王振雷,李小田,王昕

（1.華東理工大學(xué)化工過程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200237；2.上海交通大學(xué)電工與電子技術(shù)中心,上海200240）

基于多模型切換的階梯式廣義預(yù)測控制器

王振雷1,李小田1,王昕2

（1.華東理工大學(xué)化工過程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200237；2.上海交通大學(xué)電工與電子技術(shù)中心,上海200240）

針對一類模型參數(shù)跳變系統(tǒng),提出一種基于多模型切換的階梯式廣義預(yù)測控制算法.該算法采用多個固定模型和兩個自適應(yīng)模型并行辨識系統(tǒng)的動態(tài)特性.多個固定模型用以提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能,可重新賦初值的自適應(yīng)模型用以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,常規(guī)自適應(yīng)模型用以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在每個采樣時刻基于切換性能指標(biāo)得到最優(yōu)的局部模型,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局控制.最后給出了全局穩(wěn)定性證明及收斂性分析.仿真結(jié)果表明：控制效果明顯優(yōu)于單一模型的廣義預(yù)測控制器.

多模型；階梯式控制；廣義預(yù)測控制；自適應(yīng)

GPC（廣義預(yù)測控制）是隨著自適應(yīng)控制的研究而發(fā)展起來的一種預(yù)測控制算法[1-2].由于將滾動優(yōu)化與自適應(yīng)相結(jié)合,采用參數(shù)模型,因此系統(tǒng)設(shè)計(jì)靈活,具有良好的控制性能和魯棒性,非常適用于不確定[3]、時變[4]、時滯[5]等復(fù)雜工業(yè)過程.

在實(shí)際的工業(yè)控制中,往往出現(xiàn)模型參數(shù)隨工況變化發(fā)生顯著時變的情況,特別是在大工況系統(tǒng)下,由于系統(tǒng)的建模與辨識十分復(fù)雜,實(shí)際工業(yè)過程的精確全局模型很難建立,所以單一的廣義預(yù)測控制器往往難以滿足實(shí)時性的要求[6].多模型的方法是一種針對系統(tǒng)動態(tài)特性隨工況變化的復(fù)雜工業(yè)工程控制的有效方法[7],不少學(xué)者將多模型方法與預(yù)測控制方法相結(jié)合,即通過在典型工況點(diǎn)建立多個局部模型并分別設(shè)計(jì)相應(yīng)的子預(yù)測控制器,而后按一定的加權(quán)或切換策略得到全局的控制輸出,已在較多領(lǐng)域取得了不錯的控制效果[8].文獻(xiàn)[9]通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、文獻(xiàn)[10]采用模糊策略建立系統(tǒng)的多模型集,但在模型參數(shù)分散或被控對象已知信息較少的情況下,為達(dá)到較高的控制精度,必然使用大量的子模型.而子模型數(shù)量過多必然會導(dǎo)致計(jì)算量過大,對硬件設(shè)備的要求也會迅速提高.為減小計(jì)算量,文獻(xiàn)[11]等提出一種基于SVM的在線優(yōu)化方法,實(shí)時的縮減了子模型的數(shù)量.文獻(xiàn)[12-13]采用分層遞階、逐維定位技術(shù)減少模型數(shù)量.但上述方法僅僅減少模型數(shù)量,未降低單個子控制器的計(jì)算量.而對于廣義預(yù)測控制器,當(dāng)控制步長較大時,子控制器在高維矩陣求逆時需要大量運(yùn)算,并可能出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問題.為此,文獻(xiàn)[14]將階梯式策略引入到局部廣義預(yù)測控制器中,不僅不需要矩陣求逆,大大減小了計(jì)算量,而且通過對控制增量的約束,防止了控制量的劇烈變化,非常適用于實(shí)際的工業(yè)過程控制.但上述方法根據(jù)負(fù)荷建立多模型,無法消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,而且缺乏穩(wěn)定性和收斂性的分析,不利于實(shí)際過程推廣.

考慮到上述不足,本文提出了一種基于多模型切換的階梯式廣義預(yù)測控制器.該控制器采用多個固定模型、一個常規(guī)自適應(yīng)模型和一個可重新賦初值自適應(yīng)模型構(gòu)成.多個固定模型用以提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能,可重新賦初值的自適應(yīng)模型用以消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,常規(guī)自適應(yīng)模型用以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.然后在每個采樣時刻根據(jù)系統(tǒng)的切換性能指標(biāo),選出最優(yōu)的局部控制器的輸出作為當(dāng)前的最優(yōu)預(yù)測控制器,實(shí)現(xiàn)控制.最后給出了輸入輸出穩(wěn)定證明及收斂性分析.仿真結(jié)果表明該方法優(yōu)于單一模型的廣義預(yù)測控制算法.

