游永興

（湖北警官學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)部，湖北 武漢430034)）

當(dāng)前數(shù)學(xué)教育①數(shù)學(xué)教育包括廣義數(shù)學(xué)教育和狹義數(shù)學(xué)教育：狹義數(shù)學(xué)教育指數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)，而廣義數(shù)學(xué)教育則指所有對學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)過程。本文主要針對狹義數(shù)學(xué)教育而言。強(qiáng)調(diào)“四基”：即在原來培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能“兩基”的基礎(chǔ)上，增加培養(yǎng)學(xué)生的基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)。在這種理念的影響下，相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究改革也隨之發(fā)生了變化。Sfard A強(qiáng)調(diào)：“就研究工作而言，僅僅在一些年前仍然充滿著居高臨下這樣一種基調(diào)，但現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)生了根本性的變化……，強(qiáng)調(diào)支持教師與學(xué)習(xí)者發(fā)展自己的能力，而不是力圖去改變他們。”[1]在培養(yǎng)學(xué)生的基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)方面，HPM②1972年，第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations betweenHistoryandPedagogyofMathematics），標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的出現(xiàn)。通常把該研究領(lǐng)域和該組織在不引起混淆的情況下都簡稱為HPM。帶來了新的思路。公安院校數(shù)學(xué)教育作為數(shù)學(xué)教育的分支，引入HPM可以有效解決其所面臨的一些問題。

一、HPM解讀

19世紀(jì)末至20世紀(jì)70年代，歐美眾多著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家都提倡在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接或間接地利用數(shù)學(xué)史。1972年，第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（HPM）。HPM關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始文本在教學(xué)中的應(yīng)用等[2]。

HPM研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系，是數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史研究，其主要目的之一是為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供支持[3]。HPM致力于對數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育以及兩者的結(jié)合進(jìn)行研究，著眼于將數(shù)學(xué)史引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，改變數(shù)學(xué)教育以知識和理論講解為主的傳統(tǒng)，扭轉(zhuǎn)重理論輕思想、重知識輕文化的教育教學(xué)習(xí)慣，提升學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高學(xué)生的文化素質(zhì)，將對學(xué)生的教育從應(yīng)試教育逐漸轉(zhuǎn)變到素質(zhì)教育。

目前國內(nèi)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本上根據(jù)知識的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行，忽視了歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，表現(xiàn)為教材的前后順序與歷史上的發(fā)展順序完全相左。HPM 可以彌補(bǔ)這一點(diǎn)。它通過展現(xiàn)歷史真正的思維過程和活動過程，讓學(xué)生理解其出現(xiàn)和發(fā)展的思路，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識。它經(jīng)過了通過將數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育緊密結(jié)合起來，展現(xiàn)數(shù)學(xué)經(jīng)過歸納和類比；通過合情推理模式得出基礎(chǔ)不很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)；然后通過許多數(shù)學(xué)家的連續(xù)工作將其不斷完善、夯實(shí)基礎(chǔ)的歷史進(jìn)程。這也有助于培養(yǎng)學(xué)生的歷史唯物主義觀點(diǎn)：推動科學(xué)理論發(fā)展的是社會的發(fā)展和對自然不斷深化的認(rèn)識，它和一定的歷史階段緊密相關(guān)。

二、公安院校數(shù)學(xué)教育面臨的困惑及HPM帶來的啟示

公安院校作為培養(yǎng)公安高級復(fù)合應(yīng)用型人才的機(jī)構(gòu)，不可避免地需要培養(yǎng)學(xué)生一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者曾對公安院校數(shù)學(xué)教育改革進(jìn)行了探討。[4]公安院校數(shù)學(xué)教育在新的歷史時(shí)期至少面臨著三個(gè)方面的挑戰(zhàn)：一是海量的信息對數(shù)學(xué)教育的影響。公安院校作為高等院校，在如今的信息時(shí)代與其它高校一樣面臨著在校講授知識和校外應(yīng)用知識的不同步。二是公安院校擁有自己的培養(yǎng)目標(biāo)和管理模式，如何改革數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容和方法，更好地契合公安院校教育體系，對于公安數(shù)學(xué)教育者是不可回避的。三是基礎(chǔ)課程的第三個(gè)目標(biāo)是培養(yǎng)態(tài)度情感與價(jià)值觀，如何在教學(xué)過程中培養(yǎng)忠誠于黨，忠誠于人民的預(yù)備警官的態(tài)度情感和價(jià)值觀也是值得思考的問題。

HPM 對于公安院校數(shù)學(xué)教育面臨的三個(gè)問題可以有不同程度的解決：（1）引入HPM后更加注重?cái)?shù)學(xué)思想和價(jià)值觀培養(yǎng)，對學(xué)生終生都可以起到作用；（2）HPM可以更好更明確地培養(yǎng)學(xué)生的思維，提升學(xué)生的方法論水平，更好地促成公安院校的培養(yǎng)目標(biāo)；（3）通過在教學(xué)過程中穿插數(shù)學(xué)史教育，可以培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的意識品質(zhì)，包括忠誠與奉獻(xiàn)精神。

