李昌祿， 蘇寒松

（天津大學(xué)電氣電子實(shí)驗(yàn)中心，天津 300072）

0 引言

局域環(huán)境的空間一般較小，對(duì)處于該空間中運(yùn)動(dòng)物體的定位采用超聲波定位系統(tǒng)是一種不錯(cuò)的選擇?；跓o線局域網(wǎng)的超聲波定位系統(tǒng)利用了成熟的網(wǎng)絡(luò)技術(shù)傳遞數(shù)據(jù)及用超聲波測(cè)量距離，具有可靠性好、精度較高的優(yōu)點(diǎn)，如何進(jìn)一步提高其精度，使其具有較高的性價(jià)比是一個(gè)重要的問題。通過正確選擇定位參考點(diǎn)的位置可達(dá)到提升系統(tǒng)性能的目的，該系統(tǒng)可用于娛樂游戲、礦山、安防等部門。

1 超聲波定位原理

超聲波一般是指頻率大于20 kHz的機(jī)械振動(dòng)波。超聲波測(cè)距可采用傳播時(shí)間檢測(cè)法進(jìn)行，即測(cè)量超聲波從發(fā)射換能器發(fā)出經(jīng)空氣傳播到接收換能器的傳播時(shí)間t，將t與其在空氣中的傳播速度v相乘，就得到超聲波此時(shí)的傳播距離S。由于超聲波在空氣中的傳播速度與溫度相關(guān)［1-2］，則傳播距離為

式中：T為環(huán)境溫度。

應(yīng)用上述測(cè)距的原理，可對(duì)處于空間坐標(biāo)系中的物體位置坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)局域空間的定位功能。圖1為超聲波定位原理示意圖。在紅實(shí)線所示的空間內(nèi)，如果對(duì)移動(dòng)物體M進(jìn)行定位，則需建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，并在該空間的上方設(shè)置3個(gè)超聲波接收點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為：C1（x1，y1，z1）、C2（x2，y2，z2）、C3（x3，y3，z3）。如果能測(cè)量出移動(dòng)物體M到3個(gè)接收點(diǎn)的距離 l1、l2、l3，則移動(dòng)物體 M 的坐標(biāo)（x，y，z）與其之間的函數(shù)關(guān)系可由下式表示［3-4］：

圖1 超聲波定位原理示意圖

式中：x，y，z為移動(dòng)物體 M 的坐標(biāo);l1、l2、l3為移動(dòng)物體 M 到3 個(gè)接收點(diǎn)的距離;（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2）、（x3，y3，z3）分別為3個(gè)超聲波接收點(diǎn)在空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。移動(dòng)物體M的位置在不斷變化，l1、l2、l3值也在不斷變化，其坐標(biāo)值（x，y，z）也在不斷更新，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)的定位跟蹤。

2 超聲波定位算法

2.1 定位方程組在特定條件下的解

如何簡化對(duì)式（2）所示定位方程組求解及提高精度，是超聲波定位的核心問題。為簡化計(jì)算，將超聲波接收點(diǎn)（以下簡稱參考點(diǎn)）安置于同一水平平面內(nèi)，造成其z坐標(biāo)值相同［5-7］，即 z1=z2=z3，定位方程組可簡化成：

式中：

如果選擇α21=0，即x1=x2，由于3個(gè)參考點(diǎn)互不重合，且不共線，故 y1≠y2，x1≠x3，即 β21≠0，α31≠0?？梢赃M(jìn)一步簡化求得x、y的解，即：

根據(jù)循環(huán)對(duì)稱性，當(dāng) β21=0、α31=0、β31=0 分別成立時(shí)，均可得到類似的解;反之，如果 α21≠0、β21≠0、α31≠、β31≠0 同時(shí)成立，則式（3）的解為

顯然式（5）所示的解的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，因此在參考點(diǎn)設(shè)置時(shí)應(yīng)盡量滿足式（4）所示的形式。最后，將求得的 x、y代入式（2），求得