1 被控對象描述

被控對象可用如下模型描述：

式（1）中,y（k）、u（k）分別為系統(tǒng)的輸出、輸入；Δ=1- z-1為差分算子；d為系統(tǒng)時延；A( z-1)、 B( z-1)為關(guān)于后移算子z-1的多項(xiàng)式：

式（1）可變換為：

式（2）中

2 基于多模型切換的階梯式廣義預(yù)測控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

多模型系統(tǒng)由m個參數(shù)已知的固定模型Mi（i=1,2,…m）,一個常規(guī)的自適應(yīng)辨識模型Mm+1以及一個可賦初值的自適應(yīng)辨識模型Mm+2組成.m個固定模型可以提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能；自適應(yīng)模型的在線參數(shù)辨識可以消除穩(wěn)態(tài)誤差,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性；可賦初值的自適應(yīng)模型則進(jìn)一步提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能,增加系統(tǒng)的快速性.

2.1 多模型集的建立

若把模型參數(shù)與數(shù)據(jù)參數(shù)用向量形式記為

可得到式（2）的向量表示

由式（3）可以得到多模型集的向量表示

式（4）中,當(dāng)i=1,2,…,m時,θi( k)為一固定值；當(dāng)i=m+1時,為常規(guī)自適應(yīng)模型；當(dāng)i=m+2時,為可賦初值的自適應(yīng)模型.其模型參數(shù)可采用如下的投影算法進(jìn)行辨識[15]

式中,α(t )為一變化的實(shí)數(shù),其變化范圍為0＜α(t)＜2.

2.2 局部控制器的設(shè)計(jì)

在本文中,選用階梯式廣義預(yù)測控制器作為子控制器.階梯式廣義預(yù)測控制器在廣義預(yù)測控制器的基礎(chǔ)上引入階梯式控制策略,不但降低了計(jì)算量（不用對矩陣求逆）,而且通過對控制增量的約束,使控制量的變化柔和,提高了系統(tǒng)的魯棒性,非常適合應(yīng)用于復(fù)雜的工業(yè)過程[16-17].

采用階梯式策略,令

式（8）中,W（k+j）為未來期望輸出向量；N為優(yōu)化時域；Nu為控制時域；λ(j)為控制加權(quán)系數(shù)序列.

引入如下的兩個丟番圖方程

式（9）、式（10）中

利用式（2）,（7）,（9）,（10）可以求得式（8）的最優(yōu)值

式（11）中

2 . 3控制器的切換

對于多個局部控制器,可采用如下的切換性能指標(biāo)

式（1 7）中,為第i個模型在k時刻的輸出誤差；在k時刻,根據(jù)性能指標(biāo)最小值切換到相應(yīng)的局部控制器.設(shè)s為k時刻使性能指標(biāo)最小的控制器,則有

3 穩(wěn)定性和收斂性分析

定理1：如果系統(tǒng)滿足假設(shè)條件,本文提出的多模型階梯式廣義預(yù)測控制器作用于被控對象（2）時能保證閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出有界穩(wěn)定,并且廣義跟蹤誤差有界收斂.

證明：

（1）當(dāng)ei( k)≠0（, i=1,2,... m）時,意味著所有參數(shù)已知的固定模型無法保證被控系統(tǒng)的收斂性,那么一定存在不為零的最小誤差ε(k ),即ε而由引理2可知自適應(yīng)模型具有收斂性,即一定存在一有限時刻T,當(dāng)T＜k時,有

此后模型間的切換僅在兩個自適應(yīng)模型間進(jìn)行,設(shè)i為系統(tǒng)選擇的最優(yōu)控制器（i=m+1,m+2）,由切換性能指標(biāo)最小可知

由引理2（1）可知

根據(jù)夾逼準(zhǔn)則,可知

j的系數(shù)在任意時刻是有界的,并且丟番圖方程有唯一解,可知多項(xiàng)系數(shù)同樣有界.由引理2及引理3可知,K充分大時,系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)方程（18）中的Γi( i =1,2,...6)項(xiàng)均趨于零.而由式（14）可知,此閉環(huán)系統(tǒng)任意接近一個穩(wěn)定系統(tǒng).

由的定義及式（23）、（24）可知,存在正常數(shù)C5,C6,使得

由式（25）可知,φ(k)的有界性由e(τ)的有界性確定.下面證明e(τ)的有界性

假設(shè)e(τ)是無界的,則對任意給定的一個正數(shù)n,有

顯然,其與式（22）矛盾,因此假設(shè)不成立,故e(τ)有界,φ(k)有界,閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有界.

