龍亞文，謝振宇，徐 欣

主動磁懸浮軸承是利用可控電磁力將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的一種新型支撐裝置，與傳統(tǒng)軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑、精度高和剛度阻尼可調(diào)等優(yōu)點?？蓮V泛應用于航空航天、交通、能源、超高速精密加工和機器人等領域［1］。

磁懸浮軸承的控制策略對系統(tǒng)的動靜態(tài)性能有重要影響。對此，國內(nèi)外許多學者從不同方面進行了研究。童水光等［2］利用電磁阻尼器來抑制轉(zhuǎn)子的振動;謝振宇等［3］利用金屬橡膠環(huán)—磁懸浮軸承組合支撐來提高系統(tǒng)阻尼，達到吸振的目的;張德魁等［4］采用LMS(Least Mean Square)控制算法對磁懸浮磨床電主軸系統(tǒng)的同步振動進行抑制，實驗結果表明此控制策略能明顯提高系統(tǒng)性能;段廣仁等［5－6］在磁懸浮飛輪儲能系統(tǒng)中采用魯棒動態(tài)補償控制，其設計的一階參數(shù)化動態(tài)補償器能明顯抑制系統(tǒng)擾動，并使控制代價最小，減少系統(tǒng)能量損耗;Beals等［7］提出一種自適應力平衡(AFB)補償控制策略，解決磁懸浮軸承中周期性振動問題;Tamisier等［8］提出一種前饋力補償控制策略，根據(jù)不同轉(zhuǎn)速計算不平衡補償量，得到補償信號;Kai等［9］提出一種自適應自動對心控制策略，能在線實時補償系統(tǒng)的不平衡。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學知識，柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在越過各階臨界轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子振幅較大，容易與軸承碰撞;而當系統(tǒng)轉(zhuǎn)速遠離各階臨界轉(zhuǎn)速時，轉(zhuǎn)子振幅相對較低。為了有效抑制轉(zhuǎn)子在各階臨界轉(zhuǎn)速附近運行時的振動，同時不增加控制策略的復雜性，本文提出根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權函數(shù)的方法，在磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗臺上，通過理論計算得到系統(tǒng)的不確定性和固有頻率處的不平衡響應，通過仿真分析和高速旋轉(zhuǎn)試驗研究了混合靈敏度H∞控制策略對柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，并與PID控制策略進行了對比。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1 系統(tǒng)工作原理

磁懸浮系統(tǒng)部分包括:傳感器、控制器、功率放大器、電磁鐵和轉(zhuǎn)子。磁懸浮系統(tǒng)工作原理為:轉(zhuǎn)子平衡參考位置假設為 x0(本實驗臺平衡氣隙 x0=0.25 mm)，傳感器檢測位置信號為x，將兩個信號差值輸入控制器，根據(jù)控制策略進行運算，輸出控制電壓信號到功率放大器，最后輸出差動電流控制電磁鐵上、下線圈的電磁力，將轉(zhuǎn)子拉回至平衡位置x0處。

1.2 系統(tǒng)數(shù)學模型

圖1為系統(tǒng)轉(zhuǎn)子受力示意圖，參數(shù)含義見表1。

圖1 轉(zhuǎn)子受力示意圖Fig.1 the rotor force diagram

表1 主要機械尺寸表Tab.1 Diagram of main mechanical size

轉(zhuǎn)子質(zhì)心處徑向各自由度的運動方程可表示為:

其中:fx，fy分別為 x，y 正方向的干擾力，Jx，Jy，Jz分別為轉(zhuǎn)子繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動慣。質(zhì)心處位移為:

轉(zhuǎn)子在xz、yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為:

轉(zhuǎn)子在軸承支撐平衡位置處的線性化電磁力為:

其中:Krs=－3.2×105N/m，Kri=32 N/A分別為徑向位移剛度系數(shù)和徑向電流剛度系數(shù)。

取狀態(tài)向量X1=［xa，xb，ya，yb，

取控制向量 U1= ［ixa，ixb，iya，iyb］T

取輸出向量 Y1= ［xa，xb，ya，yb］T

將式(2)、(3)、(4)代入式(1)中且令外干擾fx=fy=0，可得徑向自由度的數(shù)學模型如式(5)所示。

其中:參數(shù)矩陣 a21，a22，b21，D1 分別為:

轉(zhuǎn)子質(zhì)心處軸向運動微分方程可表示為:

軸向電磁合力

其中:Kzs= －1.2×105N/m 和 Kzi=12.13 N/A 分 別為軸向位移剛度系數(shù)和軸向電流剛度系數(shù)。

取控制變量 U2=iz

取輸出變量 Y2=zc

令外干擾fz=0，則軸向自由度的數(shù)學模型可表示為:

