田鵬義，周 輝，許定根

(中國(guó)人民解放軍裝備學(xué)院昌平士官學(xué)校測(cè)控通信系，北京102200)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是網(wǎng)絡(luò)的普及，人們對(duì)數(shù)據(jù)壓縮的要求越來(lái)越高，而網(wǎng)絡(luò)上傳輸?shù)拇蟛糠质菆D像信息，故人們對(duì)圖像的壓縮技術(shù)提出了更高的要求.傳統(tǒng)的圖像采樣方法均遵循著名的奈奎斯特采樣定理:采樣速率至少必須是信號(hào)最高頻率的兩倍.采樣之后，再把冗余的信息丟棄掉，這樣一方面對(duì)采樣端提出了較高的要求，另一方面造成了資源的浪費(fèi).為了解決上述問(wèn)題，Donoho與Candes等人于2004年提出了壓縮感知原理(compressed sensing，CS)［1］，它是一種與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采樣方法不同的新型感知采樣模式.壓縮感知理論指出:只要信號(hào)是可壓縮的或在某個(gè)域是稀疏的，那么就可以利用不相關(guān)的矩陣直接將這樣的信號(hào)投影到低維空間上，再利用這些少量的投影優(yōu)化問(wèn)題，并以高概率重構(gòu)信號(hào).實(shí)驗(yàn)證明，這種方法給傳感器網(wǎng)絡(luò)信號(hào)的采集、存儲(chǔ)和處理帶來(lái)了新的機(jī)遇.在傳統(tǒng)的壓縮技術(shù)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)壓縮也是我們經(jīng)常用到的壓縮方法，它可以根據(jù)矩陣中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，且效果理想.如果利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)壓縮技術(shù)來(lái)處理測(cè)量矩陣，會(huì)得到“化學(xué)反應(yīng)”，提高壓縮率的同時(shí)，對(duì)信號(hào)的傳輸質(zhì)量不會(huì)產(chǎn)生太大的影響.

1 CS理論基礎(chǔ)

壓縮感知理論指出，只要信號(hào)在正交空間下具有稀疏性或可壓縮性［2］，就可以利用隨機(jī)投影得到的少量觀測(cè)值采集信號(hào)，并通過(guò)某種優(yōu)化算法即可重構(gòu)該信號(hào).

設(shè)信號(hào)x∈RN是N×1維列向量，在正交基或緊框架Ψ∈RN×N下是稀疏的，即信號(hào)x在正交基Ψ上僅有K(K＜＜N)個(gè)非零系數(shù)(或遠(yuǎn)大于零的系數(shù))，則:

其中:s表示稀疏系數(shù)，ψ為信號(hào)x的稀疏基.通過(guò)變換可知

采用一個(gè)與正交基Ψ不相關(guān)的觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N(M ＜＜N)對(duì)信號(hào)的稀疏系數(shù)s進(jìn)行測(cè)量，得到觀測(cè)向量y∈RM:

其中:A稱(chēng)為測(cè)量矩陣(AM×N=φψΤ).可以看到，壓縮感知將信號(hào)x從N維降為M維觀測(cè)信號(hào)Y.顯然采樣后信號(hào)的維數(shù)降低了.要想根據(jù)M測(cè)量值恢復(fù)信號(hào)其實(shí)是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題，Chen，Donoho和Saunders提出了利用L1范數(shù)下的最優(yōu)化問(wèn)題求解的精確或近似逼近，即:

由于s=ψTx，可將式(3)的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:

求解稀疏系數(shù)估計(jì)s-，再做反變換，就可以得到重構(gòu)后的信號(hào).常用的求解方法有基追蹤BP(Basis Pursuit)、匹配追蹤法MP(Matching Pursuit)和正交匹配追蹤法OMP(Orthogonal Matching Pursuit)等［3-4］.

從壓縮感知的過(guò)程中可以看出，要想在接收端恢復(fù)出原始信號(hào)，需要傳輸整個(gè)測(cè)量矩陣，而測(cè)量矩陣仍然有可壓縮的空間，如果能對(duì)該矩陣進(jìn)一步壓縮、傳輸，則會(huì)改善傳輸效率，獲得理想的信道傳輸能力.

