鄒慶云, 周啟元, 劉麗芳

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地方性院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽的探討

鄒慶云*, 周啟元, 劉麗芳

(湖南文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)與競賽, 能夠培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì), 特別是創(chuàng)新能力. 基于此, 系統(tǒng)地闡述了數(shù)學(xué)建模課程的現(xiàn)狀, 以及當(dāng)前地方性院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽中存在的一些問題, 總結(jié)了湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)建模課程培訓(xùn)的經(jīng)驗(yàn), 針對性地提出了一些具體的改進(jìn)措施.

課程設(shè)計;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)軟件;數(shù)學(xué)建模

1 數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)狀

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年, 1994年該項(xiàng)賽事被正式列為國內(nèi)大學(xué)生4大賽事之一[1]. 在這短短的二十年時間里, 我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的隊(duì)伍不斷發(fā)展壯大, 2013年來自1 326所高校的23 000多個隊(duì), 約7萬名學(xué)生參加比賽. 數(shù)學(xué)建模被廣泛應(yīng)用于許多不同的科學(xué)技術(shù)學(xué)科和社會背景, 數(shù)學(xué)建模競賽試題與我們的生活息息相關(guān), 如中國的人口增長預(yù)測(2007), 學(xué)生宿舍的設(shè)計評價(2010)和分析城市表層土壤中重金屬的污染; 設(shè)置交通巡邏警察服務(wù)平臺調(diào)度; 企業(yè)退休人員養(yǎng)老金政策革命(2011), 葡萄酒的評價(2012)和碎紙片的拼接復(fù)原(2013)等. 如果我們給了一個合理有效的解決方案[2], 這將產(chǎn)生巨大的社會效益和經(jīng)濟(jì)效益. 在這項(xiàng)賽事的推動下, 關(guān)于數(shù)學(xué)建模的課程建設(shè)的成果和教學(xué)方法的探討不斷涌現(xiàn), 以及數(shù)學(xué)建模教學(xué)的教學(xué)參考書也越來越多, 從國外到國內(nèi), 有成百上千種[3]. 在李大潛院士的提倡下, 很多教學(xué)工作者正探索在微積分、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)模型的思想[4—6]. 當(dāng)今高等教育正發(fā)生著重大變革, 即從重視知識的傳授、智力的培養(yǎng)向重視能力、情感的培養(yǎng)轉(zhuǎn)變; 從以學(xué)習(xí)知識為主的“知識目標(biāo)觀”向以學(xué)習(xí)方法為主的“能力目標(biāo)觀”轉(zhuǎn)變; 從“培養(yǎng)知識型人才觀”向“培養(yǎng)創(chuàng)新型人才觀”為主的教育目標(biāo)轉(zhuǎn)變; 樹立以學(xué)生為教學(xué)主體, 以教師為主導(dǎo)的科學(xué)教育理念. 同樣, 高校數(shù)學(xué)教育也亟待從知識的獲取模式轉(zhuǎn)向創(chuàng)新能力、應(yīng)用能力以及綜合素質(zhì)的培養(yǎng)模式, 從“被動傳輸式”的模式向著“主動建構(gòu)式”的模式轉(zhuǎn)變. 數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)與改革是高等教育改革的一個很好的切入點(diǎn), 近年來國內(nèi)高校做了不少探索.

2 數(shù)學(xué)建模課程的特點(diǎn)以及當(dāng)前存在的主要問題

2.1 數(shù)學(xué)建模課程的特點(diǎn)和功能

數(shù)學(xué)建模是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號和語言分析和表述實(shí)際問題的內(nèi)在規(guī)律, 通過運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和計算機(jī)技術(shù), 建立和解決數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)思考方法. 該課程不僅注重學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識(特別是數(shù)值計算、優(yōu)化和統(tǒng)計), 更注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力. 數(shù)學(xué)建模為在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識間搭建起一座橋梁. 因此, 數(shù)學(xué)建模走的是“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”這一路徑, 從實(shí)踐中尋找問題, 以理論方法解決問題, 再回到實(shí)踐中檢驗(yàn)問題并給出問題的具體解決方案. 數(shù)學(xué)建?？梢陨孀闫髽I(yè)管理、市場分類、經(jīng)濟(jì)計量學(xué)、金融證券、數(shù)據(jù)挖掘與分析預(yù)測、物流管理、供應(yīng)鏈、信息系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、軟件制作等領(lǐng)域. 學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)建模競賽能夠在以下方面得到培養(yǎng)和提高:(a)有助于學(xué)生創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高; (b)有助于提高學(xué)生查閱資料的能力, 以及了解和掌握新知識的能力; (c)有助于培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神; (d)有助于提高計算機(jī)應(yīng)用能力和科技論文寫作的能力等.

