鞏 強(qiáng)，陳佳林，王 旻，李 睿，張 軍，李相平

（1.海軍駐成都地區(qū)軍事代表室，成都610036；2.海軍航空工程學(xué)院a.電子信息工程系；b.兵器科學(xué)與技術(shù)系，山東煙臺(tái)264001）

矩量法（Method of Moments，MoM）作為一種精確的積分類數(shù)值方法，具有嚴(yán)格的理論模型，格林函數(shù)的引入使其積分方程自動(dòng)滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處的輻射邊界條件，能精確模擬電磁波傳播的索末菲輻射條件，非常適合求解開域問(wèn)題，如電磁輻射和散射問(wèn)題[1-6]。

對(duì)于金屬目標(biāo)的電磁散射問(wèn)題，表面積分方程的建立可以采用電場(chǎng)積分方程（Electric Field Integral Equation，EFIE）[7]、磁場(chǎng)積分方程（Magnetic Field Integral Equation，MFIE）或混合場(chǎng)積分方程（Combined Field Integral Equation，CFIE）[8]。EFIE可用于閉合金屬面問(wèn)題，亦可用于開放金屬面問(wèn)題，相對(duì)于MFIE和CFIE，其離散后的系數(shù)矩陣條件數(shù)最大，迭代求解時(shí)收斂速度最慢。MFIE只能用于閉合金屬面問(wèn)題的分析，其系數(shù)矩陣條件數(shù)小于EFIE，但大于CFIE。CFIE是EFIE和MFIE的線性組合，由于其中包含了MFIE，故只能用于閉合金屬面問(wèn)題的分析，其系數(shù)矩陣的條件數(shù)最小，迭代求解時(shí)收斂速度最快。

然而，在實(shí)際的目標(biāo)環(huán)境電磁仿真模型中，出現(xiàn)了大量的復(fù)合結(jié)構(gòu)，比如，導(dǎo)彈中的彈體和彈翼、目標(biāo)與粗糙面復(fù)合散射問(wèn)題中的三維閉合目標(biāo)和二維粗糙面等，這類結(jié)構(gòu)模型由部分開放表面和部分閉合表面組成，作為一個(gè)整體，該結(jié)構(gòu)仍然是開放結(jié)構(gòu)，這不可避免地只能在目標(biāo)表面建立EFIE。采用EFIE所形成矩陣方程的系數(shù)矩陣條件數(shù)較大，迭代求解時(shí)收斂效率低，引入各種快速算法固然可以有效地提高求解效率，諸如快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）技術(shù)、多層快速多級(jí)子方法（Multilevel Fast Multipole Algorithm，MLFMA）[9-10]等，但對(duì)于電尺寸較大的目標(biāo)而言，仍然會(huì)面臨收斂效率低，甚至不收斂的問(wèn)題。而CFIE 只能用于分析閉合結(jié)構(gòu)，故不能直接在該復(fù)合目標(biāo)表面建立CFIE，其優(yōu)勢(shì)很難在這種復(fù)合結(jié)構(gòu)上發(fā)揮作用。

本文針對(duì)復(fù)合開放閉合結(jié)構(gòu)的電磁散射問(wèn)題，通過(guò)修改CFIE的建立方式，將CFIE 擴(kuò)展應(yīng)用到了開放結(jié)構(gòu)，大大提高了迭代效率。

1 理論推導(dǎo)

對(duì)于金屬導(dǎo)體表面，EFIE 和MFIE的矩量法求解所形成的矩陣方程組可表示為：

式（1）中：

右邊向量的表達(dá)形式如下：

式（1）～（5）中：k0和η0分別表示自由空間的波數(shù)和波阻抗表示自由空間的格林函數(shù)；r和r′分別表示場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的位置表示目標(biāo)表面的單位切向量是入射電場(chǎng)是入射磁場(chǎng)；Zmn是阻抗矩陣；In是需要求解的未知系數(shù)；Vm是包含入射波信息的激勵(lì)向量。

