變化，即p是外電場(chǎng)的函數(shù)。事實(shí)上，通過(guò)物理學(xué)中的基本理論易知電場(chǎng)函數(shù)滿足Maxwell方程，而通過(guò)求解Maxwell方程我們發(fā)現(xiàn)指數(shù)p是自變量的函數(shù)。因此我們所研究的問(wèn)題是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型化。此外，從實(shí)際理論及純數(shù)學(xué)方面來(lái)看，關(guān)于這類問(wèn)題的研究都有意義的，具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)及各項(xiàng)所代表的物理意義可以參看文獻(xiàn)［7，8］。關(guān)于反應(yīng)項(xiàng)中指數(shù)依賴自變量時(shí)，解的爆破問(wèn)題，文獻(xiàn)［4］的作者利用特征函數(shù)方法對(duì)Laplace方程具有Dirichlet邊值問(wèn)題進(jìn)行了研究。對(duì)于涉及p-Laplace算子和變指數(shù)源函數(shù)的非線性發(fā)展方程解的爆破性質(zhì)，目前還沒有文獻(xiàn)參考。由于反應(yīng)項(xiàng)中q（x）的引入，使得方程缺乏正齊次性，從而使得文獻(xiàn)［1］所使用的方法不能應(yīng)用于討論問(wèn)題（1）解的爆破性質(zhì)。為了克服這個(gè)困難，本文通過(guò)構(gòu)造新的過(guò)渡函數(shù)和合適的嵌入定理以及精確的計(jì)算克服了這個(gè)困難，進(jìn)而獲得了所研究問(wèn)題的解在初始能量為正時(shí)在有限時(shí)刻爆破。

為了討論問(wèn)題的方便，本文引進(jìn)如下符合

這里

Lq（.）（Ω）表示如下可測(cè)函數(shù)空間：

其范數(shù)為

容易驗(yàn)證Lq（.）（Ω）是Banach空間，見文獻(xiàn)［5］。從范數(shù)定義有

設(shè)B是嵌入不等式中的嵌入常數(shù)，則由文獻(xiàn)［9，10］可知

即等價(jià)于

令

其中a1滿足

此外，設(shè)

1 主要引理

引理1：函數(shù)E（t）關(guān)于時(shí)間變量t是非增的。

證明：由問(wèn)題（1.1）及（1.10），對(duì)函數(shù)E（t）求導(dǎo)得

故引理1得證。

證明：從（5）和（10）我們有

其中a＝‖▽u‖pp。容易驗(yàn)證h（a）在區(qū)間（0，a1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a1，+∞）上單調(diào)遞減且h（a）→-∞，當(dāng)a→+∞時(shí)，且e（a1）＝E1，其中E1，a1的定義見式（6）和（7），由于E，則存在使得h（a2）＝E（0）。令a0＝‖▽u0‖pp，從（2.3）我們有h（a0）≤E（0）＝h（a2），進(jìn)一步我們還可以證明a0≥a2。

假設(shè)式（11）不成立，即存在t0＞0使得‖▽u（·，t0）‖pp＞a2，由于‖▽u（·，t）‖pp連續(xù)性，我們有E（0）＝h（a2）＜h（‖▽u（·，t0）‖）≤E（t0），這與引理1矛盾，故式（11）成立。

故式（12）成立。

引理3：對(duì)所有t＞0，均有

2 主要結(jié)論

定理1：假定q（x）滿足式（12）和（13），且下面條件成立：

則問(wèn)題（1）的解在有限時(shí)刻爆破。

從式（10）和（13），我們有

其中

結(jié)合式（15）和（16）有

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一類源于非牛頓流體力學(xué)中非線性發(fā)展方程解的爆破性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)由于變指數(shù)q（x）的引入，研究常指數(shù)q時(shí)所使用的方法不能應(yīng)用于此問(wèn)題的研究，故我們不得不尋找新的研究方法。在本文中作者通過(guò)構(gòu)造新的過(guò)渡函數(shù)，獲得了非線性項(xiàng)∫Ωuq（x）+1dx和初始能量的一個(gè)比較關(guān)系，從而證明了該問(wèn)題的解在有限時(shí)刻爆破。不足的是不能證明E—1是最優(yōu)的，即當(dāng)初始能量大于E—1時(shí)，該問(wèn)題的解在有限時(shí)刻不爆破。這將是我們今后繼續(xù)研究的一個(gè)課題。

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高文杰（1956-），男，吉林長(zhǎng)春人，吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所教授，博士生導(dǎo)師，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

國(guó)家自然科學(xué)基金（11271154）；黑龍江省自然科學(xué)基金（A200813）。

O175.8

A

2095-0063（2013）06-0068-04

2013-06-25