2.2 地方性院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競賽過程中存在的主要問題

數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)有以下2個目標(biāo): 一是大力加強(qiáng)教學(xué)改革, 使其能更好發(fā)揮以上作用. 二是鼓勵和組織學(xué)生積極參加數(shù)學(xué)建模競賽, 力爭在比賽中取得好的成績, 為學(xué)校爭得榮譽(yù). 但是, 近年來地方性院校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和競賽還存在以下一些問題: ① 傳統(tǒng)教學(xué)理論和教學(xué)方式不太適應(yīng)數(shù)學(xué)建模課程. 當(dāng)今社會所需要高質(zhì)量的人才不僅具備邏輯思維能力、推理和演算能力, 更應(yīng)該具備定量分析的能力和創(chuàng)新能力等. 中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過于重視理論而忽視數(shù)學(xué)技術(shù)在社會生活和實(shí)踐中的應(yīng)用, 較為單一的傳輸式課堂教學(xué)嚴(yán)重影響學(xué)生創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng), 讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣和主動性. ②教學(xué)實(shí)施和教學(xué)管理有待加強(qiáng). 某些高校過早開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程會使教學(xué)難以順利進(jìn)行. 部分高校領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為數(shù)學(xué)建模只是一門選修課, 缺乏對數(shù)學(xué)應(yīng)用的重視, 缺乏規(guī)范的制度建設(shè), 所以在數(shù)學(xué)建模隊(duì)員的選拔、培訓(xùn)和加強(qiáng)對學(xué)生社團(tuán)組織建設(shè)等方面做得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠. 另外, 少數(shù)學(xué)校在數(shù)學(xué)建模競賽中功利意識太強(qiáng).

3 數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的改進(jìn)方法與具體的措施

在過去的2年中, 我們4次獲得全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽國家級二等獎. 2013年, 共獲得3個國家級二等獎、2個省級一等獎、2個省級二等獎、7個省級三等獎; 教學(xué)團(tuán)隊(duì)主持2項(xiàng)省級教改項(xiàng)目, 多次獲得教學(xué)研究成果獎; 參加數(shù)模的學(xué)生獲得3項(xiàng)省大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目; 理工科學(xué)生考研比例逐年穩(wěn)步提高, 就業(yè)的學(xué)生在工作崗位上能夠很好的展示自己的特長. 針對目前數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)存在的主要問題, 根據(jù)地方性學(xué)院條件的局限性, 結(jié)合湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn), 我們提出一些改進(jìn)措施:

一是充分調(diào)動學(xué)生的積極性, 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 地方性院校大學(xué)生的特點(diǎn): 思維活躍, 動手能力強(qiáng); 理論基礎(chǔ)相對薄弱, 高中基礎(chǔ)知識系統(tǒng)性較差, 對于抽象的理論講授方式較為排斥, 課堂學(xué)習(xí)效率低下. 初次接觸數(shù)學(xué)建模, 很多學(xué)生被抽象的理論和復(fù)雜的程序所嚇退. 所以, 我們采取了以下推廣工作: (1)組建數(shù)學(xué)建模協(xié)會、開辦數(shù)模網(wǎng)站, 通過學(xué)生社團(tuán)組織活動. 由那些愛好數(shù)學(xué)建模, 特別是在大賽中取得好成績的學(xué)生發(fā)動, 招募大量會員, 并在網(wǎng)上介紹一些數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)知識和基本模型、算法和計算軟件的使用, 帶動大家積極參與其中. (2)通過各種宣傳渠道和優(yōu)惠的政策來吸引各個院系學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模. 教務(wù)處制定具體的獎勵細(xì)則鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模, 如獎學(xué)金評定的傾斜、優(yōu)先推薦免試研究生等. (3)進(jìn)行多場學(xué)術(shù)報告. 我們通過數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)中老師或者聘請外校數(shù)學(xué)建模專家給學(xué)生作報告, 聯(lián)系社會熱點(diǎn)問題[7]或者具體的生活問題(如學(xué)生宿舍的設(shè)計、SARS 傳播、葡萄酒評價), 使學(xué)生有興趣加入討論, 讓他們覺得數(shù)學(xué)建模不只是數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí), 還是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用.

