向量工具在平面幾何中的應用

（★★★★）必做1 如圖1，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點， =x·+y·.

（1）若=，求x，y的值；

（2）若=3，

=4，

=2，且與的夾角為60°時，求·的值.

[O][A][P][B][圖1]

[牛刀小試]

破解思路 考查向量的加減運算及向量的幾何特征，借助向量的數(shù)量積代入運算即可.

精妙解法 （1）因為=，所以+=+，即2=+.

所以=+，即x=，y=.

（2）因為=3，所以+=3+3，即4=+3.

所以=+.

所以x=，y=.

·=

+

·（-）=·-·+· =×22-×42+×4×2×=-9.

極速突擊 平面向量是高中數(shù)學的重要知識，近幾年對向量的命題主要體現(xiàn)在垂直、共線、模長、夾角等問題中，靈活處理向量的數(shù)量積以及向量的模也是處理綜合問題的關鍵.

（★★★★）必做2 在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N，若=sinθ·，=cosθ·，其中θ∈0，

.

（1）求sin2θ的值；

（2）記△OMN的面積為S，平行四邊形OABC的面積為S，試求的值.

[牛刀小試]

破解思路 此題既涉及向量的加減運算，又綜合了三角公式化簡，是向量與三角、解三角形的交匯題，彰顯向量在解平面幾何問題時的工具價值.

精妙解法 （1）由題意可得==-，

所以=-=-（1+sinθ）·.

又=-=cosθ·-sinθ·，M，N，C三點共線，

所以=，則sinθ-cosθ=sinθ·cosθ ①.

①式兩邊平方，得1-2sinθ·cosθ=sin2θ·cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.

解得sin2θ=2-2或-2-2（舍去）.

（2）由題意得S=

·

·sin∠AOB=sin2θ·S=S，即=.

極速突擊 重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結合的思想方法，體驗向量在解題過程中的工具性特點.

向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，向量本身是一個數(shù)形結合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時要注意數(shù)與形的結合、代數(shù)與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合. 注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量可轉(zhuǎn)換性解決問題.

向量工具在三角函數(shù)中的應用

（★★★★）必做3 已知向量m=（sinx，-1），n=

cosx，

-，函數(shù)f（x）=m2+m·n-2.

（1）求f（x）的最大值，并求取最大值時x的取值集合；

（2）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且a，b，c成等比數(shù)列，角B為銳角，且f（B）=1，求+的值.

[牛刀小試]

破解思路 運用平面向量建立三角函數(shù)式，進而考查三角函數(shù)式的化簡、求值以及三角函數(shù)的性質(zhì).

精妙解法 （1）f（x）=（m+n）·m-2=sin2x+1+sinxcosx+-2

=+sin2x-=sin2x-cos2x=sin

2x-.

故f（x）=1，此時2x-=2kπ+，k∈Z，得x=kπ+，k∈Z.

所以f（x）取最大值時x的取值集合為x

x=kπ

+，k∈Z.

（2）f（B）=sin

2B-=1，因為0

由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，于是

+=+=

===.

極速突擊 向量有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.三角函數(shù)也是解決幾何問題的有力工具，但較向量而言，具有公式多、變形復雜、技巧性強等弊病，因此，可以在與三角函數(shù)有關的問題中適當引進平面向量的方法，讓思路更直觀、解答更簡潔.

（★★★★）必做4 已知△ABC的面積為S，且·=S.

（1）求tan2A的值；

（2）若已知B=，

-=3，求△ABC的面積S.

[牛刀小試]

破解思路 運用平面向量求三角形中角的三角函數(shù)值，為后繼使用正、余弦定理奠定基礎.三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意.

精妙解法 （1）設△ABC的角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c.

因為·=S，所以bccosA=·bcsinA，

所以cosA=sinA， 所以tanA=2.

所以tan2A==-.

（2）

-=3，即

=c=3，因為tanA=2，0

所以sinA=，cosA=.

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=·+·=.

由正弦定理知：=?b=·sinB=，

所以S=bcsinA=××3×=3.

極速突擊 本題主要考查和差三角函數(shù)，倍角公式，正弦定理的應用，平面向量的運算；考查運算變形和求解能力.

三角函數(shù)問題主要集中在：一是化簡求值問題，要熟練應用公式，緊扣角的范圍，才可避免出錯；二是三角函數(shù)的性質(zhì)，要先將函數(shù)式化簡為y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0）的形式，再研究其性質(zhì).向量的運算法則、運算律與數(shù)量的運算法則、運算律形成鮮明對比，要理解它們的聯(lián)系與區(qū)別.要用向量的思想和方法去分析、解決問題，一定要突出向量的工具性作用.

向量工具在解析幾何中的應用

（★★★★）必做5 如圖2，已知橢圓C：+=1的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.

[圖2][A][O][F][B][M][y][N][l][x]

[牛刀小試]

破解思路 先由解析幾何的知識得到向量的坐標，進而借助向量的數(shù)量積的坐標運算完成解答.

精妙解法 由已知可得A（-4，0），B（4，0），F(xiàn)（2，0），直線l的方程為x=8.