式中，z的另一個(gè)解不符合實(shí)際，已舍去。

2.2 良態(tài)數(shù)學(xué)問題和良態(tài)方程組

除超聲波測(cè)距誤差外，定位算法對(duì)本系統(tǒng)的誤差較大。從式（2）～（6）可看出：超聲波定位問題已轉(zhuǎn)化成對(duì)線性方程組Ax=b的求解問題。要提高定位精度，希望所求解向量x的誤差受自變量誤差的影響盡量小是一個(gè)重要環(huán)節(jié)。這涉及到病態(tài)數(shù)學(xué)和良態(tài)數(shù)學(xué)問題：當(dāng)輸入數(shù)據(jù)（如參數(shù)、初始值等）有微小攝動(dòng)時(shí)，會(huì)引起解的大擾動(dòng)，這稱為病態(tài)數(shù)學(xué)問題;相反的情形稱為良態(tài)數(shù)學(xué)問題［8-10］。

在上述線性方程組Ax=b中：如果矩陣A和右端項(xiàng)b有微小變化‖δA‖和‖|δb‖，而引起解向量x的變化||δx||很大，則稱A為關(guān)于解方程組和矩陣求逆的病態(tài)矩陣，稱相應(yīng)的方程組為病態(tài)方程組;反之，如果‖δA‖和‖δb‖微小，‖δx‖也微小，便稱A為良態(tài)矩陣和稱Ax=b為良態(tài)方程組［11］。

式（3）中，令：

則式（3）可以化為

為了使方程解精確，需要保證該方程組是良態(tài)的。

在上式中，矩陣

與參考點(diǎn)分布情況有關(guān)，而參考點(diǎn)的坐標(biāo)是固定的，所以矩陣A不會(huì)有擾動(dòng)。

則矩陣

與超聲波測(cè)距值（l1，l2，l3）和參考點(diǎn)坐標(biāo)都相關(guān)，超聲波測(cè)距值可能存在小擾動(dòng)，假定擾動(dòng)值為δb，該擾動(dòng)引起方程解的擾動(dòng)為δX，有：

則：δX=A－1δb，

由式（8）可得，‖b‖≤‖A‖·‖X‖，即：

由式（9）、（10），則有

由此可見，量‖A－1‖·‖A‖是相對(duì)誤差‖δb‖/‖b‖的倍增因子，該量越大，方程組右端項(xiàng)變化引起的解向量相對(duì)誤差就可能越大。它描述了矩陣的病態(tài)程度，即方程組的解對(duì)列矩陣b擾動(dòng)的敏感程度。

在A－1存在的條件下，則稱

為矩陣A的條件數(shù)，其中‖·‖是矩陣的算子范數(shù)。常用的條件數(shù)為：

分別稱為矩陣A的∞-條件數(shù)，1-條件數(shù)，2-條件數(shù)。

式（11）可以改為

由于矩陣

與參考點(diǎn)分布相關(guān)，而該矩陣又會(huì)對(duì)定位方程組產(chǎn)生影響，因此對(duì)參考點(diǎn)選取有一定的參考價(jià)值化，故稱該矩陣為布點(diǎn)相關(guān)矩陣。本系統(tǒng)將條件數(shù)控制在50以內(nèi)，這可保證由超聲波測(cè)距值引起的擾動(dòng)，經(jīng)定位算法的放大后滿足定位精度要求。

3 參考點(diǎn)位置的選取

3.1 參考點(diǎn)位置的選取原則

在超聲波定位系統(tǒng)中，使用的超聲波發(fā)射和接收換能器的輻射角為90°，如果將其置于高度為H的室內(nèi)天花板上，則超聲換能器的有效輻射空間為一個(gè)圓錐體，它向地面投射下一個(gè)圓形“斑”，如圖2中紅線所示。由于接收和發(fā)射換能器的可逆性，位于該“斑”中的超聲波發(fā)射換能器所發(fā)射的超聲波都能被置于天花板上的參考點(diǎn)所接收，在輻射角為90°的條件下，圓斑的直徑為2H。