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5］作為一種有效的智能信息處理技術(shù)，能依據(jù)數(shù)據(jù)本身的內(nèi)在聯(lián)系建模，具有良好的非線性逼近能力和對(duì)雜亂信息的綜合處理能力，成為探索人類(lèi)智能奧秘的有力工具.由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性逼近能力和自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)等特性，它不需要建立復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的顯式關(guān)系和數(shù)學(xué)模型，可以克服傳統(tǒng)定量預(yù)測(cè)方法的許多局限以及面臨的挑戰(zhàn)，同時(shí)也能避免許多人為因素的影響.

BP學(xué)習(xí)算法是訓(xùn)練人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本方法，也是一個(gè)非常重要且經(jīng)典的學(xué)習(xí)算法，其實(shí)質(zhì)是求解誤差函數(shù)的最小值問(wèn)題，利用它可以實(shí)現(xiàn)多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的調(diào)節(jié).BP模型是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中使用最廣泛的一類(lèi).從結(jié)構(gòu)上講，BP網(wǎng)絡(luò)是一種分層型的典型多層網(wǎng)絡(luò)，具有輸入層、隱含層和輸出層，層與層之間多采用全連接的方式.同一層單元之間不存在相互連接.其結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

BP網(wǎng)絡(luò)可被看成是一個(gè)從輸入到輸出的高度非線性映射，這對(duì)于樣本集合輸入:輸入x(RM)和輸出y(RN)，可以被認(rèn)為存在某一映射g，使g(xi)=yi，i=1，2，…，p.現(xiàn)要求有一個(gè)映射f，使得在某種意義下(通常是最小二乘意義下)f是g的最佳逼近.

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛的運(yùn)用在時(shí)間序列的預(yù)測(cè)上，所謂預(yù)測(cè)，是指通過(guò)一些已知?dú)v史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)未知數(shù)據(jù)的取值進(jìn)行估計(jì)，設(shè)有時(shí)間序列{xi}，其中歷史數(shù)據(jù)xn，xn+1，…，xn+m，對(duì)未來(lái)n+m+k(k＞0)時(shí)刻的取值進(jìn)行預(yù)測(cè)，即預(yù)測(cè)xn+m+k的某種非線性函數(shù)關(guān)系:

用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)一組數(shù)據(jù)xn，xn+1，…，xn+m來(lái)擬合函數(shù)f，得出未來(lái)n+m+k(k＞0)時(shí)刻數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值.

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)壓縮的基本思想是:把一組輸入模式通過(guò)少量的隱含層單元映射到一組輸出模式，并使輸出模式盡可能等于輸入模式.當(dāng)隱含層的單元數(shù)比輸入模式數(shù)少時(shí)，就意味著隱含層更能有效地表現(xiàn)輸入模式，并把這種表現(xiàn)傳輸?shù)捷敵鰧?在這個(gè)過(guò)程中，輸入層和隱含層的變換可以看成壓縮編碼的過(guò)程，而隱含層與輸出層的變換可以看成解碼過(guò)程.

單獨(dú)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法也可以對(duì)圖像進(jìn)行壓縮——壓縮原始的數(shù)據(jù)，可以獲得一個(gè)較理想的壓縮率，完成圖像的傳輸;如果使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮——壓縮“壓縮后的數(shù)據(jù)”，則會(huì)進(jìn)一步提高壓縮率，改進(jìn)傳輸效率.

3 本文算法

3.1 算法簡(jiǎn)介

在傳統(tǒng)的CS理論算法中，對(duì)圖像進(jìn)行離散(DCT變換)、觀測(cè)(高斯隨機(jī)矩陣)，得到觀測(cè)值矩陣，然后直接傳遞觀測(cè)值矩陣，在文件接收端，利用相關(guān)算法(正交匹配追蹤算法)和觀測(cè)值矩陣恢復(fù)出原始圖像.這樣做需要傳輸整個(gè)的觀測(cè)值矩陣，傳輸效率有待提高.

