林大鈞

（華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237）

圖解工程靜力學(xué)研究

林大鈞

（華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200237）

正投影基本原理可用于求解工程靜力學(xué)問(wèn)題，主要介紹圖解空間匯交力系和任意力系的基本方法。通過(guò)實(shí)例說(shuō)明圖解基本原理的應(yīng)用，以便進(jìn)行更深入的研究。大多數(shù)工程靜力學(xué)問(wèn)題可以用代數(shù)方法或圖解方法予以解決。有些情況下，代數(shù)法較易獲解，而在許多情況下，圖解方法更加快速而經(jīng)濟(jì)，用AutoCAD 進(jìn)行圖解將更加有效。

正投影；靜力學(xué)；CAD軟件；圖解

圖解靜力學(xué)是一門(mén)歷史悠遠(yuǎn)的知識(shí)。從阿基米德利用支點(diǎn)思考平衡問(wèn)題，到達(dá)芬奇試圖用圖示方式思考力學(xué)問(wèn)題，再到荷蘭人西蒙斯蒂芬利用繩索研究力學(xué)關(guān)系。經(jīng)歷數(shù)代人的努力，德國(guó)人卡爾庫(kù)爾曼在作為 ETH-Zurich工程學(xué)院教授期間于1864年出版了Die Graphische Statik ，為圖解靜力學(xué)奠定了基礎(chǔ)，并被世界范圍廣泛認(rèn)為是圖解靜力學(xué)之父。然而，由于手工作圖精度低，因此圖解法已經(jīng)很少被實(shí)際應(yīng)用，取而代之的是代數(shù)法和矢量法，雖然精度得到了解決，但是圖解法的直觀性、簡(jiǎn)捷性卻丟失了，人的空間思維得不到充分的發(fā)揮。近年來(lái)，在工程靜力學(xué)方面美國(guó)Hibbeler R C教授著的《工程力學(xué)-靜力學(xué)》（第3版）[1]是美國(guó)最受歡迎的工程力學(xué)系列教材之一。而美國(guó)Ferdina P. Beer撰著的《工程矢量力學(xué)（靜力學(xué)）》（第3版）[2]又有了很大的進(jìn)展，與《工程力學(xué)-靜力學(xué)》比較，其特點(diǎn)是應(yīng)用矢量的方法突出了靜力學(xué)問(wèn)題求解的直觀性，這本教材被我國(guó)國(guó)外高校優(yōu)秀教材審定委員會(huì)評(píng)為優(yōu)秀教材。沿著這一變革和發(fā)展進(jìn)程，用圖解的方法求解工程靜力學(xué)問(wèn)題，可發(fā)揮畫(huà)法幾何直觀性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，并在AutoCAD中進(jìn)行精度設(shè)置可滿足工程精度要求。

力、力偶、力矩是靜力學(xué)的3個(gè)基本物理量。因此，首先用正投影方法對(duì)這3個(gè)物理量進(jìn)行圖示，再結(jié)合靜力學(xué)基本原理建立圖解步驟，應(yīng)用AutoCAD作圖功能，實(shí)現(xiàn)圖示圖解。靜力學(xué)在工程實(shí)際中應(yīng)用很廣，實(shí)例極多，與代數(shù)法、矢量法一樣，圖解法也須正確的進(jìn)行受力分析，只是解題形式不同。因此，以上述3個(gè)基本物理量的圖示圖解作為研究的起點(diǎn)，以用圖解法解決各種工程靜力學(xué)問(wèn)題作為最終目標(biāo)，在此過(guò)程中將會(huì)產(chǎn)生許多作圖技巧和新的作圖方法。本文以空間匯交力系、空間任意力系的實(shí)例為載體，對(duì)3個(gè)基本物理量的圖示圖解方法及其應(yīng)用作一個(gè)初步探討。