圖2 參考點(diǎn)的覆蓋范圍

綜上所述，參考點(diǎn)位置的選擇應(yīng)該參照3個(gè)原則：①定位系統(tǒng)中參與定位計(jì)算的3個(gè)參考點(diǎn)不能位于同一直線上;②在設(shè)定的定位的空間內(nèi)，各點(diǎn)至少要處于3個(gè)參考點(diǎn)的輻射區(qū)域內(nèi);③參于定位計(jì)算的3個(gè)參考點(diǎn)，其布點(diǎn)相關(guān)矩陣A的條件數(shù)要小于指定的值（例如，本系統(tǒng)中為50）。

3.2 參考點(diǎn)分布舉例

下面以實(shí)驗(yàn)用20 m×10 m×10 m的室內(nèi)定位空間為例，進(jìn)行參考點(diǎn)設(shè)定。本系統(tǒng)的參考點(diǎn)擬安裝在頂部，需定位的移動(dòng)物體沿地面運(yùn)動(dòng)。根據(jù)此條件，參考點(diǎn)的設(shè)定需按下述步驟進(jìn)行。

（1）建立定位空間的三維直角坐標(biāo)系：選定地面的一角作為原點(diǎn) O（0，0，0）;確定 x 軸，y 軸，z軸，使得0≤x≤20 m，0≤y≤10 m，0≤z≤10 m;將參考點(diǎn)全部設(shè)于頂部平面，z坐標(biāo)值均為10 m。

（2）該定位空間的俯視圖如圖3所示，擬設(shè)定6個(gè)參考點(diǎn)，其編號(hào)和坐標(biāo)值分別為：1（7，5，10）、2（2，2，10）、3（2，8，10）、4（13，5，10）、5（18，2，10）、6（18，8，10）。6個(gè)參考點(diǎn)對(duì)地面的覆蓋的區(qū)域是分別以各參考點(diǎn)對(duì)地面的投影為圓心，半徑為10 m的圓形區(qū)域，6個(gè)區(qū)域與地面相交，將其分割成13個(gè)區(qū)域，如圖3所示。圖中彩色弧線是各圓形區(qū)域的邊界軌跡，其顏色與各自的參考點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。當(dāng)移動(dòng)物體在A區(qū)活動(dòng)，1～3號(hào)參考點(diǎn)可以感知;當(dāng)移動(dòng)物體在B區(qū)活動(dòng)，1～3、4號(hào)參考點(diǎn)可以感知;當(dāng)移動(dòng)物體在C區(qū)活動(dòng)，所有6個(gè)參考點(diǎn)都可以感知;當(dāng)移動(dòng)物體在F區(qū)活動(dòng)，1～5號(hào)參考點(diǎn)可以感知;當(dāng)移動(dòng)物體在J區(qū)活動(dòng)，1、2、4號(hào)參考點(diǎn)可以感知。如此類推，很容易獲得移動(dòng)物體在其它區(qū)域活動(dòng)時(shí)能夠感知的參考點(diǎn)個(gè)數(shù)，如表1所示。計(jì)算移動(dòng)物體坐標(biāo)時(shí)，可任選3個(gè)。

圖3 參考點(diǎn)分布示例（單位：m）

表1 參考點(diǎn)的覆蓋區(qū)域

（3）在地面移動(dòng)的物體選用不同的參考點(diǎn)計(jì)算坐標(biāo)時(shí)，其布點(diǎn)相關(guān)矩陣的條件數(shù)不同，本系統(tǒng)要求其值小于50。表2列出了不同參考點(diǎn)組合下的布點(diǎn)相關(guān)矩陣的條件數(shù)［12］。從表中可看出，條件數(shù)的最大值為13.22，處于我們可以接受的范圍之內(nèi)。