如果把觀測(cè)值矩陣一分為二，利用其中一部分?jǐn)?shù)據(jù)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法去預(yù)測(cè)另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，那么在傳輸?shù)倪^(guò)程中只需要傳遞這一部分觀測(cè)值矩陣與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，接收方可以根據(jù)接收到的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)出另一半觀測(cè)值矩陣，進(jìn)而得到整個(gè)矩陣.這樣做提高了壓縮率，改進(jìn)了傳輸效率.

本文提出算法實(shí)現(xiàn)如下:

發(fā)送端:

步驟1:對(duì)圖像進(jìn)行DCT變換，達(dá)到信息稀疏的目的，得到稀疏矩陣;

步驟2:選擇合適的觀測(cè)矩陣對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行測(cè)量，得到測(cè)量值矩陣;

步驟3:把測(cè)量值矩陣分成元素?cái)?shù)相等的兩個(gè)矩陣P、T;

步驟4:以P作為輸入層，T作為輸出層，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，得出訓(xùn)練節(jié)點(diǎn)，傳輸P與訓(xùn)練節(jié)點(diǎn);接收端:

步驟5:利用P和訓(xùn)練節(jié)點(diǎn)推測(cè)出T;

步驟6:用P和T組成新的矩陣，此矩陣即為“恢復(fù)的稀疏值矩陣”，利用OMP算法對(duì)原始圖像進(jìn)行恢復(fù).

3.2 實(shí)驗(yàn)仿真

用Matlab對(duì)圖像cameraman和woman進(jìn)行仿真，兩幅圖大小為均256×256，首先用常用的壓縮感知方法對(duì)該圖像進(jìn)行壓縮，以0.6為采樣率DCT為離散基，對(duì)該圖像cameraman進(jìn)行離散變換，然后用高斯隨機(jī)矩陣作為觀測(cè)矩陣，得到觀測(cè)值，利用OMP算法(正交匹配追蹤算法)對(duì)原始圖像進(jìn)行恢復(fù)，對(duì)woman用0.8的采樣率進(jìn)行采樣變換，如圖2所示.

圖2 利用OMP算法進(jìn)行壓縮

從圖2中可以看出，圖形的大體輪廓還是比較清楚，但是壓縮率較小，圖像的傳輸效率較低.

利用本文算法:由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)數(shù)據(jù)有進(jìn)一步的壓縮，我們可以在采樣的時(shí)候相應(yīng)提高采樣率，采樣率與傳統(tǒng)壓縮感知采樣率相同，得到觀測(cè)值矩陣進(jìn)行拆分，拆分成同樣大小的矩陣，以一個(gè)作為輸入，另一個(gè)作為輸出，對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，然后再對(duì)圖像進(jìn)行還原，得到圖像如圖3所示.

圖3 利用本文算法壓縮與恢復(fù)的圖像

表1 兩種方法的比較

由表1可知，兩種方法恢復(fù)圖像效果相似，但本文的算法提高了壓縮率，優(yōu)化了傳輸效率.本文方法的峰值信噪比與傳統(tǒng)的壓縮感知傳輸方法信噪比相當(dāng)，這正好印證了兩種方法的視覺(jué)效果相似，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)觀測(cè)舉證進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)需傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量進(jìn)行了進(jìn)一步的壓縮，使得壓縮率有了很大的提高，可以改進(jìn)圖像的傳輸效率，并且達(dá)到高壓縮率的同時(shí)，峰值信噪比與傳統(tǒng)的壓縮感知方法近似，滿足傳輸?shù)囊?

本文研究了在壓縮感知基礎(chǔ)上，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)觀測(cè)值矩陣進(jìn)行壓縮，用一部分的觀測(cè)值矩陣和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)預(yù)測(cè)另一部分的觀測(cè)值矩陣，然后再把兩部分矩陣結(jié)合起來(lái)，得到原始的觀測(cè)值矩陣，最后采用OMP算法對(duì)圖像進(jìn)行還原.通過(guò)仿真驗(yàn)證此方法的可行性，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)觀測(cè)序列，在恢復(fù)圖像理想情況的效果下，進(jìn)一步壓縮需要傳輸?shù)挠^測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，減少傳輸數(shù)據(jù)量，提高傳輸效率.

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