二是進(jìn)行科學(xué)、合理的數(shù)學(xué)建模教學(xué). 數(shù)學(xué)建模所覆蓋的知識范圍很廣泛, 對數(shù)學(xué)方法和計算機(jī)技能要求很高, 這不僅對學(xué)生是一種挑戰(zhàn), 而且對教師也是一種挑戰(zhàn). 現(xiàn)在, 部分教師的知識體系沒有大的拓展, 如教函數(shù)論對概率統(tǒng)計方向不太了解, 教線性代數(shù)對計算機(jī)技術(shù)不太了解, 缺乏具有較強(qiáng)的綜合業(yè)務(wù)素質(zhì)的教師. 因此, 我們把數(shù)學(xué)建模所需要的內(nèi)容分為以下單元: (ⅰ)優(yōu)化理論(包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃等); (ⅱ)微分方程和差分方程; (ⅲ)圖論; (ⅳ)概率論與數(shù)理統(tǒng)計及數(shù)據(jù)處理; (ⅴ)簡單的隨機(jī)過程、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等知識體系;(vi)軟件介紹及計算機(jī)模擬. 我們精心組織教學(xué)內(nèi)容, 選擇案例. 數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊(duì)采用“分工合作”的方式進(jìn)行教學(xué): 指導(dǎo)教師根據(jù)各自的專長進(jìn)行單元知識教學(xué), 在數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)時集體備課、討論, 互相合作. 當(dāng)然, 教師知識體系局限于某一個方向, 不利于數(shù)學(xué)建模教學(xué)工作的開展, 數(shù)學(xué)建模課程需要教師具有綜合素質(zhì), 只有不斷學(xué)習(xí), 不斷更新知識和提高自己的創(chuàng)新能力, 才能更好地組織和開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競賽培訓(xùn). 我們把數(shù)學(xué)建模教學(xué)分成2個階段: 第一階段使學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模, 了解它在生活中有怎樣的廣泛應(yīng)用. 這一階段適合于新招募的學(xué)生或低年級的學(xué)生. 我們通過開設(shè)數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)課, 系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)建模的方法和步驟, 使學(xué)生初步形成一定的數(shù)學(xué)建模能力, 能模仿建立一些簡單的數(shù)學(xué)模型. 我們還會與主講高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析、概率論等課程的老師研討, 如何將數(shù)學(xué)建模的思想更好地融入到上述課程的教學(xué)中, 例如微積分及其應(yīng)用學(xué)習(xí)時可以介紹 Logistic 人口模型; 級數(shù)學(xué)習(xí)時可以介紹服藥問題; 條件極值學(xué)習(xí)時可以介紹最優(yōu)價格模型. 第二階段通過專題講座和針對性的建模訓(xùn)練, 使學(xué)生具有實(shí)際問題的洞察力、理解力和抽象能力, 通過采集、整理、分析判斷數(shù)據(jù)和信息, 發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系, 建立數(shù)學(xué)模型, 利用計算機(jī)對所建模型設(shè)計算法、編制程序、上機(jī)計算, 對結(jié)果進(jìn)行分析處理, 以及檢驗(yàn)和評價, 從而解決實(shí)際問題, 最終寫成一篇科技論文.