設N（8，t）（t>0），因為AM=MN，所以M2

，.

由M在橢圓上，得t=6，故點M的坐標為M（2，3）.

所以=（-6，-3），=（2，-3），·=-12+9=-3，

所以cos∠AMB===-，

即∠AMB的余弦值為-（用余弦定理也可求得）.

極速突擊 用向量法解決解析幾何問題思路清晰，過程簡潔，有意想不到的神奇效果，值得同學們重視.

（★★★★）必做6 已知定點A（-1，0），B（1，0），P是圓（x-3）2+（y-4）2=4上的一動點，求PA2+PB2的最大值和最小值.

[牛刀小試]

破解思路 因為坐標原點O為AB的中點，所以+=2，故可利用向量的知識將原問題轉(zhuǎn)化為求向量

的最值.

精妙解法 設已知圓的圓心為C，由已知可得：=（-1，0），=（1，0），所以+=0，·=-1.

又由中點公式得+=2，

所以PA2+PB2=（+）2-2·

=（2）2-2（-）·（-）

=4

2-2·-2

2+2·（+）

=2

2+2.

又因為=（3，4），且點P在圓（x-3）2+（y-4）2=4上，

所以3≤

≤7，故20≤PA2+PB2=2

2+2≤100.

所以PA2+PB2的最大值為100，最小值為20.

極速突擊 有些解析幾何問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運用向量知識來解決，也會顯得自然、簡便，而且易入手.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考也突出了對向量與解析幾何的交匯考查，這就要求我們在平時的解析幾何復習中，應抓住時機，有效地滲透向量的有關知識，樹立應用向量的意識.

解三角形

（★★★★）必做7 在△ACD中，A，B，C分別為邊a，b，c所對的角，且cosA=.

（1）求sin2+cos2A的值；

（2）若a=2，求△ABC的面積S的最大值.

[牛刀小試]

破解思路 考查三角公式化簡、余弦定理、三角形面積公式.

精妙解法 （1）sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A-1=.

（2）因為cosA=，所以sinA=，

因為a=2，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4，

所以bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤10.

所以△ABC的面積S=×bcsinA=bc≤3，當且僅當b=c時，S取得最大值.

所以當b=c時，△ABC的面積S的最大值為3.

極速突擊 三角形是最簡單的平面圖形，也是中學數(shù)學涉及知識最多的圖形，在高考中是重點.常?？疾檫吔顷P系和正、余弦定理，且結合不等式和方程的知識，尤其是與基本不等式交匯.

（★★★★）必做8 如圖3，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)，使△DEF為正三角形，求△DEF邊長的最小值.

[A][F][C][E][B][D][圖3]

[牛刀小試]

破解思路 此題設參數(shù)是關鍵，通過正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角，進而由三角函數(shù)求最值.

精妙解法 因為△ABC是直角三角形，AB=2，BC=1，所以∠A=30° .

設∠FEC=α，則得α∈0，

，∠EFC=90° -α，∠AFD=180° -60° -（90°-α）=30° +α，

所以∠ADF=180° -30° -（30°+α）=120° -α.

設CF=x，則AF=-x，在△ADF中，有=，

由于x=EF·sinα=DF·sinα，

所以=，

化簡得DF=≥=.

所以△DEF邊長的最小值為.

極速突擊 要善于通過挖掘隱含條件，選準問題的切入點，恰當設參、用參，正確界定參數(shù)范圍，建立關系，做好轉(zhuǎn)化.

（★★★★）必做9 如圖4，在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且∠ABC=120°，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示. 已知∠ACD=60°，路寬AD=24 m，設燈柱高AB=h m，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）.

（1）求燈柱的高h（用θ表示）；

（2）若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記所用材料長度和為S，求S關于θ的函數(shù)表達式，并求出S的最小值.

[B][C][A][D][θ][圖4]

[牛刀小試]

精妙解法 （1）因為∠ABC=120°，∠ACB=θ，

所以∠BAC=60°-θ，因為∠BAD=90°，所以∠CAD=30°+θ.

因為∠ACD=60°，所以∠ADC=90°-θ.

在△ACD中，因為=，

所以AC==16cosθ.

在△ABC中，=，

所以AB==16sin2θ，即h=16sin2θ.

（2）在△ABC中，因為=，

所以可得BC==32cosθsin（60°-θ）=8+8·cos2θ-8sin2θ，

則S=AB+BC=8+8·cos2θ+8sin2θ=8+16sin（2θ+60°）.

因為30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°.

所以當θ=45°時，S取得最小值為（8+8）m.

極速突擊 應用題是高考的必考題型，解決應用題的關鍵是要學會審題，根據(jù)條件選擇合適的變量，建立數(shù)學模型，選擇適當?shù)姆椒ń忸}，結論要符合題意.

解三角形主要與三角變換相結合，直接在三角形中以處理邊角關系的形式呈現(xiàn).以實際問題為背景，結合向量或幾何知識構建綜合性題是可能的發(fā)展方向. 如何從實際問題中抽象出數(shù)學模型及與函數(shù)、不等式、幾何等知識的轉(zhuǎn)換是難點.