1 一般位置直線實(shí)長(zhǎng)、方向角的解析與圖解的關(guān)系

由于力可以用一帶有方向的線段表示，用圖解法求解空間力系問(wèn)題，必然會(huì)遇到直線段的實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、方向角的解析與圖解的關(guān)系。設(shè)直線AB對(duì)H、V、W三個(gè)投影面的傾角分別為α 、 β 、γ，圖1(a)所示為直線AB對(duì)H面的傾角，其大小可用式(1)表示。

同理，由圖1(b)可知，直線AB在V、W投影面上的投影a′b′,a′′b′′與AB實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)V、W投影面的夾角三者之間的關(guān)系如式(2)所示：

設(shè)直線AB上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)，圖1(c)直觀地表示了直線AB與投影軸的夾角，其大小如式(3)所示：

聯(lián)系圖1(a)和圖1(b)可知α與γz、β與βy、γ與αx互為余角。

圖1 直線各參數(shù)之間的關(guān)系

2 力的圖示圖解

力是一個(gè)抽象的概念，通常力對(duì)物體作用效果由其大小、方向和作用點(diǎn)的位置三者確定。因此可用有起點(diǎn)、有方向、有一定長(zhǎng)度的線段來(lái)表示力。圖示就是將力用直線的投影來(lái)表示其大小，方向與作用點(diǎn)，如將圖1(a)中的AB線段當(dāng)作一個(gè)力，則圖1(b)就是該力的圖示形式。在力學(xué)中力的方向常常是指其方向角即力AB對(duì)坐標(biāo)軸x、y、z的夾角。由圖1可知，力對(duì)x、y、z軸的方向角與其對(duì)W、V、H投影面的夾角互為余角。因此，通過(guò)構(gòu)造直角三角形可求出力對(duì)投影面的夾角和與軸的夾角。再以一定比例尺表示單位長(zhǎng)度的力，這樣就用圖示的方法完整地表示了一個(gè)力。

根據(jù)力學(xué)中諸分力可用平行四邊形法則求其合力的原理，可以證明將各力的同面投影用平行四邊形法則合成后的結(jié)果等于合力在該投影面上的投影（證明略）。因此，求諸力的合力也可用平行四邊形法則先將諸力的同面投影按此法則合成，然后根據(jù)合成后的合力的投影求出合力的大小與方向。

按力學(xué)原理：空間匯交力系平衡的必要充分條件是力系的合力等于零。其幾何條件就是力的多邊形封閉，因此力多邊形的投影必封閉且力系中各力的同面投影的合成結(jié)果也必等于零。所以求平衡狀態(tài)空間匯交力系的未知力的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化到投影面上進(jìn)行圖示、圖解。而對(duì)空間任意力系，則通過(guò)將諸力平移的方法，將其轉(zhuǎn)化為匯交力系和力偶系進(jìn)行圖示、圖解。力平移是應(yīng)用空間二直線平行，其同面投影平行的定理得以實(shí)現(xiàn)，而因?yàn)槠揭埔粋€(gè)力要附加一個(gè)力偶才能保持等效應(yīng)，其力偶矩的大小與力的大小及平移距離有關(guān)，因此，會(huì)遇到求點(diǎn)到直線的距離的圖解問(wèn)題，這些都是畫(huà)法幾何原理在圖解靜力學(xué)中的應(yīng)用[3]。

3 圖解空間匯交力系[4]

為說(shuō)明問(wèn)題方便起見(jiàn)，以具體實(shí)例對(duì)圖解法展開(kāi)討論。如圖2所示，坦克的質(zhì)量為8000kg。求解提升坦克時(shí)3條繩索中每條繩索的拉力的具體步驟為：

圖2 實(shí)例1直觀圖

1） 圖示

根據(jù)圖2直觀圖中的已知尺寸畫(huà)出坦克受力投影圖，如圖3所示。

2） 圖解

（1） 在受力投影圖上，求出 W× AD與AB× AC 兩平面的交線AE。

（2） 利用平行四邊形法則，將W向AD、AE分解。因AD為正平線，量得的 a′f′=56.22即為AD繩索的拉力。

3）使三根繩索受力相等的設(shè)計(jì)

