陳希信 孫 俊 龍偉軍

（南京電子技術(shù)研究所，南京，210039）

引 言

在脈沖多普勒雷達(dá)中，通常利用快速傅里葉變換（Fast Fourier transform，F(xiàn)FT）實(shí)現(xiàn)目標(biāo)回波信號(hào)的相干積累，但是回波脈沖數(shù)經(jīng)常不是2的整數(shù)冪，因此需要進(jìn)行尾部補(bǔ)零或者脈沖折疊，使得FFT 的點(diǎn)數(shù)為2的整數(shù)冪［1－6］。文獻(xiàn)［2］指出兩種FFT的多普勒譜相同，但只是對(duì)譜的采樣間隔不同。本文繼續(xù)研究脈沖多普勒雷達(dá)中兩種FFT的關(guān)系，比較兩者的性能差別，希望對(duì)工程實(shí)踐提供理論指導(dǎo)。

1 兩種FFT的關(guān)系

設(shè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)回波為

式中：fd為目標(biāo)多普勒頻率；Tr為脈沖重復(fù)周期；k為相干脈沖數(shù)，k＝0，1，…，K－1。

雷達(dá)接收信號(hào)為

式中：n（k）為接收機(jī)產(chǎn)生的零均值高斯白噪聲。

對(duì)接收信號(hào)加窗、補(bǔ)零得到

式中：w（k）為窗函數(shù)；M為2的整數(shù)冪，滿(mǎn)足M＜K＜2M。式（3）的補(bǔ)零FFT為

式（4）和（5）的FFT計(jì)算了信號(hào)的頻譜，若將FFT的基看作為濾波器系數(shù)，它們又分別計(jì)算了目標(biāo)信號(hào)通過(guò)各個(gè)濾波器后的輸出。

式（6）表明：（1）兩種FFT給出了相同的信號(hào)頻譜，只是折疊FFT是補(bǔ)零FFT的等間隔抽取，因此信號(hào)的多普勒分辨率不變化；（2）抽取補(bǔ)零FFT的偶數(shù)號(hào)濾波器（即偶數(shù)號(hào)頻點(diǎn)）就得到了折疊FFT，因此當(dāng)目標(biāo)多普勒位于補(bǔ)零FFT的偶數(shù)號(hào)濾波器的通帶上時(shí)，兩種FFT都實(shí)現(xiàn)了相干積累，輸出的SNR相同，當(dāng)目標(biāo)多普勒位于補(bǔ)零FFT的奇數(shù)號(hào)濾波器的通帶上時(shí)僅補(bǔ)零FFT實(shí)現(xiàn)相干積累，輸出較高的SNR，而折疊FFT則存在較大的跨越損失；（3）補(bǔ)零FFT輸出的噪聲點(diǎn)數(shù)是折疊FFT的2倍，在統(tǒng)計(jì)意義上虛警數(shù)量會(huì)增加1倍，為使兩者的虛警數(shù)相同，要求補(bǔ)零FFT的檢測(cè)門(mén)限高于折疊FFT的檢測(cè)門(mén)限。

這里給出一個(gè)仿真實(shí)例。仿真條件：K＝80，M＝64，Tr＝1ms，fd＝1／（128·Tr），w（k）取為70 dB切比雪夫窗。采用補(bǔ)零FFT和折疊FFT計(jì)算目標(biāo)信號(hào)多普勒譜與噪聲譜，分別如圖1和圖2所示。由圖1和圖2可見(jiàn)，目標(biāo)信號(hào)、噪聲的折疊FFT是補(bǔ)零FFT的偶數(shù)號(hào)濾波器的抽取，兩種FFT的多普勒分辨率相同。

圖1 目標(biāo)信號(hào)譜

圖2 噪聲譜

2 跨越損失和門(mén)限差

補(bǔ)零FFT和折疊FFT之間的抽取關(guān)系使得折疊FFT存在較大的跨越損失，同時(shí)要求補(bǔ)零FFT的檢測(cè)門(mén)限更高一些，本節(jié)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算。

2.1 跨越損失

雷達(dá)信號(hào)慢時(shí)間域FFT的失配包括幅度、相位兩個(gè)方面，幅度失配即加窗，相位失配即目標(biāo)多普勒與FFT濾波器組中各個(gè)濾波器的中心頻率不相同。本文討論的跨越損失源自相位失配。

