祝 林，李小明

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

0 引 言

在工程機(jī)械中用作傳動(dòng)的漸開線直齒圓柱齒輪應(yīng)用相當(dāng)廣泛，對(duì)直齒圓柱齒輪進(jìn)行精確造型設(shè)計(jì)是工程機(jī)械進(jìn)行承載分析、性能分析和動(dòng)力學(xué)分析的難點(diǎn)。

直齒圓柱齒輪的齒廓曲線比較復(fù)雜，包括齒根圓弧、齒根過渡曲線、漸開線和齒頂圓弧。尤其是齒根部分的過渡曲線，齒輪的加工方式不同，所形成的過渡曲線也不一樣。為了得到精確的齒廓曲線，必須通過數(shù)學(xué)模型來(lái)描述齒廓的各段曲線，并結(jié)合UG表達(dá)式強(qiáng)大的參數(shù)化功能實(shí)現(xiàn)其精確造型設(shè)計(jì)。

1 U G的參數(shù)化設(shè)計(jì)理念

UG是一款集CAD/CAM/CAE于一體的高端軟件，功能覆蓋了從概念設(shè)計(jì)到產(chǎn)品生產(chǎn)的整個(gè)過程，廣泛應(yīng)用于汽車、航空、航天、模具設(shè)計(jì)、醫(yī)療器材等各個(gè)領(lǐng)域。其強(qiáng)大的參數(shù)化設(shè)計(jì)功能，使得復(fù)雜實(shí)體造型成為可能。所謂參數(shù)化設(shè)計(jì)就是對(duì)零件上各個(gè)特征施加各種約束，各個(gè)特征的幾何形狀與尺寸大小用變量參數(shù)的方式來(lái)表示，如果定義某個(gè)特征的變量參數(shù)發(fā)生了改變，則零件的這個(gè)特征的幾何形狀或尺寸的大小將隨參數(shù)的改變而改變。通過把參數(shù)、關(guān)系和參照元素等零部件設(shè)計(jì)意圖融入到圖形模型里，利用多組參數(shù)驅(qū)動(dòng)零部件的特征尺寸和位置尺寸以完成其三維建模；通過對(duì)參數(shù)的不同賦值實(shí)現(xiàn)對(duì)三維模型的重建或修改。UG進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)采用由算術(shù)或條件語(yǔ)句構(gòu)成的表達(dá)式，通過UG的表達(dá)式建立齒廓曲線方程和與齒輪幾何尺寸相關(guān)的計(jì)算公式，生成齒廓曲線，并通過特征操作實(shí)現(xiàn)齒輪的完全參數(shù)化設(shè)計(jì)，精確建立齒輪的三維模型，從而提高齒輪的設(shè)計(jì)效率。

2 齒輪齒廓曲線的表達(dá)式的建立

2.1 基本參數(shù)表達(dá)式的建立

先在表達(dá)式對(duì)話框中輸入齒輪和齒條形刀具的基本參數(shù)表達(dá)式[1]，便于后面的表達(dá)式引用，具體為：

t=0//UG內(nèi)部變量，變化范圍0~1；

m=3//齒輪模數(shù)，建立不同模型時(shí)可以更改；

z=20//齒數(shù)，建立不同模型時(shí)可以更改；

c?=0.25//頂隙系數(shù)；

r=m.z/2//齒輪的分度圓半徑；

α=20°//漸開線在分度圓上的壓力角；

invα=tanα-radα //漸開線在分度圓上對(duì)應(yīng)的極角；

sa=m? (pi()/2-2h?a? tan α )//齒條的齒頂厚；

sb=rb?(pi()?m/(2?r)+2?invα )//基圓齒厚；

pb=pi()?m? cos(α )//基圓齒距；

rb=r?cos(α)//基圓半徑；

2.2 齒根圓弧表達(dá)式的建立

齒輪的齒根部分為一小段圓弧，根據(jù)齒根半徑和角度范圍可確定齒根圓弧直角坐標(biāo)公式如下：

建立表達(dá)式為：

tf=deg(b*t/r)//齒根圓弧的角度范圍；

rf=m*(z-2*h?a-2*c?)/2//齒根圓半徑；

xf=rf*cos(tf)//齒根圓弧的x坐標(biāo)；

yf=rf*sin(tf)//齒根圓弧的y坐標(biāo)；

zf=0//齒根圓弧的z坐標(biāo)；

2.3 過渡曲線表達(dá)式的建立

1）當(dāng)漸開線齒輪范成加工時(shí)，刀具切入基圓所留下的軌跡，相當(dāng)于刀具與齒輪之間的無(wú)間隙嚙合運(yùn)動(dòng)。過渡曲線與齒輪加工方式有關(guān)，但其原理基本相同。標(biāo)準(zhǔn)齒條刀具頂部比普通齒條多出一段 c?m，用于被加工齒輪的齒根部分切出齒頂間隙[2]。