三是認(rèn)真組織數(shù)學(xué)建模競賽的培訓(xùn). 我們有一個數(shù)學(xué)建模的教學(xué)研究團(tuán)隊(duì), 大家一起備課, 一起討論. 我們采取分工合作的原則, 就是根據(jù)自己的特長分節(jié)開展, 彌補(bǔ)了僅靠一人之力難以承擔(dān)如此知識廣泛、計算復(fù)雜的課程教學(xué). 數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)過程中, 我們重點(diǎn)把握以下幾個方面: (1)加強(qiáng)學(xué)生編程能力和數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力訓(xùn)練. 數(shù)學(xué)建模常用的軟件是Matlab、Lindo、Spss等. 我們采取以下措施來強(qiáng)化學(xué)生編程能力和數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用能力: (i)精心設(shè)計一些簡單、常見的問題要求學(xué)生編寫一些小程序, 并且在建模群發(fā)布和表揚(yáng)做得好的同學(xué), 他們今后將擔(dān)任組長, 有挑選隊(duì)員的權(quán)利; 我們還要求學(xué)生搜集數(shù)學(xué)建模幾大經(jīng)典算法的程序?qū)崿F(xiàn), 并和學(xué)生一起研究, 作出一定的改進(jìn); (ii)請相關(guān)的專家、老師在具體的應(yīng)用背景下針對性地作報告, 提高學(xué)生的理論水平, 開拓他們的視野. 我們還經(jīng)常與參加計算機(jī)程序設(shè)計大賽的師生合作, 共同解決一些問題, 提高學(xué)生編程能力. 通過觀察、分析, 我們得出這樣一個結(jié)論: 近年來獲得好的成績的團(tuán)隊(duì)不全是數(shù)學(xué)專業(yè)的團(tuán)隊(duì), 編程計算能力強(qiáng)的學(xué)生一般能在競賽中取得好成績. (2)熟悉論文的寫作技巧. 學(xué)生的結(jié)果最終是以科技論文的形式提交的, 因此, 競賽成績的好與差與論文書寫質(zhì)量有直接的關(guān)系. 例如, 2013年的B題——碎紙片的拼接復(fù)原, 因?yàn)楹芏嘟M隊(duì)員花費(fèi)了大量時間編寫、調(diào)試程序而沒有太多時間來書寫、修改論文, 所以論文書寫質(zhì)量不高, 雖然運(yùn)行結(jié)果很漂亮, 最終還是沒有獲得好的獎項(xiàng). 在平時的訓(xùn)練中, 我們一個老師具體負(fù)責(zé)幾個組, 學(xué)生論文提交后, 老師給出修改意見, 再由學(xué)生修改提交, 再修改……在這反復(fù)的過程中, 學(xué)生漸漸地掌握了科技論文寫作的基本格式, 提高了語言表達(dá)的準(zhǔn)確性, 做到了重點(diǎn)突出、結(jié)構(gòu)合理等. (3)經(jīng)典案例的講解及相應(yīng)算法的實(shí)現(xiàn). 對參加培訓(xùn)的學(xué)生來說,他們已具有一定的數(shù)學(xué)建模的能力, 但要建成一個好的數(shù)學(xué)模型并非易事. 教師通過經(jīng)典案例的講解, 讓學(xué)生從各個方面了解建模的過程和應(yīng)考慮的問題, 并通過算法的實(shí)現(xiàn), 提高他們軟件的應(yīng)用能力. (4)認(rèn)真組隊(duì), 實(shí)戰(zhàn)強(qiáng)化訓(xùn)練. 老師根據(jù)每個學(xué)生的特長, 首先采取“自愿”原則, 增強(qiáng)他們的信任感和團(tuán)隊(duì)精神, 再采取“優(yōu)勢互補(bǔ)”的原則進(jìn)行調(diào)節(jié), 使得他們在競賽中相互取長補(bǔ)短, 每個人都發(fā)揮出最大的力量, 更好地解決問題. 暑假的培訓(xùn)中, 我們組織4次模擬競賽, 每隊(duì)學(xué)生分工合作, 按要求完成模型的建立、求解、驗(yàn)證和改進(jìn), 并提交論文. 教師詳細(xì)講解模型, 總結(jié)學(xué)生解決問題的亮點(diǎn)與不足, 以及論文書寫的問題. (5)充分利用現(xiàn)代化的網(wǎng)絡(luò)技術(shù), 建立開放式數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)平臺. 我們申報了數(shù)模精品課程, 實(shí)現(xiàn)了教學(xué)資源網(wǎng)絡(luò)化, 為學(xué)生提供了良好的自主學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)平臺, 實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合. 我們制作趣味性強(qiáng), 高互動性的網(wǎng)絡(luò)課件, 把數(shù)模內(nèi)容分成小的實(shí)踐部分, 讓學(xué)生自由選擇他們感興趣的題目. 學(xué)生通過虛擬數(shù)學(xué)建模競賽, 使得來自不同學(xué)院和不同學(xué)科的學(xué)生互相學(xué)習(xí), 促進(jìn)學(xué)科間的組合, 擴(kuò)大學(xué)生受益面. 我們還建立了數(shù)學(xué)建模QQ群和博客等, 加強(qiáng)了教師與學(xué)生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的密切聯(lián)系. 我們將數(shù)學(xué)建模擴(kuò)展到大學(xué)生教育與創(chuàng)新活動中, 建設(shè)數(shù)模基地, 為構(gòu)建數(shù)學(xué)建模教育創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式提供了平臺, 推動和促進(jìn)了大學(xué)生課外科技活動的開展, 培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神, 使數(shù)學(xué)建模文化成為校園文化的亮點(diǎn).