設(shè)β＝2MTrfd為歸一化多普勒頻率，則第m個(gè)FFT濾波器的SNR增益為［7］

式（7）表明FFT增益與目標(biāo)多普勒、相干脈沖數(shù)、FFT點(diǎn)數(shù)、窗函數(shù)形式有關(guān)，而且各個(gè)濾波器的增益相同。當(dāng)采用矩形窗、β＝m時(shí)，取得最大增益K。以K為參考值，考察M＜K＜2M，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)取2M時(shí)補(bǔ)零FFT和折疊FFT的跨越損失。

假設(shè)目標(biāo)多普勒均勻分布于［－1／2Tr，1／2Tr］上，仿真參數(shù)同圖1，圖3和圖4分別給出了矩形窗、70dB切比雪夫窗下兩種FFT的跨越損失。

由圖3和圖4可見(jiàn)：（1）在各種窗函數(shù)下，補(bǔ)零FFT較折疊FFT的跨越損失??；（2）矩形窗下兩種FFT的損失的差別較大（平均損失1～2.5dB，最大損失3～40dB），采用70dB切比雪夫窗時(shí)兩者的差別縮小了（平均損失0.3～1dB，最大損失1～4dB）；（3）在FFT中，增加FFT點(diǎn)數(shù)，即增加濾波器數(shù)量，可減小跨越損失。

圖3 采用矩形窗時(shí)SNR損失

圖4 采用70dB切比雪夫窗時(shí)SNR損失

2.2 門(mén)限差

在雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，虛警概率是一個(gè)重要指標(biāo)，而虛警概率與檢測(cè)門(mén)限是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如前所述，補(bǔ)零FFT輸出的噪聲點(diǎn)數(shù)是折疊FFT的2倍，若虛警概率相同，則前者的虛警數(shù)是后者的2倍。為了使兩者的虛警數(shù)相同，要求補(bǔ)零FFT的虛警概率是折疊FFT的1／2，因此應(yīng)提高補(bǔ)零FFT的檢測(cè)門(mén)限。由于提高門(mén)限會(huì)降低檢測(cè)概率，因此兩個(gè)門(mén)限差別有多大是一個(gè)重要問(wèn)題。

假設(shè)噪聲為零均值高斯，其幅度服從瑞利分布，折疊FFT和補(bǔ)零FFT的歸一化門(mén)限分別為z1，z2，則兩者的虛警概率分別為［8］

式（10）表明折疊FFT和補(bǔ)零FFT的門(mén)限差與虛警概率有關(guān)，圖5給出了式（10）的關(guān)系式，可見(jiàn)只要補(bǔ)零FFT的檢測(cè)門(mén)限比折疊FFT的高0.16～0.32dB，則兩者檢測(cè)出的虛警數(shù)相同。由于提高門(mén)限較小，因此對(duì)補(bǔ)零FFT的檢測(cè)概率影響不大。

圖5 門(mén)限差與虛警概率的關(guān)系曲線(xiàn)

3 結(jié)束語(yǔ)

脈沖多普勒雷達(dá)中經(jīng)常遇到相干脈沖數(shù)不是2的整數(shù)冪的情況，可以采用補(bǔ)零FFT或者折疊FFT，這取決于系統(tǒng)運(yùn)算能力與SNR改善性能之間的折中。補(bǔ)零FFT的點(diǎn)數(shù)是折疊FFT的2倍，因此運(yùn)算量不難比較。本文重點(diǎn)考察了兩者的SNR性能，推導(dǎo)了補(bǔ)零FFT與折疊FFT的解析關(guān)系，發(fā)現(xiàn)抽取前者的偶數(shù)號(hào)頻點(diǎn)即得到后者，這種抽取關(guān)系使得折疊FFT存在更大跨越損失，而為了減少虛警數(shù)要求補(bǔ)零FFT的檢測(cè)門(mén)限高一些。文中在給定參數(shù)下對(duì)這些量進(jìn)行了定量計(jì)算，計(jì)算結(jié)果和方法對(duì)工程實(shí)踐具有一定的參考價(jià)值。

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