黃 煌

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用鏡像法求解幾類典型靜電場問題的教學(xué)研究

黃 煌*1, 2

(1. 湖南師范大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院, 湖南 長沙, 410081; 2. 湖南文理學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

研究經(jīng)典電磁學(xué)中的各類靜電和靜磁問題一般需要在對應(yīng)邊界條件下求解Laplace方程或者Poisson方程, 然而由于直接求解這些方程所用的數(shù)學(xué)技巧復(fù)雜, 學(xué)生很難從紛繁的數(shù)學(xué)公式中提煉出清晰的物理圖像. 本文基于唯一性定理介紹了鏡像法的基本概念、物理思想和應(yīng)用對象, 并結(jié)合具體的邊界條件討論了如何較為簡單地求解幾類典型的靜電場問題. 研究結(jié)果表明, 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用鏡像法可以降低學(xué)生解答某些靜電學(xué)問題的難度, 從而有助于達(dá)到較好的教學(xué)效果.

像電荷;鏡像法; 幾何對稱性

經(jīng)典電磁學(xué)理論告訴我們, 自然界中的各種靜電和靜磁現(xiàn)象都可用Laplace方程或者Poisson方程描述[1—2], 那么研究各類靜電問題其實(shí)上就歸結(jié)為在對應(yīng)的邊界條件下求解這些空間偏微分方程. 對于一般的任意邊界或者電荷分布的情形, 此類問題不存在解析求解方案, 這時只能借助計算機(jī)技術(shù)獲得數(shù)值解答. 盡管對于某些簡單規(guī)則的邊界形狀, 人們可以通過分離變量、積分變換、Green函數(shù)等方法求得問題的解析解, 可是計算過程通常冗長繁雜, 學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往會因為缺乏直觀的物理圖景而感覺困難. 然而, 考慮到空間點(diǎn)電荷激發(fā)電場的Coulomb 定律和電勢的疊加原理卻十分簡單, 那么在某些簡單邊界形狀和電荷分布下, 靜電場(或電勢)也可以通過鏡像法求得[3—5].鏡像法的核心思想是, 在不改變求解區(qū)域電荷分布、介質(zhì)電磁性質(zhì)和邊界條件的前提下, 用求解區(qū)域外部虛設(shè)的簡單電荷分布(通常稱為鏡像電荷)來等效地代替導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷或介質(zhì)分界面上的極化電荷, 它們對求解區(qū)域電勢的貢獻(xiàn)使得原電荷和像電荷產(chǎn)生的總疊加電勢與原始問題的電勢一致, 從而大大簡化問題的解答, 這種鏡像法的正確性由靜電場唯一性定理來保證. 因為鏡像法簡潔又直觀, 學(xué)生容易掌握, 所以教學(xué)時可達(dá)到事半功倍的效果. 尤其是當(dāng)需要求解電勢的空間區(qū)域具有球面、柱面或無限大平面等幾何對稱性邊界時, 我們可優(yōu)先選擇運(yùn)用鏡像法.

1 鏡象法的理論基礎(chǔ)

鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場的唯一性定理. 其實(shí)質(zhì)是在所研究的場域外的適當(dāng)?shù)胤? 用實(shí)際上不存在的 “像電荷” 來代替真實(shí)的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點(diǎn)的作用. 在代替之后, 必須保證在研究區(qū)域內(nèi)原有的場方程和邊界條件都不變. 像電荷的大小以及所處的位置則由代替之后全空間中所有電荷分布在邊界上激發(fā)的電勢和邊界條件共同決定.

2 鏡像法的應(yīng)用示例和教學(xué)分析

用鏡像法解題大致可按以下步驟進(jìn)行: ①正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件(坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定); ②根據(jù)給定的邊界條件計算像電荷的電量和所在位置; ③由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式; ④根據(jù)需要從電勢求出場強(qiáng)、電荷分布以及電場作用力、電容等. 下面分別就平面、球面和柱面3類介質(zhì)分界面的靜電場問題闡明鏡像法的特點(diǎn).

圖1 無限大接地導(dǎo)體平板一側(cè)置一點(diǎn)電荷

2.1 平面類介質(zhì)分界面

平面類分界面應(yīng)該是非均勻介質(zhì)中最簡單的邊界了, 即便如此, 如果直接求解Poisson方程來得到電勢函數(shù)仍舊頗費(fèi)周折, 此時選用鏡像法來計算空間電勢則比較簡單. 如圖１所示,為接地?zé)o限大導(dǎo)體平面, 設(shè)一點(diǎn)電荷位于右側(cè)距為處, 求點(diǎn)電荷一側(cè)空間的電勢. 從物理上分析, 在點(diǎn)電荷的作用下, 導(dǎo)體平面上出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布. 若為正的, 則感應(yīng)電荷為負(fù)的. 空間中的電場是由給定的點(diǎn)電荷以及導(dǎo)體平面的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的, 而另一方面感應(yīng)電荷的分布又是在總電場作用下達(dá)到靜電平衡的結(jié)果. 平衡的條件就是導(dǎo)體是一等勢面. 所以導(dǎo)體平面右側(cè)空間中靜電勢應(yīng)滿足如下定解問題:

怎樣才能滿足這一問題的邊界條件呢？感應(yīng)電荷對空間電場的作用能否用一個假想電荷來代替？設(shè)想在導(dǎo)體平面左側(cè)與電荷鏡面對稱的位置上放一個假想電荷′, 然后把導(dǎo)體平面移走. 只要′ =-, 在原導(dǎo)體平面上, 假想電荷′與給定電荷激發(fā)的總電場線處處與它垂直, 因而邊界條件得到滿足. 由此可見, 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷確實(shí)可用導(dǎo)體左側(cè)的一個假想電荷′代替, 所以導(dǎo)體平面右側(cè)空間電勢為:

雖然鏡像法所解決的問題中最常見的是導(dǎo)體表面作為邊界的情況, 但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的靜電場問題. 如圖2所示, 設(shè)介電常數(shù)分別為1和2的兩種均勻介質(zhì)以無限大平面為界, 在介質(zhì)1中有一點(diǎn)電荷, 求空間電勢分布.

首先考慮介質(zhì)1中的電勢1, 設(shè)想將左半空間介質(zhì)換成與右半空間的一樣, 并在=-處有的像電荷′來代替分界面上極化電荷對右半空間場的影響. 則在＞0的區(qū)域, 空間一點(diǎn)的電勢為:

也可用電勢表示為:

將式(3)、(4)代入式(6)并聯(lián)立解得:

至此,之像′或者″的電量及位置均已確定. 值得注意的是, 在此例中像電荷不一定非得同原電荷異號: 比如, ①當(dāng)1>2時,′與0電性相同; ②當(dāng)1<2時,′與0電性相反.

圖2 兩半無限大均勻介質(zhì)中置一點(diǎn)電荷

圖3 兩個無限大接地導(dǎo)體平板中間置一點(diǎn)電荷