現(xiàn)以圖1所示齒條形刀具參數(shù)為例進(jìn)行分析，刀具齒廓的頂部有兩個(gè)圓角，cp是圓角的圓心，刀具各參數(shù)間具有以下關(guān)系：

式中：刀齒圓角半徑rp，a為點(diǎn) cp至中線的距離；b為點(diǎn)cp至齒形中心線的距離。

在用齒條形刀具加工齒輪時(shí)，節(jié)線ω繞節(jié)徑為r的定圓做純滾動(dòng)，如圖2所示，與節(jié)線固連的點(diǎn)E（刀齒圓角圓心）的運(yùn)動(dòng)軌跡 s1為延伸漸開線，s2為其等距線，齒輪的過渡曲線為 s2的一部分。根據(jù)幾何關(guān)系，可得過渡曲線的直角坐標(biāo)公式如下：

式中：?為過渡曲線的擺角，α1為參變角。在過渡曲線的形成過程中 ?從0變化到最大值，?的最大值公式和 α1與 ?的關(guān)系式為：

式中：αq為過渡曲線與漸開線相切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓力角。 ?=0時(shí)，為避免α1的分母為零，xg，yg的表達(dá)式采用UG的if…else…的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)。過渡曲線的起始點(diǎn)（?=0）應(yīng)與齒根圓的終點(diǎn)相切，所以如圖2所示的過渡曲線圖形應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 tf的最大值。

圖2 過渡曲線形成示意圖

2）根據(jù)以上分析，輸入表達(dá)式為：

maxtf=deg(b/r)//tf的最大值圖3漸開線形成示意圖；

rq=sqrt(rb^2+(r*sin α -h?a*m/sin α )^2)//過渡曲線與漸開線相切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑；

αq=arccos(rb/rq)//過渡曲線與漸開線相切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓力角；

l=(rb*tanα-rb*tanαq)*cosα-sa/2+b//擺角對(duì)應(yīng)的節(jié)圓弧長(zhǎng)；

?=deg(l/r)*t//過渡曲線的擺角

xg=if(t＆gt;0)(r*cos(maxtf-?)-(a/sin((arctan(a/(r*rad ?))))+rp)*sin((arctan(a/(r*rad?)))+(maxtf-?)))else((r-a-rp)*cos(maxtf))//過渡曲線的x坐標(biāo)；

yg=if(t＆gt;0)(r*sin(maxtf-?)+(a/sin((arctan(a/(r*rad ?))))+rp)*cos((arctan(a/(r*rad?)))+(maxtf-?)))else((r-a-rp)*sin(maxtf))//過渡曲線的y坐標(biāo)；

zg=0//過渡曲線的z坐標(biāo)；

2.4 漸開線表達(dá)式的建立[3]

1）漸開線形成示意圖，如圖3所示，其直角坐標(biāo)公式如下[3]：

式中：tf=θj+ αj，θj為漸開線的極角，αj為漸開線的壓力角。漸開線的起始點(diǎn)應(yīng)與過渡曲線的終點(diǎn)相切，所以，圖3所示的圖形應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θb，經(jīng)計(jì)算θb＝(pb－sb)/2rb。漸開線的起始點(diǎn)是刀具的切出點(diǎn)，不一定在基圓上。

圖3 漸開線形成示意圖

2）根據(jù)以上分析，輸入表達(dá)式為：

ra=(m*z+2*h?a*m)/2//齒頂圓半徑；

αj=arccos(rb/ra)//齒頂圓與漸開線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的壓力角；

tj=deg(tan(αq+(αj-αq)*t))//tj的變化范圍；

θb=deg((pb-sb)/(2*rb))//圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度；

xj=rb*cos(θb+tj)+rb*rad(tj)*sin(θb+tj)//漸開線x的坐標(biāo)；

yj=rb*sin(θb+tj)-rb*rad(tj)*cos(θb+tj)//y坐標(biāo)；

zj=0//z坐標(biāo)；

2.5 齒頂圓弧表達(dá)式的建立

齒頂部分同樣為一小段圓弧，其直角坐標(biāo)公式如下：

式中：ra為端面齒頂圓半徑，γ為端面齒頂圓展角，θ為端面齒頂圓齒厚對(duì)應(yīng)圓心角。表達(dá)式為：

γ=deg(tanαj-radαj)//αj處端面齒頂圓展角；

θ=deg(pi()/z)//端面齒頂圓齒厚對(duì)應(yīng)圓心角；

xa=ra*cos(θb+invαj+(θ -(θb+invαj))*t)//齒頂圓弧的x坐標(biāo)；

ya=ra*sin(θb+inv αj+(θ-(θb+invαj))*t)//齒頂圓弧的y坐標(biāo)；

za=0//齒頂圓弧的z坐標(biāo)；

3 參數(shù)化設(shè)計(jì)

