顧 政，鄭建軍，周欣竹

（浙江工業(yè)大學建筑工程學院，杭州 310014）

多孔材料普遍存在于自然界中，木材、生物的骨骼以及巖石等都是天然的多孔材料。隨著科學技術的發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多用金屬、陶瓷和高聚合物等制成的人造多孔材料［1］。這些多孔材料已廣泛應用于各個工程領域，它們不僅具有多種優(yōu)異的性能，而且制造工藝簡單。因此，研究其力學性能具有突出的重要性。

由于多孔材料是由孔隙和固相所組成的復合體，孔結(jié)構（如孔形狀、孔隙率和孔的連通性等）是影響宏觀彈性性能的主要因素，因而細觀結(jié)構與宏觀力學性能之間的定量關系成為當前國際工程界的前沿課題之一。Voigt和Reuss分別根據(jù)等應變和等應力假設給出了多晶體材料體積模量和剪切模量的近似解［2］，Gibson和Ashby［3］在單孔單元的基礎上建立模型，獲得了蜂窩多孔材料二維彈性參數(shù)，即Gibson－Ashby方程，Roberts［4］研究了開孔和閉孔泡沫的彈性性能。隨著數(shù)值方法和計算機技術的日益發(fā)展，有限元法被廣泛用于多孔材料的力學性能分析［5］，對“代表性體積元”進行數(shù)值求解，獲得宏觀力學性能。但對于復雜的多孔材料，不僅網(wǎng)格劃分極其困難，總剛度矩陣占據(jù)大量內(nèi)存，而且總剛度方程求解花費大量時間，以至于無法獲得滿意的數(shù)值解。為此，該文在前人工作的基礎上，應用快速傅里葉變換法討論了多孔材料彈性模量的計算方法。

1 數(shù)值方法

1.1 多孔材料模擬

類似于“代表性體積元”，可以從細觀結(jié)構圖像的像素點上獲得結(jié)構單元的代表性信息［6］。因而為了能較準確地預測多孔材料的彈性模量，首先應建立多孔材料模型，作為初步嘗試，文章僅考慮二維模型。多孔材料區(qū)別于普通密實固體材料的最顯著特點是具有孔隙，多孔材料建模時應著重考慮孔隙分布特點以及孔隙率大小。大量的試驗研究表明［7］，多孔材料中的孔隙率、孔徑分布、孔隙位置等均服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，如隨機分布和正態(tài)分布等。因此，建立多孔材料幾何模型的關鍵是按照一定的概率分布確定孔隙大小和位置，在數(shù)學上可以通過各種變換或抽樣來實現(xiàn)。

為了便于計算，該文假設孔隙為圓形，而且大小相等、互不重疊。在模擬孔隙時，先選取一邊長為L的正方形，在分布第i個半徑為R的圓孔時，在正方形區(qū)域內(nèi)生成其圓心坐標（xi，yi），如果第i個圓孔與前面已經(jīng)分布某一個或幾個圓孔重疊，則重新生成第i個圓孔的圓心坐標；如果第i個圓孔不與前面已經(jīng)分布的（i－1）個圓孔重疊，那么繼續(xù)分布第i＋1個圓孔，直到達到給定的孔隙率為止。作為一個算例，設L＝100mm，R＝4mm，孔隙率C分別為0.1、0.3和0.5，所獲得的孔分布如圖1所示。

1.2 基本方程

首先在模擬區(qū)域內(nèi)等距離選取像素點，根據(jù)快速傅里葉變換原理，每個二維細觀結(jié)構分布圖都包含2K×2K個像素點，這些像素點各自具有力學性質(zhì)，且相互獨立，計算步驟如下：

