王曉毅 ，陳曉霞

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 3 00160；2.天津工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 3 00160）

齒輪的精確建模是齒輪的有限元分析（CAE）及其齒輪系的動(dòng)態(tài)仿真（VE）的基礎(chǔ)。通過(guò)描點(diǎn)法建立的漸開(kāi)線齒廓不精確[2]，通過(guò)編程的方法繪制漸開(kāi)線對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)不易掌握[3]，通過(guò)第三方插件設(shè)計(jì)齒輪需要得到開(kāi)發(fā)商的授權(quán)[2]。因此，本文利用solidworks的放樣曲面法繪制漸開(kāi)線，建立漸開(kāi)線齒輪模型。介紹了此種方法的建模過(guò)程，不僅可以繪制出準(zhǔn)確的漸開(kāi)線，且建模過(guò)程簡(jiǎn)單，同時(shí)滿足有限元分析和動(dòng)態(tài)仿真的需要。

1 漸開(kāi)線概述

1.1 漸開(kāi)線的性質(zhì)

當(dāng)直線BK沿圓周作純滾動(dòng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)K的軌跡AK稱為該圓的漸開(kāi)線（如圖1）。該圓稱為基圓，半徑為rb；直線BK稱為發(fā)生線，θk稱為展角。

圖1 漸開(kāi)線參數(shù)圖

漸開(kāi)線具有下列性質(zhì)：

（1）發(fā)生線沿基圓滾過(guò)的長(zhǎng)度，等于基圓上被滾過(guò)的弧長(zhǎng)，即弦KB等于弧AB。

（2）漸開(kāi)線上任一點(diǎn)的法線必與基圓相切。

（3）漸開(kāi)線上各點(diǎn)的曲率半徑不同，漸開(kāi)線在基圓上起始點(diǎn)A處的曲率半徑為零；離基圓遠(yuǎn)的點(diǎn)其曲率半徑大。

（4）基圓的大小決定漸開(kāi)線的形狀，基圓愈大，漸開(kāi)線愈平直。

（5）基圓內(nèi)無(wú)漸開(kāi)線。

1.2 漸開(kāi)線齒廓的壓力角

如圖1所示，點(diǎn)K為漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)，其矢徑用rk表示。用漸開(kāi)線作為齒輪的齒廓，當(dāng)齒輪繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，齒廓上點(diǎn)K速度的方向應(yīng)垂直于直線OK。將法線BK與點(diǎn)K速度方向線之間所夾的銳角稱為漸開(kāi)線齒廓在該點(diǎn)的壓力角，用αk表示，則

漸開(kāi)線上各點(diǎn)的壓力角是不同的，矢徑rk越大，其壓力角越大；漸開(kāi)線起始點(diǎn)A的壓力角為零。

1.3 漸開(kāi)線函數(shù)

以漸開(kāi)線起始點(diǎn)A的矢徑OA為極軸，則漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)K可用極坐標(biāo)描述。由圖1三角關(guān)系和式（1），可得漸開(kāi)線的極坐標(biāo)參數(shù)方程

2 利用放樣曲面法繪制漸開(kāi)線

新建零件，在選定的草圖基準(zhǔn)面上繪制基圓，基圓直徑由式（3）確定，d為齒輪分度圓直徑，α為壓力角（圖2），保存后退出。

在圖2的草圖基準(zhǔn)面上再建立一新的草圖，繪制基圓的水平中心線，用粗實(shí)線繪制與中心線垂直的發(fā)生線BK。標(biāo)注尺寸，尺寸的大小可以可以任意設(shè)置（圖3），后面要將該尺寸鏈接到方程式，保存后退出。

圖2 基圓直徑rb

圖3 發(fā)生線BK

由漸開(kāi)線的的性質(zhì)可知，發(fā)生線BK的長(zhǎng)度就是基圓周長(zhǎng)的一半，即

在設(shè)計(jì)樹(shù)的“注解”上點(diǎn)擊右鍵，選擇“顯示注解”和“顯示特征尺寸”。雙擊發(fā)生線的尺寸“添加方程式”，在彈出的“添加方程式”的對(duì)話框中顯示了發(fā)生線尺寸(D1@草圖2)，然后點(diǎn)擊圓的直徑尺寸(D1@草圖1)，輸入“*pi/2”，發(fā)生線的長(zhǎng)度與基圓的周長(zhǎng)的一半保持一致，如圖4所示。