表2 各種參考點(diǎn)組合下布點(diǎn)相關(guān)矩陣的條件數(shù)

4 超聲波定位系統(tǒng)的組成

基于無線局域網(wǎng)環(huán)境的超聲波定位系統(tǒng)如圖4所示。在移動(dòng)物體端，安裝有：與服務(wù)器通信的無線局域網(wǎng)模塊;超聲波發(fā)射器及射頻發(fā)射裝置。而定位參考點(diǎn)端則相應(yīng)由無線局域網(wǎng)模塊，計(jì)數(shù)器，超聲波接收器和射頻接收器等組成。服務(wù)器通過無線局域網(wǎng)對(duì)移動(dòng)物體發(fā)出發(fā)射超聲波的命令，移動(dòng)物體收到該命令后，在其發(fā)射超聲波的同時(shí)，還要通過射頻發(fā)射模塊向各參考點(diǎn)端S發(fā)出計(jì)數(shù)器開始計(jì)數(shù)的起始信號(hào);該信號(hào)被參考點(diǎn)端S通過射頻接收模塊收到后，啟動(dòng)計(jì)數(shù)器，當(dāng)參考點(diǎn)S收到超聲波信號(hào)后計(jì)數(shù)器停止計(jì)數(shù);計(jì)數(shù)器模塊將計(jì)數(shù)器的值通過無線局域網(wǎng)模塊發(fā)送到服務(wù)器端，服務(wù)器將此值轉(zhuǎn)換成時(shí)間，并進(jìn)一步換算成移動(dòng)物體至該參考點(diǎn)的距離，服務(wù)器再通過計(jì)算3個(gè)參考點(diǎn)傳來的距離值確定該移動(dòng)物體的坐標(biāo)值。上述的數(shù)字邏輯電路通過復(fù)雜可編程器件（CPLD）很容易實(shí)現(xiàn)［13-15］。本方案的特點(diǎn)是;通過射頻信號(hào)向定位參考點(diǎn)端傳遞超聲波發(fā)射的起始信息，由于射頻的傳播速度很高，約為3×108m/s，而超聲波的傳播速度較低，約為3.41×102m/s，因而射頻的傳播時(shí)間可忽略，這就解決了由于超聲波的發(fā)射與接收不在同一側(cè)而帶來的同步難題。計(jì)算中，雖然射頻的傳播延時(shí)可忽略，但發(fā)送端所發(fā)送的一幀串行數(shù)據(jù)中，包括接收端的地址碼、數(shù)據(jù)及同步碼等仍需一定的時(shí)間，該時(shí)間與系統(tǒng)所選用的串行時(shí)鐘有關(guān)。解碼端解出這些數(shù)據(jù)也需一定的時(shí)間，系統(tǒng)計(jì)算時(shí)必須要考慮這些時(shí)間作些補(bǔ)償。由于這些時(shí)間是已知的，補(bǔ)償可做得比較精確。

本系統(tǒng)采用時(shí)分復(fù)用的方法對(duì)5個(gè)移動(dòng)物體進(jìn)行實(shí)時(shí)定位，由于移動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)速度較慢，小于5 cm/s，可每隔1 s定位一次，其時(shí)隙圖如圖5所示。在時(shí)間軸上，5個(gè)移動(dòng)物體的一次輪詢稱為一幀，在一幀的時(shí)間內(nèi)每個(gè)移動(dòng)物體所處的定位時(shí)刻為一個(gè)時(shí)隙。本系統(tǒng)中，一幀由5個(gè)時(shí)隙構(gòu)成。另外，圖中的時(shí)隙間隔和幀間隔是為防止時(shí)隙之間和幀之間的相互串?dāng)_所設(shè)。