其中D2=0

綜合上述徑向和軸向數(shù)學模型，忽略上述參數(shù)矩陣中非對角元項(即忽略慣性耦合和陀螺耦合項)，得各自由度被控對象標稱傳遞函數(shù)分別為:第1、2自由度

第3、4自由度

第5自由度

當系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)時，轉(zhuǎn)子各個自由度的振動相似，故可通過分析其中某個自由度的振動獲得轉(zhuǎn)子的整體振動情況［3］。本文主要以徑向第1自由度為例進行分析，其余自由度類似。

2 控制器設計

2.1 混合靈敏度H∞控制

以徑向第1自由度為例，圖2是該自由度的控制原理框圖。

圖2 控制系統(tǒng)原理框圖Fig 2 principle of control system

圖中r為參考輸入，e為跟蹤誤差，u為控制輸出，d為干擾輸入，y為系統(tǒng)輸出，k(s)為控制器，G0(s)為受控對象，則靈敏度函數(shù)S(s)，補靈敏度函數(shù)T(s)和函數(shù)R(s)定義分別為:

S(s)是系統(tǒng)干擾d到輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示閉環(huán)系統(tǒng)對低頻干擾的抑制能力。

T(s)是參考輸入r到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示對系統(tǒng)的高頻乘性攝動或高頻未建模動態(tài)抑制能力和對參考輸入的復現(xiàn)能力，同時整個頻段內(nèi)滿足S(s)+T(s)=I。

R(s)是參考輸入r到控制輸出u的傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示對控制輸出的抑制。

一般系統(tǒng)標稱模型G0(s)不可能完全描述實際受控對象，即G0(s)存在不確定性ΔG(s)，實際模G(s)∈(G0(s)+ΔG(s)| ΔG(s ) ＜ ε)是一個有界的攝動范圍區(qū)間。由魯棒穩(wěn)定性理論可知，如果控制器k(s)使標稱系統(tǒng)G0(s)閉環(huán)穩(wěn)定，則對于任意攝動ΔG(s)，系統(tǒng)仍閉環(huán)穩(wěn)定的充分條件是:

成立。如果有 ΔG(s )≤W3(s)成立，則式(12)等價于

W3(s)稱為補靈敏度函數(shù)的加權函數(shù)。

對于外界干擾d，考慮其頻譜特性，合理選擇加權函數(shù) W1(s)，使得 S(s)W1(s) ＜ 1成立，就能對閉環(huán)傳遞函數(shù)頻域進行整形，從而抑制干擾d對系統(tǒng)輸出的影響。

2.2 加權函數(shù)選擇

混合靈敏度設計中加權函數(shù)選擇是關鍵，合適的加權函數(shù)可以使系統(tǒng)獲得良好的低頻與高頻性能。在系統(tǒng)高速旋轉(zhuǎn)時，柔性轉(zhuǎn)子較剛性轉(zhuǎn)子而言會出現(xiàn)更多的固有模態(tài)振動，對柔性轉(zhuǎn)子固有模態(tài)的識別有助于更好地進行振動控制。

本文采用力錘作為激振源，加速度傳感器測量轉(zhuǎn)子振動，并輸入HP35670進行頻譜分析，得到系統(tǒng)的前三階固有頻率如表2所示。

表2 系統(tǒng)的固有頻率Tab.2 The natural frequency of system

由表2可知，本系統(tǒng)轉(zhuǎn)子在15 000 r/min(250 Hz)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，會出現(xiàn)前二階臨界轉(zhuǎn)速。為了保證系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行，本文根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權函數(shù)，利用加權函數(shù)具有濾波器的作用，來減小系統(tǒng)不確定性的影響和抑制轉(zhuǎn)子的振動。

由第1節(jié)計算得到的系統(tǒng)數(shù)學模型，其不確定性包括由電磁力線性化引起的參數(shù)不確定性和由各自由度之間的陀螺與慣性耦合引起的動態(tài)不確定性。其中參數(shù)不確定性主要考慮轉(zhuǎn)子起浮時，位移剛度Ks和電流剛度Ki不確定性。

單自由度電磁力公式:

其中:K=0.25μ0N2A。將上式在平衡位置(X0，I0)附近進行前四階泰勒展開，忽略高階小項得:

轉(zhuǎn)子在剛起浮時非線性攝動最大，此時x=0.25 mm，i≈0.5A，以第1自由度為例，得到由參數(shù)攝動引起的乘性不確定性為Δ1(s):

其中:Δ1(s)的奇異值特性曲線如圖3所示。

轉(zhuǎn)子慣性耦合描述同一平面內(nèi)自由度間力或力矩耦合，陀螺耦合描述相互自由度之間的力或力矩耦合。由第1節(jié)的系統(tǒng)數(shù)學模型，當保留參數(shù)矩陣a21、b21非對角元，而忽略a22的非對角元素時，即系統(tǒng)只考慮考慮慣性耦合，不考慮陀螺耦合。此時徑向第1自由度由慣性耦合引起的乘性不確定性為Δ2(s):