CFIE是EFIE和MFIE的線性組合，矩陣方程的系數(shù)矩陣為

式（6）中，α和(1-α)分別表示EFIE 和MFIE 在CFIE 中的權(quán)重。對(duì)于傳統(tǒng)的CFIE，α取一個(gè)常數(shù)，且0＜α＜1，只能用于閉合結(jié)構(gòu)電磁散射問(wèn)題的求解，這種設(shè)置α的方式嚴(yán)重限制了CFIE的應(yīng)用范圍。

對(duì)于復(fù)合開放閉合結(jié)構(gòu)，本文的主要思想是將α設(shè)置為一個(gè)靈活的變量αm、αm仍然滿足0＜αm＜1。這樣，對(duì)于不同的測(cè)試函數(shù)可以選擇不同的線性組合。修改后的CFIE的建立方式可以用式（7）表示，

對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)中閉合區(qū)域上的測(cè)試函數(shù)，取αm≠0，使用CFIE，其中不同的m值對(duì)應(yīng)的αm可不同，對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)中開放區(qū)域上的測(cè)試函數(shù)，取αm=1，使用EFIE，便把CFIE引入到開放結(jié)構(gòu)問(wèn)題的求解。將α設(shè)為αm，使EFIE 和MFIE 在CFIE 中的權(quán)重是可靈活變化的，這樣可以有效地改善矩陣性態(tài)，提高迭代求解效率。

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證該算法的有效性，本文分析了3種復(fù)合結(jié)構(gòu)的電磁散射問(wèn)題。目標(biāo)表面采用三角形進(jìn)行離散，基函數(shù)選擇RWG 基函數(shù)并采用Galerkin’s 測(cè)試，所形成矩陣方程的迭代求解采用一般最小余量法（Generalized Minimal Residual，GMRES），并引入多層快速多級(jí)子方法（Multilevel Fast Multipole Algorithm，MLFMA）來(lái)加速矩陣矢量乘。

算例1：球體和矩形平面復(fù)合結(jié)構(gòu)，剖面圖如圖1所示。球體半徑為2 m，矩形平面長(zhǎng)和寬皆為1 m，球體和平面的距離為3 m，離散后閉合區(qū)域和開放區(qū)域的RWG單元個(gè)數(shù)分別為15 921和313，入射平面波頻率f=300 MHz，入射方向?yàn)棣?0、φ=0。仿真的雷達(dá)散射面積（RCS）結(jié)果如圖2所示。

圖1 三維復(fù)合結(jié)構(gòu)的剖面圖

圖2 球體和矩形平面復(fù)合結(jié)構(gòu)仿真RCS結(jié)果

迭代步數(shù)和迭代時(shí)間在表1中列出。

表1 迭代步數(shù)和迭代時(shí)間比較

由圖2所示的仿真結(jié)果可看出，本文提出的方法與傳統(tǒng)的EFIE方法的計(jì)算結(jié)果吻合，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。從表1可看出，該方法有效地提高了求解效率。

算例2：人造衛(wèi)星結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是立方體和矩形平面的復(fù)合結(jié)構(gòu)。立方體邊長(zhǎng)為1 m，矩形平面長(zhǎng)5 m，寬0.5 m，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。離散后閉合區(qū)域和開放區(qū)域的RWG[7]單元個(gè)數(shù)分別為5 670 和4 326，入射平面波頻率f=300 MHz，入射方向?yàn)棣?0、φ=0。仿真的RCS見(jiàn)圖4，2種方法的計(jì)算結(jié)果吻合良好。

圖3 人造衛(wèi)星結(jié)構(gòu)圖

圖4 人造衛(wèi)星仿真RCS結(jié)果

由于該復(fù)合結(jié)構(gòu)開放區(qū)域較大，只在立方體表面建立了CFIE，因而矩陣方程求解的迭代步數(shù)僅從404降低到310，沒(méi)有算例1降低得顯著。