要使3根繩索受力相等就須重新設(shè)計(jì)繩索的位置。從圖5解題過(guò)程可知，繩索拉力大小與繩索與重力矢量的夾角有關(guān)，要使3根繩索的拉力相等，可設(shè)計(jì)3根繩索在一個(gè)以重力矢量為軸的圓錐面上，并使它們兩兩之間的夾角相等，這一要求用圖解法很容易實(shí)現(xiàn)，如圖5中，使3根繩索的水平投影互成120o，其中AD為正平線，其正面投影 a ′d′ =AD，一次投影變換，得到 ΔABC實(shí)形所在的投影面，在新投影面上，使，既保證3根繩索長(zhǎng)度相等，又處于以重力矢量為軸線的同一圓錐面上，且兩兩之間夾角相等的位置。顯然，此時(shí)A點(diǎn)到B、C、D 三點(diǎn)所決定的平面的距離不變，只是B、C、D 三點(diǎn)位置變化了。3根繩索的位置確定后，每根繩索的拉力圖解方法與圖4相同。最后可得：。（注：圖5用的作圖比例為1：400）

圖3 各力投影圖

圖4 圖解法求各力的大小

圖5 繩索優(yōu)化布置

4 圖解空間任意力系

通過(guò)力的平移可使空間任意力系由匯交力系和力偶系兩部分組成。因此，其圖解過(guò)程包含匯交力系與力偶系2個(gè)部分。同樣以實(shí)例對(duì)圖解空間任意力系展開(kāi)討論。如圖6所示，3根繩索縛于支座上。將繩索的力用點(diǎn)A的等效力偶系代替。

圖7 支座受力投影圖

2） 圖 解

匯交力系部分的圖解步驟，如圖8所示。

（1） 將F1、F2、F3三個(gè)力的起始點(diǎn)B、C、D平移到 A點(diǎn)，3個(gè)力也隨之一起平移，應(yīng)用AutoCAD的捕捉功能可以精確地實(shí)現(xiàn)這一平移。

（2） 用平行四邊形法則將 F2、F3合成為F23，再將F23與F1合成為F。

（3）用尺寸標(biāo)注功能，設(shè)定好精度要求，標(biāo)出 F的大小，根據(jù)作圖比例可知合力大小為174.16×10=1741.6N。

圖6 實(shí)例2直觀圖

1） 圖 示

如圖7所示，根據(jù)支座受力的直觀圖上的尺寸繪制出A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)的投影，并以1：10的比例畫(huà)出過(guò)B、C、D三個(gè)點(diǎn)的繩索拉力F1、F2、F3的投影。其中F2處于水平位置，其水平投影反映該力的實(shí)際大小，F(xiàn)3處于正平位置，其正面投影反映該力的實(shí)際大小，而F1處于一般為直，因此用構(gòu)造直角三角形求實(shí)長(zhǎng)的方法先求出BE線實(shí)長(zhǎng)，將F1度量到實(shí)長(zhǎng)線上，再確定F1的投影。

圖8 匯交力系圖解

力偶系部分的圖解步驟，如圖9所示。

（1） 求A點(diǎn)到F1、F2、F3各力作用線的距離。其中，F(xiàn)2的作用線為水平線，在水平投影面上 過(guò)a作f2的垂線即可得到A點(diǎn)到F2之間的距離，圖中用對(duì)齊方式直接標(biāo)注出 17.68，省略了作垂線。同理，F(xiàn)3的作用線為正平線，在正投影面上過(guò)a′作 f3 ′的垂線即可得到 A點(diǎn)到F3之間的距離，圖中用對(duì)齊方式直接標(biāo)注出136.6，也省略了作垂線。而F1的作用線是一般位置直線，圖中用旋轉(zhuǎn)法將其旋轉(zhuǎn)成正平線，A點(diǎn)也隨之旋轉(zhuǎn)，然后在正投影面上標(biāo)出77.26即為A點(diǎn)到F1作用線的距離。