圖4 定義發(fā)生線的尺寸方程

在圖2的基準(zhǔn)面上新建一個(gè)草圖，繪制一個(gè)半圓，半徑與圖2的基圓的半徑相同，并設(shè)置圓心重合，圓弧的兩端點(diǎn)分別與基圓的左右象限點(diǎn)重合（圖5），保存并退出草圖。在相同的基準(zhǔn)面上繼續(xù)新建草圖，在基圓的左象限點(diǎn)的位置繪制一個(gè)點(diǎn)（圖6），確定后退出草圖。

圖5 發(fā)生線對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)

圖6 掃描終點(diǎn)

通過(guò)以上繪制的4張草圖（圖2，圖3、圖5和圖6），放樣生成漸開(kāi)線。首先點(diǎn)擊曲面工具中的曲面放樣，在“曲面”→“放樣”屬性的輪廓選項(xiàng)框中選擇草圖2和草圖4，在中心線參數(shù)中選擇草圖3，如圖7所示。其中“中心線參數(shù)”的作用是使得放樣的兩個(gè)輪廓(草圖2和草圖4)之間形成的中間輪廓為“中心線參數(shù)”(草圖3)的法向。發(fā)生線的上端點(diǎn)所掃過(guò)的路徑即為漸開(kāi)線，如圖8所示。

圖7 放樣屬性設(shè)置

圖8 放樣生成的漸開(kāi)線

3 建立漸開(kāi)線齒輪

3.1 生成漸開(kāi)線齒廓

在漸開(kāi)線所在的基準(zhǔn)面上繪制齒根圓，拉伸后形成齒輪的基體。在此基準(zhǔn)面上用引用實(shí)體命令把生成的漸開(kāi)線引用到草圖上，繪制出齒輪齒根圓、齒頂圓和分度圓，用鏡像命令繪制出齒廓的另一面（鏡像時(shí)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓上齒厚和齒槽寬相等來(lái)確定角度γ），剪切多余的線段后，形成漸開(kāi)線齒廓（圖9）。

圖9 生成的漸開(kāi)線齒廓

3.2 建立圓柱直齒輪

運(yùn)用拉伸命令生成一個(gè)輪齒，用圓周陣列命令形成Z個(gè)齒的完整齒輪，再運(yùn)用拉伸切除等命令繪制出齒輪的其他特征。繪制的直齒圓柱齒輪如圖10所示。

圖10 直齒圓柱齒輪

3.3 建立斜齒圓柱齒輪

在齒輪基體的另一個(gè)面上運(yùn)用引用實(shí)體命令把生成的漸開(kāi)線齒廓引用到草圖上，根據(jù)螺旋角β的大小把齒廓旋轉(zhuǎn)角度β，如圖11所示。用這兩個(gè)齒廓所在的草圖運(yùn)用放樣基體命令可生成一個(gè)斜齒（必要時(shí)需要調(diào)整一下放樣對(duì)應(yīng)點(diǎn)），運(yùn)用圓周陣列命令構(gòu)造出Z個(gè)齒，再運(yùn)用拉伸切除等命令繪制出齒輪的其他特征，漸開(kāi)線斜齒圓柱齒輪。如圖12所示。

圖11 漸開(kāi)線斜齒廓

圖12 斜齒圓柱齒輪

4 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用solidworks軟件的放樣曲面法，在不通過(guò)任何插件和其他輔助軟件的條件下繪制出了準(zhǔn)確的漸開(kāi)線齒廓，建立了漸開(kāi)線齒輪模型，建模過(guò)程簡(jiǎn)單，易于掌握，同時(shí)可滿足有限元分析和動(dòng)態(tài)仿真的需要。

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