算例3：一個(gè)簡(jiǎn)易的導(dǎo)彈模型，導(dǎo)彈模型由彈體和彈翼組成，其中彈體由半球體和圓柱體組成，彈翼為2個(gè)矩形平面，半球體的半徑為0.5 m，圓柱的半徑為0.5 m，高為8 m，矩形平面的長(zhǎng)為0.5 m，寬為0.5 m，模型的離散結(jié)構(gòu)圖如圖5所示。離散后閉合區(qū)域和開放區(qū)域的RWG 單元個(gè)數(shù)分別為8 979 和154，入射平面波頻率f=300 MHz，入射方向?yàn)棣?0、φ=0。仿真的RCS結(jié)果如圖6所示，2種方法的計(jì)算結(jié)果吻合良好，迭代步數(shù)和迭代時(shí)間在表2中列出，迭代步數(shù)和迭代時(shí)間降低顯著。

圖5 導(dǎo)彈模型的離散結(jié)構(gòu)圖

圖6 簡(jiǎn)易導(dǎo)彈模型仿真RCS結(jié)果

表2 迭代步數(shù)和迭代時(shí)間比較

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)修改混合場(chǎng)積分方程的建立方式，將混合場(chǎng)積分方程引入復(fù)合開放閉合目標(biāo)電磁散射問(wèn)題的求解，拓展了混合場(chǎng)積分方程的應(yīng)用范圍，有效地改善了求解效率，特別是對(duì)于開放區(qū)域較小的結(jié)構(gòu)，效果尤其顯著，數(shù)值算例證明了該方法的精度和效率。

[1]MICHALSKI K A，ZHENG D L.Electromagnetic scattering and radiation by surfaces of arbitrary shape in layered media，part I：theory[J].IEEE Transactions Antennas and Propagate，1990，38（3）：335-344.

[2]MICHALSKI K A，ZHENG D L.Electromagnetic scattering and radiation by surfaces of arbitrary shape in layered media，part II：implementation and results for contiguous half-spaces[J].IEEE Transactions Antennas Propagate，1990，38（3）：345-352.

[3]COIFMAN R，ROKHLIN V，WANDZURA S M.The fast multipole method for the wave equation：A pedestrian prescription[J].IEEE Transactions Antennas Propagate，1993，35（3）：7-12.

[4]LU C C，CHEW W C.A multilevel algorithm for solving boundary integral equations of wave scattering[J].Microwave Optic Technology Letter，1994，7：466-470.

[5]CHEN JIALIN，LI SHANGSHENG，WANG MIN.Targets identification method based on electromagnetic scattering analysis[C]//2011 IEEE CIE International Conference on Radar.2011：1647-1651.

[6]CHEN JIALIN，LI SHANGSHENG，SONG YAPING.Analysis of electromagnetic scattering problems by means of a VSIE-ODDM-MLFMA method[J].Applied Computational Electromagnetic Society Journal，2012，27（8）：660-667.

[7]RAO S M，WILTON D R，GLISSON A W.Electromagnetic scattering by surface of arbitrary shape[J].IEEE Transactions Antennas Propagate，1982，30（3）：409-418.

[8]SONG J M，CHEW W C.Multilevel fast-multipole algorithm for solving combined field integral equation of electromagnetic scattering[J].Microwave Optic Technology Letter，1995（10）：14-19.

[9]ENGHETA N，MURPHY W D，ROKHLIN V，et al.The fast multipole method（FMM）for electromagnetic scattering problem[J].IEEE Transactions Antennas Propagate，1992，40（6）：634-641.

[10]SONG J M，LU C C，CHEW W C.Multilevel fast multipole algorithm for electromagnetic scattering by large complex objects[J].IEEE Transactions Antennas Propagate，1997，45（10）：1488-1493.