當保留參數(shù)矩陣a22的非對角元，而忽略a21、b21非對角元時，即系統(tǒng)只考慮考慮陀螺耦合，不考慮慣性耦合。此時徑向第1自由度由陀螺耦合引起的乘性不確定性為Δ3(s):

其中:Δ2(s)、Δ3(s)的奇異值見圖3。根據(jù)加權函數(shù)的選擇原則［10］，補靈敏度函數(shù)T(s)的加權函數(shù)W3(s)的奇異值曲線一般應在 Δ1(s)、Δ2(s)、Δ3(s)的上方，這樣可以避免所求的控制器溢出。同時W3(s)應具有高通特性，但對低頻特性沒有特別要求。

圖3 不確定性奇異值曲線Fig 3 Singular value curves of uncertainty

轉(zhuǎn)子的主要干擾為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心引起的同頻離心力干擾，其表達式為 Fd=mεω2cosωt，其中質(zhì)量 m=7.533 2 kg，轉(zhuǎn)子偏心ε=0.01 mm。由干擾引起的轉(zhuǎn)子位移幅值為:

其中:Ks為位移剛度系數(shù)，以徑向第1自由度為例，可計算得到固有頻率f1=61.2 Hz和f2=221 Hz對應的同頻干擾幅值分別為:

其余各自由度類似。在上述干擾下，為保證轉(zhuǎn)子繞中心軸振動幅值xm不超過氣隙長度(徑向氣隙為0.25 mm)的十分之一，即xm≤25μm，則期望靈敏度函數(shù)S(s)在 ω1=2πf1=384.5 rad/s最大幅值為:

在 ω2=2πf2=1 388.6 rad/s最大幅值為:

根據(jù)加權函數(shù)的選擇原則，加權函數(shù)W1(s)的倒數(shù)在 ω1處應小于 S(jω1)、在 ω2處應小于 S(jω2)。同時W1(s)具有低通特性，其截止頻率應小于W3(s)的截止頻率，即高通與低通頻帶不重疊。

R(s)的加權函數(shù)為W2(s)，一般取比較小的常數(shù)，這樣可以獲得較大的系統(tǒng)帶寬同時避免增加控制器的維數(shù)。綜上，選取徑向第1自由度加權函數(shù)選為:

加權函數(shù)W3(s)和W1(s)的奇異值如圖4所示，其滿足上述加權函數(shù)的選擇原則。

圖4 加權函數(shù)奇異值Fig.4 Singular value of weighting function

2.3 控制器實現(xiàn)

由前述系統(tǒng)數(shù)學模型，徑向第1自由度控制器傳遞函數(shù)可表示為:

其余各自由度類似。由2.2節(jié)得到的徑向第1自由度加權函數(shù)，利用matlab工具箱中Augtf()函數(shù)，可推得徑向第1自由度增廣系統(tǒng)p1(s)如下:

利用hinflmi()函數(shù)，徑向第1自由度的H∞控制器k1(s)可表示為:

3 仿真與實驗

3.1 試驗系統(tǒng)的組成

圖5為試驗系統(tǒng)實物圖，其中包括:傳感器、控制器、PC機、功率放大器和機械受控部分。其中控制器為TI公司的TMS320F28335 DSP，該處理器具有高精度浮點運算能力，與PC機之間通過JTAG仿真器連接通信，采用CCS軟件編寫控制程序，實現(xiàn)系統(tǒng)主動控制。

圖5 試驗系統(tǒng)實物圖Fig.5 Experiment setup of system

3.2 仿真與實驗結果

利用matlab中simulink工具箱對H∞控制器和傳統(tǒng)的PID控制器階躍響應進行仿真對比。H∞控制器取式(22)形式，PID 控制器為:Kp(s)=2.5，Ki(s)=200/s，Kd(s)=0.03 s/(1+0.000 6 s)。

圖6 階躍響應對比Fig.6 Comparation of step response

由圖6可知，曲線1為H∞控制，曲線2為PID控制。經(jīng)比較可知，H∞控制的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。

根據(jù)式(22)，采用雙線性變換得徑向第1自由度的離散控制器如式(23)所示。

即可得到離散控制輸出u1與輸入e1的關系式:

其余各自由度控制器與此類似。而PID控制器參數(shù)仍如前所示，經(jīng)過PC機和CCS軟件編程，調(diào)試通過后即可下載到DSP中進行實時控制。