圖4中的無線局域網(wǎng)模塊又稱嵌入式無線設(shè)備服務(wù)器，它能實(shí)現(xiàn)IEEE802.11b/g標(biāo)準(zhǔn)的無線通訊，它自帶有操作系統(tǒng)，裝有完整的 TCP/IP協(xié)議，支持ARP、UDP、TCP、ICMP、AUTOIP、DHCP、HTTP 和 SNMP等多種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議。實(shí)驗(yàn)表明：將無線局域網(wǎng)模塊用于移動(dòng)物體端和定位接收點(diǎn)端與服務(wù)器進(jìn)行基于無線局域網(wǎng)的通信是可靠的。

本設(shè)計(jì)采用的是帶有一個(gè)AP的獨(dú)立型無線局域網(wǎng)，采用UDP協(xié)議傳輸數(shù)據(jù)。其中：無線接入點(diǎn)AP可采用無線路由器;移動(dòng)物體和定位接收點(diǎn)上安裝有無線局域網(wǎng)模塊，通過它接入無線局域網(wǎng);服務(wù)器可采用筆記本電腦，只需給其無線網(wǎng)卡分配一個(gè)固定IP并保持其SSID的名稱與AP的一致即可。該系統(tǒng)的調(diào)試步驟與普通的無線局域網(wǎng)相同。

圖4 超聲波定位系統(tǒng)框圖

圖5 多個(gè)移動(dòng)物體定位系統(tǒng)時(shí)隙圖

5 超聲波定位系統(tǒng)的測(cè)試

本系統(tǒng)的測(cè)試主要集中在對(duì)其定位精度上［16］。由前述可知，對(duì)系統(tǒng)精度的影響包括兩個(gè)方面：① 移動(dòng)物體至參考點(diǎn)距離的誤差;②定位方程組中布點(diǎn)相關(guān)矩陣的影響。后者由于在對(duì)參考點(diǎn)選取時(shí)已作考慮，故對(duì)系統(tǒng)精度影響不大，前者的影響是最直接的。因此，首先應(yīng)對(duì)移動(dòng)物體至參考點(diǎn)的距離誤差進(jìn)行測(cè)量。

在地面上選取若干點(diǎn)，測(cè)量其至參考點(diǎn)的實(shí)際距離，再從定位系統(tǒng)中提取用超聲波測(cè)量的距離值，兩者相比較即可得出誤差值。表3列出了這一測(cè)量結(jié)果。結(jié)果表明，利用該系統(tǒng)測(cè)量的距離誤差在厘米級(jí)。

表3 距離誤差測(cè)量結(jié)果

將移動(dòng)物體放置于坐標(biāo)系中的已知坐標(biāo)點(diǎn)上，通過定位系統(tǒng)讀出其坐標(biāo)值，進(jìn)而求出其側(cè)量誤差，該結(jié)果列于表4中。結(jié)果表明，由于合理選擇了參考點(diǎn)的位置，定位方程組的計(jì)算沒有將距離的測(cè)量誤差進(jìn)一步擴(kuò)散，利用該系統(tǒng)測(cè)量的坐標(biāo)誤差在10cm以下，定位精度滿足要求。

表4 定位誤差測(cè)量表

6 結(jié)語

本文所描述的基于無線局域網(wǎng)的超聲波定位系統(tǒng)的特點(diǎn)是;采用成熟的無線局域網(wǎng)技術(shù)傳輸數(shù)據(jù);通過合理安排參考點(diǎn)的位置排列使得由計(jì)算產(chǎn)生的誤差在允許的范圍內(nèi);利用射頻信號(hào)傳輸超聲波發(fā)送和接收的起始信號(hào)，使接收和發(fā)送較好的同步。實(shí)驗(yàn)表明，該系統(tǒng)具有精度高、使用方便、性價(jià)比較好等特點(diǎn)。經(jīng)在娛樂場(chǎng)所運(yùn)行，效果良好。

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