（2） 求各附加力偶的大小。將各力的大小乘以其平移到 A點(diǎn)的距離即可得到各附加力偶的力矩大小。具體為：

圖9 點(diǎn)到力作用線的距離圖解

5 結(jié) 論

論文中所選用的兩個(gè)實(shí)例具有代表性，用AutoCAD作為工具，作圖有精確性，直接將力的大小標(biāo)注在圖上比較直觀顯見(jiàn)。另外，圖解過(guò)程也有助于圖解訓(xùn)練和實(shí)現(xiàn)畫(huà)法幾何的應(yīng)用價(jià)值。為了充分體現(xiàn)圖解法的優(yōu)越性，附錄中采用兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明代數(shù)法、矢量法的求解過(guò)程，以便更加理解基于Auto CAD的圖解工程靜力學(xué)問(wèn)題是一種值得推廣的實(shí)用方法。

6 附錄[5]

附錄1 解析法與矢量法求解過(guò)程實(shí)例

1） 解析法

由圖10可知：

圖10 各力對(duì)軸的夾角

由圖10可求出各力對(duì)軸的夾角：

2. 矢量法

以A點(diǎn)為研究對(duì)象，受4個(gè)力作用，其中有3個(gè)力的大小未知。引入i、j、k，將每個(gè)力分解為垂直分量：

對(duì)于 FAB,FAC，先確定矢量 AB,A C的大小和分量。用 λAB表示沿著AB的單位矢量有：

類似的有：

由于A點(diǎn)平衡，有Σ F =0：

式(8)、式(9)、式(10)、式(11)代入式(12)得：

由式(10)解出：FAB= FAC=16.6kN, FAD=55.2kN

附錄2 矢量法求解過(guò)程實(shí)例

首先，計(jì)算從點(diǎn)A到各力作用點(diǎn)的相對(duì)位置矢量，并將各力分解為直角坐標(biāo)分量。顯然FB= (700N)λAB，其中采用米和牛頓為單位有

[1] Hibbeler R C. 《工程力學(xué)-靜力學(xué)》(第3版)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2003: 89-93.

[2] BEER F P. 工程矢量力學(xué)(靜力學(xué))(第3版)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2003: 124-129.

[3] 張 磊. 徐昌貴, 聶學(xué)俊. 圖解法的 CAD實(shí)現(xiàn)途徑[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 26(6): 164-167.

[4] 郭新龍, 林大鈞, 聶冬金, 等. 基于 AutoCAD的靜力學(xué)圖解方法[J]. 東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012, 38(5): 601-604.

[5] 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研組編. 理論力學(xué)(第 6版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002: 79-88.

Research on Graphical Engineering Statics

Lin Dajun
( School of Mechanical and Power Engineering, East China University Science and Technology, Shanghai 200237, China )

The fundamental principle of orthogonal projection can be used to solve problems that arise in the field of engineering statics. This paper deals mainly with the graphical solution of elementary, concurrent force and forces in space problems. Some actual examples are included to illustrate applications of the simple principles and will encourage further study. Most problems in engineering statics can be solved by either graphical or algebraic methods. In some cases the algebraic solution is more readily obtained. In other cases, the graphical solution is quick and more economical. In a number of cases AutoCAD solutions may be well justified.

orthogonal projection; statics; AutoCAD software; diagram

TP 391.72

A

2095-302X (2013)05-0132-06

2013-01-02；定稿日期：2013-03-28

林大鈞（1953-），男，浙江寧波人，教授，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)及工程圖學(xué)。E-mail：Ldj1953@ecust.edu.cn