收斂性：由式（22）及φ(k)有界可知

由式（18）可知系統(tǒng)的廣義跟蹤誤差

（2）當(dāng)ei（k）=0,（i=1,2,…,m）時,則意味著固定模型Mi的參數(shù)使得Ji（k）=0最小,多模型控制器退化為一固定參數(shù)控制器.顯然,由式（2）、（12）、（14）可知閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有界；由式（15）可知廣義跟蹤誤差為零.

綜上所述,無論控制器如何切換,此算法均可保證閉環(huán)系統(tǒng)輸入輸出有界,同時使得最終的廣義跟蹤誤差為零.

4 仿真研究

被控系統(tǒng)可表示如下

系統(tǒng)的延遲d=2,a1=-2,a2=1.1,b0=1.2,b1=2,系統(tǒng)參考輸入取為一幅值為10的方波信號.在100步時,參考輸入發(fā)生變化；在200步時系統(tǒng)模型參數(shù)跳變?yōu)閍1=-0.8,a2=-1.5；在300步時,參考輸入和模型參數(shù)a1=1.2,a2=0.5同時發(fā)生變化.設(shè)計(jì)一單模型自適應(yīng)GPC控制器,取其模型參數(shù)初始值均為0.01,得到其輸出量及控制量變化軌跡如圖1所示.

在設(shè)計(jì)多模型系統(tǒng)時,常規(guī)自適應(yīng)模型及可賦初值的自適應(yīng)模型初始值也取為0.01.對于固定模型集,可令,得到8個固定模型.其輸出量及控制量變化軌跡如圖2所示.

圖1 常規(guī)自適應(yīng)GPC的仿真結(jié)果Fig.1 Simulation resultsof traditionaladaptiveGPC

圖2 多模型階梯式GPC的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation resultsofstair-likeGPCbased onmultiplemodels

由圖2可知,不論是單模型自適應(yīng)GPC還是本文采用的多模型階梯式GPC都能保證系統(tǒng)輸入輸出有界；在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前,圖2的暫態(tài)性能明顯優(yōu)于圖1；在參考軌跡或模型參數(shù)變化后,圖2具有更好的暫態(tài)性能及調(diào)節(jié)能力.

5 結(jié)論

針對一類模型參數(shù)跳變的系統(tǒng),本文提出一種基于多模型切換的階梯式廣義預(yù)測控制方法,并給出了穩(wěn)定性證明和收斂性分析.通過建立多個固定模型和兩個能動態(tài)辨識系統(tǒng)模型參數(shù)的自適應(yīng)模型,提高了系統(tǒng)的暫態(tài)性能和模型參數(shù)跳變后的自動調(diào)節(jié)能力；采用階梯式的策略,不但減小了計(jì)算量,而且通過對控制增量的約束,保證了控制量變化的平滑性,利于實(shí)際工業(yè)過程中的實(shí)時控制.最后的仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了此方法的有效性.

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（責(zé)任編輯：盧奇）

Stair-like generalized predictive controller based on multip lemodels sw itching

Wang Zhenlei1,Li Xiaotian1,Wang Xin2
（1.Key Laboratory ofAdvanced Controland Optimization for Chemical Processes,EastChina
University ofScienceand Technology,Shanghai200237,China；2.Centerof Electrical&Electronic Technology,Shanghai Jiao TongUniversity,Shanghai200240,China）

To dealwith a system with jumping parameters,a stair-like generalized predictive control algorithm based on multiple models switching is adopted．Multiple fixed models and two adaptive models are established to identify the dynamic characteristic of the system in paralle1．Multiple fixed models are used to improve the transient performance,while the re-initialized adaptive model can eliminate the steady-state error,the conventional adaptive model ensure the stability of the system at the same time．At each sampling time,the stair-like generalized predictive controller is designed based on the bestmodel which is selected according to the switching index．Then,the global control is achieved．Finally,the stability and convergence analysis are also given．Compared with the convenient single model generalized predictive controller,control effectof the proposed method above is better．

multiplemodels；stair-like control；generalized predictive control；adaptive control

TP273

A

1008-7516（2013）03-0101-08

10．3969/j．issn．1008-7516．2013．03．021

2013-05-18

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（2007AA041402）；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計(jì)劃項(xiàng)目（B08021）；上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（B504）

王振雷（1975-）,男,山東德州人,博士,教授．主要從事復(fù)雜過程建模與優(yōu)化、故障診斷研究．