謝佛榮

(1.南京大學 哲學系，江蘇 南京 210093；2.南京師范大學 泰州學院，江蘇 泰州 225300)

1931年庫爾特·哥德爾(Kurt G?del)發(fā)表了一篇名為《<數(shù)學原理>及有關系統(tǒng)中的形式不可判定命題》的論文，在這篇文章中哥德爾證明了兩條重要定理(即哥德爾第一不完備性定理與哥德爾第二不完備性定理)，哥德爾思想的最深邃之處就在于他對這兩條定理的證明。哥德爾證明的最核心之處是構造了一個自指性命題G(為了論述的方便把哥德爾自指性命題簡稱為哥德爾命題)，目的是表明它為真時，卻不能在算數(shù)形式系統(tǒng)內為它構造一個證明。因此，本文試通過分析哥德爾構造的自指性命題G與“說謊者悖論”之間的差異來展現(xiàn)哥德爾是如何在證明中巧妙避開悖論這一怪圈的，并在其基礎上來研究“說謊者悖論”形成的重要特征，最后基于上述的分析，試論證要構建合理、圓滿的解悖方案需對悖論消解方案進行一般方法論的研究，進而指出馬克思的辯證思維方法對于悖論消解及揭示概念的辯證本性具有重要意義。

一、哥德爾自指性命題與“說謊者悖論”的差異

哥德爾不完全性定理證明的總體策略是，任何足以展開初等數(shù)論的形式系統(tǒng)中，找到一個自指命題G，命題G和它的否定在系統(tǒng)中都是不可判定的。也就是說，在系統(tǒng)中存在一個真卻不可證的命題。因為根據(jù)經(jīng)典邏輯的排中律，命題G和它的否定是一對矛盾命題，G和┓G必有一真，這就意味著哥德爾構造了一個為真卻不可證的命題來證明PM系統(tǒng)是不完全的。構造或證明這一步最為驚奇之處就是要對自指性悖論這一結構進行重塑，從而來支持他的證明。在其論文中，哥德爾提到了“說謊者悖論”，并把它與理查德悖論一起作為引領其證明的啟發(fā)式入手。公元前6世紀希臘時代的一個詩人哲學家艾皮米尼地斯(Epimenides) 說了一句很有名的話：“所有的克里特島人都是說謊的?！本推渥陨韥碚f，這句話并不自相矛盾，但轉換成下面形式：

我正在說的這句話是假的

現(xiàn)在問這句話是真的還是假的？如果說這句話是假的，那么“這句話是假的”是假的，也就是說這句話是真的；如果說這句話是真的，那么“這句話是假的”是真的，也就是說這句話是假的，即這句話為真，當且僅當為假。這即所謂的“說謊者悖論”。哥德爾正是利用這個悖論語句的類似命題，即“G在這個系統(tǒng)內不可證”來進行構造證明。而哥德爾構造的命題G卻與“說謊者悖論”有非常大的區(qū)別，這時大家就會有一個疑問，無論是哥德爾命題還是“說謊者悖論”在形式上非常相似，包含與悖論相聯(lián)系的“自指”和“否定”概念，為什么不能把哥德爾的自指性命題當作悖論來處理呢，這就是哥德爾證明的神奇之處，因此，下面仔細研究和分析哥德爾構造的自指性命題G與“說謊者悖論”兩者之間的差異。

第一，兩者的主要差異就在于哥德爾在構造證明哥德爾命題的過程中避開了惡性循環(huán)。所謂“惡性循環(huán)”實際上就是指自我指稱性，也就是我們常說的自己說自己。“說謊者悖論”恰恰具有這個特點，要斷定“我正在說的這句話是假的”是真的，就必須依賴于其是假的才能斷定，而要斷定“我正在說的這句話是假的”是假的，就必須依賴于其是真的才能斷定。從上可得，“說謊者悖論”的循環(huán)是真值判斷上的惡性循環(huán)。而哥德爾卻很巧妙地避免了這個循環(huán)，其奧妙就在于下面的構造過程：

第一步，構造哥德爾命題的基本方法就是用我們所謂的“哥德爾配數(shù)”思想方法來進行的。也就是從形式系統(tǒng)的基本符號指配一個數(shù)開始，然后根據(jù)規(guī)則對合式公式指派自然數(shù)，當每個合式公式都有了對應的哥德爾數(shù)，這時我們就可以根據(jù)規(guī)則給證明序列指配數(shù)字，最終完成哥德爾配數(shù)。

第二步，哥德爾通過對映射方法的創(chuàng)造性運用把證明有關形式演算中表達式的結構性質的元數(shù)學命題能夠精確地映射到這個演算自身，這關鍵一步就是我們所謂的元數(shù)學“算術化”。哥德爾利用映射的方法是要表明算術相關形式演算的元數(shù)學命題，確實可以通過用這個演算本身的算術公式來表達。

第三步，借助對角線引理，把哥德爾命題G在PA形式系統(tǒng)中顯現(xiàn)出來，從而避免了哥德爾命題陷入惡性循環(huán)之中。在此基礎上，哥德爾構造了一個二元遞歸函數(shù)B(n，m)，其含義是“n是哥德爾數(shù)為m的公式證明的哥德爾數(shù)”，在此基礎上，哥德爾構造了一個合式公式&(y)B(x，y)，我們記為&(x)，從而將概念“y不可證”形式化。這時，哥德爾借助對角線引理，對上述構造加以利用。所謂對角線引理，實際上是對康托爾對角線方法的再一次運用，它通過神奇的一一對應形式來進行巧妙地對應。對角線引理告訴我們，對任意的一元函數(shù)G(x)，都存在一個自然數(shù)n，使你得到的數(shù)就是你開始的同一個數(shù)。接下來哥德爾把二元遞歸函數(shù)B(n，m)的表達映射記為B*(x，y)，然后用x代入進去，就得到B*(x，x)，這就是我們所說的對角化，接下來，設這個公式的哥德爾配數(shù)為m，并代入公式得到&[B*(m，m)]，通過這樣的構造，得出了一個公式&[B*(m，m)]。這就是“對角線引理”。根據(jù)對角線引理，哥德爾得到了&(x)&(g)：UnPr& G(g)。