三、HPM在公安院校數(shù)學(xué)教育中的一個(gè)設(shè)計(jì)

在講數(shù)的理論時(shí)，要講到數(shù)系的擴(kuò)展，從有理數(shù)擴(kuò)展到無理數(shù)是一個(gè)歷史的進(jìn)步。其中無理數(shù)是不可能用分?jǐn)?shù)來表示的，證明過程如下：

于是2是p2的因子，從而也是p的因子，從而4是p2的因子。

于是4是2q2的因子，從而2是q2的因子，從而2是q的因子。

由于p和q互素，這是一個(gè)矛盾，從而假設(shè)是錯誤的。

講到這個(gè)地方，可以很自然地把希伯維斯悖論和第一次數(shù)學(xué)危機(jī)介紹給學(xué)生。希伯維斯悖論的提出與畢達(dá)哥拉斯定理（國內(nèi)稱為勾股定理）的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。相傳畢達(dá)哥拉斯完成其證明后殺百牛來慶祝，所以有人又稱其為“百牛定理”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？我們知道這個(gè)數(shù)是，根據(jù)上面的證明，這既不是分?jǐn)?shù)更不是整數(shù)。這與畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”的數(shù)學(xué)信仰是矛盾的。富有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。后來的故事出了幾個(gè)版本，但結(jié)局都是一樣的，希伯維斯為之付出了生命的代價(jià)。

通過這個(gè)教學(xué)過程，可以起到以下作用：

（一）提升學(xué)生對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識，進(jìn)而引出公理化的處理方式。這一悖論出來200年后，才華橫溢的歐多索克斯建立了比例論，暫時(shí)回避了這個(gè)問題。19世紀(jì)下半葉，實(shí)數(shù)理論建立之后，隨著分劃說、序列說等對于實(shí)數(shù)意義解釋的出現(xiàn)造成的危機(jī)才得以真正解決。在這個(gè)歷史進(jìn)程中，對于“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的研究也就不可回避，之后公理化的出現(xiàn)成為一種必然，現(xiàn)在公理化已成為包括數(shù)學(xué)在內(nèi)科學(xué)理論研究的基礎(chǔ)方法。

公理化的思考方式可以避免先入為主的思維模式。公安機(jī)關(guān)面臨形式多樣的犯罪活動，如果能夠堅(jiān)持公理化的思考，嚴(yán)格按照邏輯進(jìn)行推理，綜合使用案例分析、調(diào)查、科學(xué)實(shí)驗(yàn)和比較等多種方法，能夠更好地維護(hù)人民群眾的利益。同時(shí)，在案件陷入僵局的時(shí)候，能夠及時(shí)思考作為“公理”使用的假設(shè)是否有誤，則有可能出現(xiàn)柳暗花明又一村的結(jié)果。

（二）培養(yǎng)學(xué)生基本的人文素養(yǎng)，尤其是哲學(xué)素養(yǎng)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將“萬物皆數(shù)”作為該學(xué)派的哲學(xué)基石，而“數(shù)”皆為最小單位的倍數(shù)，至多有分?jǐn)?shù)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)嚴(yán)重影響到其哲學(xué)基石，這也告訴學(xué)生，哲學(xué)是研究最基本問題的，包括對世界、對思維、對方法的認(rèn)識等最能影響人類進(jìn)程的問題，而西方數(shù)學(xué)的發(fā)展對哲學(xué)是有很深的影響的。正如數(shù)學(xué)家希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數(shù)學(xué)這個(gè)號稱可靠性和真理性的模范里，每一個(gè)人所學(xué)的、教的和應(yīng)用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會導(dǎo)致不合理的結(jié)果。如果甚至于數(shù)學(xué)思考也失靈的話，那么應(yīng)該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”培養(yǎng)具有深厚人文素養(yǎng)的預(yù)備警官是公安院校不可或缺的歷史使命，而通過各種課程包括數(shù)學(xué)等來進(jìn)行潛移默化的教育，比單純的說教效果會更明顯。

（三）培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理的意識品質(zhì)。從畢達(dá)哥拉斯和希伯索斯的行為可以看出，雙方為了堅(jiān)持自己的“真理”都付出了巨大的代價(jià)。對于公安院校而言，忠誠是教育的最重要目標(biāo)，通過教學(xué)過程也可以告訴學(xué)生，忠誠于黨、忠誠于人民是預(yù)備警官必備的品質(zhì)，是歷史賦予我們的責(zé)任。

[1]Sfard A.What Can Be More Practice Than Good Research on the Relations between Research and Practice of Mathematics Educationl Studies inMathematics[J].Educational Studies inMathematics,2005(3):393-413.

[2]汪曉勤,張曉明.HPM研究的內(nèi)容與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2006(1):20-22.

[3]蒲淑萍.尋找歷史與教學(xué)的最佳融合——國際HPM2012會議及其研究分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013(1):89-92.

[4]游永興.關(guān)于公安院校大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一些思考[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)(人文社會科學(xué)版),2010(4):174-175.