數(shù)學(xué)建模教學(xué)還需要教師更新教育教學(xué)觀念, 轉(zhuǎn)變教學(xué)過程中的角色. 我們把握學(xué)生是主體, 教師是主導(dǎo), 搞好研討是關(guān)鍵, 多次采用討論班學(xué)習(xí)方式, 學(xué)生自己報告、討論、辯論, 教師主要起質(zhì)疑、答疑、輔導(dǎo)的作用. 在培訓(xùn)過程中, 貫徹將數(shù)學(xué)建模的思想融入到基礎(chǔ)主干課程中去的教學(xué)思路, 以“案例啟動—任務(wù)驅(qū)動—試驗(yàn)推動—學(xué)生手動”的課堂教學(xué)方式, 通過提出問題、數(shù)學(xué)建模、模型求解、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用、論文寫作、成果整理與發(fā)表、數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用和開發(fā)等環(huán)節(jié), 改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式, 從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的主動性、應(yīng)用知識的創(chuàng)造性, 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 另外, 學(xué)校大力的政策和經(jīng)濟(jì)支持, 數(shù)模教師團(tuán)隊(duì)經(jīng)常對外交流、學(xué)習(xí)、訪問, 把握最新的動態(tài), 提高自身的素質(zhì), 是十分必要的. 通過數(shù)學(xué)建模課程改革, 我們力爭以案例式、模塊化的課堂教學(xué)和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件實(shí)驗(yàn)課程為平臺, 以完善充實(shí)的數(shù)學(xué)建模網(wǎng)站資料為輔助學(xué)習(xí)工具, 以賽前培訓(xùn)課程為強(qiáng)化工具, 以數(shù)學(xué)建模競賽為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn), 創(chuàng)建一個能夠切實(shí)提高學(xué)生創(chuàng)新與實(shí)踐能力的數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽的體系.

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)與競賽的目的是重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和創(chuàng)新精神等. 我們分析了當(dāng)前地方性院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)出現(xiàn)的問題, 總結(jié)了湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)建模課程的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn). 我們試圖整合數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)軟件、數(shù)值分析、優(yōu)化和統(tǒng)計為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程, 但現(xiàn)在實(shí)施起來比較困難, 這是今后數(shù)學(xué)建模課程改革需要不斷探索、改進(jìn)的地方.

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[6] 孔淑霞. 滲透數(shù)學(xué)建模思想, 培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力[J]. 高師理科學(xué)刊, 2012 (12): 83—85.

[7] 姜啟源, 謝金星, 葉俊. 數(shù)學(xué)模型[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社, 2003.

An exploration into the teaching and contest of mathematical modeling course at local colleges

ZOU Qing-yun,ZHOU Qi-yuan,LIU Li-fang

(Department of Mathematics, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The education and contest of mathematical modeling are considered to be one of the effective means for improving college students’ qualities, and one of the cut-in points for the teaching reform in college mathematics. We concentrate on the problem in traditional mathematical modeling course and share our experiences in teaching and training of the course at Hunan University of Arts and Science. Moreover, we state several suggestions on the teaching and contest of mathematical modeling course.

curriculum design; mathematical experiments; mathematical software; mathematical modeling.

10.3969/j.issn.1672-6146.2013.04.018

O 141.4; G 64

1672-6146(2013)04-0074-04

email:qyzou2000@sina.com.

2013-11-30

湖南省普通高校教學(xué)改革項(xiàng)目([2012],142; [2013], 351), 湖南文理學(xué)院教改項(xiàng)目資助(JGZD1210, JGZD1304, JGYB1312)

(責(zé)任編校:譚長貴)