3.1 參數(shù)化設(shè)計(jì)步驟

漸開線直齒圓柱齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是齒輪相關(guān)參數(shù)的建立，在UG中的設(shè)計(jì)過程如下[4]：

1）建立相互關(guān)聯(lián)的表達(dá)式；

2）使用基本曲線功能中的規(guī)律曲線選項(xiàng)，通過方程式，并利用已經(jīng)建立的表達(dá)式繪制出齒根圓弧、過渡曲線、漸開線曲線、齒頂圓弧，從而形成首尾相接的單個(gè)齒槽線串；

3）進(jìn)入草圖，以齒根圓弧的圓心畫出齒頂圓，一定要用表達(dá)式來(lái)定義齒頂圓的直徑；

4）利用相關(guān)的特征操作（拉伸、沿引導(dǎo)線掃描、沿圓周陣列）完成漸開線齒輪的三維建模。初始化齒輪，如圖4所示。

3.2 表達(dá)式的生成

對(duì)直齒圓柱齒輪而言，其端面是漸開線，符合齒廓嚙合基本定律，即可改變齒數(shù)z、模數(shù)m、壓力角α等常用參數(shù)，可以得到不同的直齒圓柱齒輪的三維模型。齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)方法大體分兩種：1）對(duì)現(xiàn)有軟件進(jìn)行二次開發(fā)，需要編程；2）利用UG軟件已有的功能實(shí)現(xiàn)參數(shù)化設(shè)計(jì)，尤其UG具有強(qiáng)大的表達(dá)式功能。利用2）方法更具通用性，建立表達(dá)式可以用以下兩種方式：（1）選擇Tools＆gt;Expressions，直接輸入表達(dá)式。（2）建立一個(gè)文件名稱用英文字母或數(shù)字表示的純文本文檔，并輸入相關(guān)的表達(dá)式，保存并關(guān)閉后更改文件擴(kuò)展名為.exp；然后在UG中選Tools＆gt;Expres?sions＆gt;Import，輸入建立.exp文件。

3.3 參數(shù)化實(shí)現(xiàn)

直齒輪的參數(shù)化實(shí)現(xiàn)要求齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)在其設(shè)計(jì)要求發(fā)生改變時(shí)，它的結(jié)構(gòu)尺寸也相應(yīng)地改變以滿足新的設(shè)計(jì)需要。為此，只需要將上述所建立的齒輪實(shí)體模型的相關(guān)特征參數(shù)進(jìn)行更改，就可以生成各種相關(guān)參數(shù)的齒輪三維模型[5]。特征參數(shù)的修改可以利用以下方式：

1）將生成特征實(shí)體的參數(shù)生成數(shù)據(jù)文件，利用系統(tǒng)自帶的UG／Open GRIP語(yǔ)言進(jìn)行編程，實(shí)現(xiàn)對(duì)齒輪參數(shù)的修改。

2）利用UG系統(tǒng)所具有電子表格功能編輯、定義和修改相關(guān)表達(dá)式及參數(shù)，通過更新完成齒輪的自動(dòng)建模，從而實(shí)現(xiàn)齒輪的可參數(shù)化控制。

3）最直接的方式是通過編輯表達(dá)式中的特征參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)齒輪模型的重新自動(dòng)建模。選取需要更改的參數(shù)表達(dá)式，并重新對(duì)表達(dá)式直接修改來(lái)實(shí)現(xiàn)完全參數(shù)驅(qū)動(dòng)?；緟?shù)更改后的齒輪模型，如圖5所示。

圖4 初始化齒輪模型

圖5 參數(shù)更改的齒輪模

4 結(jié) 論

本文所提的齒輪建模方法是以齒輪的輪廓曲線公式為依據(jù)，通過建立表達(dá)式控制曲線形狀，并且通過表達(dá)式實(shí)現(xiàn)了參數(shù)化，所建立的模型與實(shí)際加工得到的齒輪形狀相一致，實(shí)現(xiàn)齒輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)和自動(dòng)特征建模，提高漸開線圓柱直齒輪的設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，為齒輪的力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)分析等做了符合實(shí)際的準(zhǔn)備工作。本方法在UG8.0平臺(tái)上實(shí)踐通過。

[1] 張策.機(jī)械原理與機(jī)械設(shè)計(jì)[M].第2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[2] 吳繼澤,王統(tǒng).齒根過渡曲線與齒根應(yīng)力[M].北京：國(guó)防工業(yè)版社，1989.

[3] 朱景梓,張展,秦立高.漸開線外嚙合圓柱齒輪傳動(dòng)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1990.

[4] 袁鋒.使用UG軟件的機(jī)電產(chǎn)品三維數(shù)字化設(shè)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[5] 孫江宏.基于UG的直齒圓柱齒輪參數(shù)化實(shí)體設(shè)計(jì)通用方法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2002(11):25－27.