1）將圖像劃分為2K×2K個細胞單元，如圖2所示，取每個細胞單元的中心點為像素點，這里稱K為像素點個數(shù)指數(shù)。

2）對每個像素點進行判斷，如果落在孔隙內(nèi)，彈性模量取為零；如果落在固相內(nèi)，彈性模量取單位值，這樣所獲得的多孔材料的彈性模量為相對值。

多孔材料各點的彈性張量Cijkl（x）是坐標x的函數(shù)，其應力－應變關系可表示成

式中，C0ijkl為彈性張量常數(shù)，τij（x）定義為

通過引入周期性格林張量Γijkl，式（1）的解可表示為［6］

對式（3）進行傅里葉變換有

對于各向同性材料，（ξ）為［6］

式中，λ和μ為拉梅常數(shù)，εi為傅里葉空間坐標。

1.3 迭代求解

方程（1）～方程（4）可以通過以下迭代方法進行求解：

1）給定初始均勻應變ε0ij，由式（1）求得初值應力σ0ij；

2）對于第i＋1次迭代，先由（2）計算τij（x），對τij（x）進行傅里葉變換求得＾τij（ξ），再檢驗收斂性；

3）由式（4）計算第i＋1次迭代應變，再將應變進行傅里葉反變換；

4）由式（1）計算應力。

一旦迭代收斂，計算各點的加權應力和加權應變，最后獲得多孔材料的彈性模量。該文以前后兩次迭代值的相對誤差小于10－3作為收斂準則。

2 收斂性和有效性驗證

2.1 收斂性驗證

在下面的計算中，取正方形邊長為1 000mm，孔隙率C＝0.2，像素點個數(shù)為28×28個，固相材料的泊松比為0.3，計算所得的相對彈性模量與孔隙個數(shù)之間的關系如圖3所示，其中，虛線表示解析解［8］。從該圖可以看出，當孔隙個數(shù)較少時，彈性模量上下波動，當孔隙數(shù)大于100時，彈性模量基本趨于穩(wěn)定，這與文獻［9］的結(jié)論一致，這是因為孔隙越多，材料越均勻，像素點所代表的結(jié)構單元性質(zhì)越接近于真實情況。再取孔隙個數(shù)為100，相對彈性模量與像素點個數(shù)指數(shù)之間的關系如圖4所示。從該圖可以看出，當K較小時，彈性模量上下波動幅度較大，隨著K的增大，結(jié)果趨于穩(wěn)定，K＝10與K＝11之間彈性模量的相對誤差僅為0.3%，表明該方法已經(jīng)收斂。圖4還表示，隨著像素點的增加，數(shù)值解與解析解越接近，這是因為隨著像素點的增加，結(jié)構單元性質(zhì)得到更細致的描述，更接近于真實情況，另一方面，由于傅里葉變換本身具有一定的誤差，當像素點超過一定值后，累積誤差也會影響計算結(jié)果。由圖4還可以得出，當像素點個數(shù)為256×256時，數(shù)值解與解析解最接近。

2.2 有效性性驗證

基于前面的討論，取孔隙個數(shù)為100，像素點個數(shù)為256×256，相對彈性模量隨孔隙率變化如圖5所示。從圖5可以看出，數(shù)值解與解析解良好吻合，當孔隙率為0.10、0.20、0.30、0.40和0.50時，兩者之間的誤差分別為6.70%、1.17%、2.12%、3.36%和7.03%，其平均值為4.37%。因此，文中方法的有效性得到初步證實。

3 結(jié) 論

a.基于Moulinec和Suquet所提出的快速傅里葉變換法，討論了多孔材料彈性模量計算，通過與文獻中的解析解比較，初步證實了該數(shù)值方法的有效性。

b.定量評價了孔隙個數(shù)和像素點個數(shù)對計算結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)多孔材料越均勻、像素點個數(shù)越多，數(shù)值解越精確。

［1］ 劉培生.多孔材料引論［M］.北京：清華大學出版社，2004.

［2］ Torquato S.Random Heterogenerous Materials：Microstructure and Macroscopic Properties［M］.New York：Springerverlag，2001.

［3］ Gibson L J，Ashby M F.Cellular Solids：Structure and Properties［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1997.

［4］ Roberts A P，Garboczi E J.Elastic moduli of model random three－dimensional closed－cell cellular solids［J］.Acta materialia，2001，49（2）：189－197.

［5］ Bardenhagena S G，Brydona A D，Guilkey J E.Insight into the physics of foam densification via numerical simulation［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2005，53（3）：597－617.

［6］ Moulinec H，Suquet P.A Numerical Method for Computing the Overall Response of Nonlinear Composites with Complex Microstructure［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1998，157（1－2）：69－94.

［7］ 鞠 楊，楊永明，宋振鐸，等.巖石孔隙結(jié)構的統(tǒng)計模型［J］.中國科學E輯，2008，38（7）：1026－1041.

［8］ Zheng Q S，Hwang K C.Two－dimensional Elastic Compliances of Materials with Holes and Microcracks［J］.Proceedings of the Royal Society of London，1997，453（1957）：353－364.

［9］ Hu N，Wang B，Tan G W，et al.Effective Elastic Properties of 2－D Solids with Circular Holes：Numerical Simulations［J］.Composites Science and Technology，2000，60（9）：1811－1823.