圖7是系統(tǒng)從0 r/min到15 000 r/min升速時，轉(zhuǎn)子徑向第1自由度的振動曲線圖，其余各自由度與此類似。圖7中，在3 900 r/min和11 400 r/min轉(zhuǎn)速附近，兩條曲線都存在兩個明顯的峰值，H∞控制曲線中兩峰值分別為4.44μm和6.57μm;PID曲線中兩峰值分別為6.31μm和7.2μm，H∞控制在臨界轉(zhuǎn)速處的振動幅值小于PID控制，其中第一階臨界轉(zhuǎn)速處幅值減少29.6%，第一階臨界轉(zhuǎn)速處減少8.75%。說明H∞控制策略能夠更好地抑制固有頻率處轉(zhuǎn)子的振動，系統(tǒng)具有較強的魯棒穩(wěn)定性和較好的動態(tài)性能。

圖7 轉(zhuǎn)子振動曲線Fig.7 Vibration curves of the rotor

4 結論

(1)本文以五自由度磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對象，建立了系統(tǒng)數(shù)學模型，提出了根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權函數(shù)的方法，采用混合靈敏度H∞優(yōu)化控制理論，對被控對象的不確定性進行估計，獲得加權函數(shù)W3(s)。

(2)利用激振試驗，獲取轉(zhuǎn)子前二階固有頻率值，根據(jù)這兩個固有頻率處轉(zhuǎn)子的同頻振動幅值求得加權函數(shù)W1(s)，借助matlab的LMI工具箱，獲得魯棒控制器并應用于磁懸浮控制系統(tǒng)中。

(3)仿真和試驗結果表明，本文所提出的抑制柔性轉(zhuǎn)子固有頻率處不平衡振動的加權函數(shù)選擇方法有效可行，由此得到的H∞控制器能夠保證磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高速運行，系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性和抑制轉(zhuǎn)子振動的能力。

［1］胡業(yè)發(fā)，周祖德.磁力軸承的基礎理論與應用［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2006.

［2］童水光，汪希萱.轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)中電磁阻尼器理論研究［J］.振動工程學報，1992，5(1):17 －24.TONG Shui-guang，WANG Xi-xuan.Theory research on electromagnetc damper of rotor-bearing system［J］.Journal of Vibration Engineering，1992，5(1):17 －24.

［3］謝振宇，王 彤，張景亭，等.磁懸浮軸承金屬橡膠環(huán)組合支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)性能［J］.航空動力學報，2009，24(2):378－384.XIE Zhen-yu， WANG Tong， ZHANG Jing-ting， et al.Dynamic characteristics of active magnetic bearing system with metl rubber nnuluses［J］.Journal of Aerospace Power，2009，24(2):378 －384.

［4］張德魁，江 偉，趙鴻賓.磁懸浮軸承系統(tǒng)不平衡振動控制的方法［J］.清華大學學報，2000，40(10):28－31.ZHANG De-kui，JIANG Wei，ZHAO Hong-bin.Unbalance vibration control method of magnetic bearing system［J］.Journal of TSinghua University，2000，40(10):28 －31.

［5］Duan G R，Wu Z Y，Bingham C.Robust magnetic bearing control using stabilizing dynamical compensators［J］.IEEE Transaction on Industry Application，2000，36(6):1654－1660.

［6］ Duan G R，Howe D.Robust magnetic bearing control via eigenstructure assignment dynamical compensation［J］.IEEE Transaction on Industry Application，2003，11(2):204－215.

［7］Beals S，Shafai B.A adaptive force balance for magnetic bearing control system［C］.Conference on Decision and Control，Tucson，USA，1992:3535 －3539.

［8］ Tamisie V，F(xiàn)oni S，Lacour M，et al.Attenuation of vibration due to unbanlance of an active magnetic bearings milling elctro-spindle［J］.CIRP Annals-manufacturing Technology，2001，50(1):255 －258.

［9］ Kai Y L， Coppola V T， Bernstein D S. Adaptive autocentering control for an active magnetic bearing supporting a rotor with unknown mass inbalance［J］.Control System Technology， IEEE Transaction on Industry Application，1996，4(5):587 －597.

［10］吳旭東，解學書.H∞魯棒控制中的加權陣選擇［J］.清華大學學報(自然科學版)，1997，37(1):27 －30.WU Xu-dong，XIE Xue-shu.The selection of weighting function in robust control［J］.Journal of TSinghua University(JCR science editon)，1997，37(1):27－30.

［11］趙 雷，叢 華.可控磁懸浮軸承剛度與阻尼特性研究［J］.清華大學學報(自然科學版)，1999，39(4):96－99.ZHAO Lei， CONG Hua. Investigation of controllable magnetic levitation bearing stiffness and damping characteristics［J］.Journal of TSinghua University(JCR science editon)，1999，39(4):96－99.