第二，哥德爾構造的自指性命題G與“說謊者悖論”還有一個重要的差異是“真”與“可證”的區(qū)分。在哥德爾不完全性定理整個證明過程中，哥德爾明確指出“真”與“可證”這兩個概念之間是不能等同的，需對這兩個概念做一個明確的區(qū)分?！罢妗笔且粋€語義概念，在形式系統(tǒng)內找到一個可滿足的解釋，而“可證”卻是一個語法概念，是相對于形式系統(tǒng)來說的，一個公式是可證的，意味著要么它是系統(tǒng)中的公理，要么它是依據(jù)分離規(guī)則由公理推導得到的定理。因此，“真”與“可證”并非同一的，是有區(qū)別的。同時在哥德爾看來，“真”是不可定義的，他說：“在算術化的元邏輯中有些普通概念不可定義。證明這一點的方法就是假定該概念能到手，再由此推出矛盾；在論證中我們必須默認算術的一致性。真數(shù)論公式就是不可定義的?！盵1]

二、“說謊者悖論”形成的重要特征

綜上所述，哥德爾構造的自指性命題G與“說謊者悖論”的一個重要區(qū)別就在于避免了惡性循環(huán)，也就是我們所說的避免了自我指稱(簡稱“自指”)。因此，筆者認為，“說謊者悖論”形成的一個重要特征是涉及了自指。羅素說：“一切悖論……都有一個共同特征，我們稱之為自我指稱性或自返性……在每一悖論中，對某種情況的所有情況有所論述，從所說的情況就產(chǎn)生一種新的情況，它既與下述情況相同，又不相同：即在所說的情況中牽涉到所有的那些情況?！盵2]既然自指是“說謊者悖論”形成的一個重要特征，那么自指是“說謊者悖論”根本原因嗎？

筆者認為，可以對它進行一定的變形?！拔艺谡f的這句話是假的”可以變換為“我正在說的這句話是真的”，如果這句話是真的，則這句話就為真；如果這句話是假的，那么這句話就為假，這樣就無法構造出矛盾等價式，從而也無法形成悖論。所以，自指并不是“說謊者悖論”形成的根本原因，并不必然造成悖論。既然自指不是“說謊者悖論”形成的根本原因，從而也就可進一步得出結論，自指也并不是悖論形成的必然原因。哥德爾命題的構造和證明就是一個很好的例證?？死锲湛?S.Kripke)在《真理論綱要》一文中指出，一些語句是否具有悖論性，有時是依賴于有關經(jīng)驗事實的，并不是任何東西都是依賴于內在的句法和語義的。把是否自我指稱作為標準來篩選不引起悖論的語句及引起悖論的語句是行不通的。正如他所言：“不可能有這樣的句法或語義的‘篩子’來除去‘壞’的實例，而保留‘好’的實例?！盵3]

我們可以進一步追問，既然自指并不是悖論的充分條件，那它是不是悖論的必要條件呢？孔斯(R.C.Koons)在《信念悖論與策略合理性》一書中，通過對置信悖論[注]張建軍教授把置信悖論這種類型的悖論稱為“合理行為悖論”。(doxic paradoxes)的探討和分析指出，自指并非悖論形成的一個必要條件。置信悖論大體是這樣，甲向乙提出，乙可以選擇盒子A或者選擇盒子B，A盒子是空的，B盒子里有100美元，但不能同時選擇兩個，并且甲保證：如果乙就此作出一個不合理的選擇，甲將獎給他1000美元。我們假定甲和乙都是理想的理性人，并且甲也能遵守承諾，這些事實都構成甲與乙的共識，這時問，乙該如何選擇呢？如果我們假定乙選擇A盒子是不合理的，這樣的話，那么乙選擇A盒子就比乙選擇B盒子多得900美元，這樣乙選擇A盒子它又是合理的；如果我們假定乙選擇A盒子是合理的，那么乙選擇A盒子就比選擇B盒子少得100美元，這樣乙選擇A盒子又不是合理的。綜上可得，選擇A是不合理的，當且僅當，選擇A是合理的。這種情形恰好與“說謊者悖論”非常地類似，并且孔斯經(jīng)過嚴格的構造，得到了一個新的悖論。這個悖論完全符合悖論不可缺少的三個要素：公認正確的背景知識、合乎邏輯的嚴格推導、可以建立矛盾等價式，所以，孔斯的這個“置信悖論”是一個嚴格的悖論，但孔斯指出，“置信悖論”的產(chǎn)生或形成關鍵是“合理性”概念，而“合理性”這個概念是相對于主體的行為來說的，并不是由語言和命題造成的。因此，自指并不是悖論產(chǎn)生的一個必要條件，不通過自我指稱也可以構建一些非常有價值的悖論。如陳波教授說：“悖論的成因在于由概念或命題的‘自我指稱’加上‘否定’構成的‘自我否定’。若沒有這樣的‘自我否定’，就無法構成悖論?！盵4]

經(jīng)上述分析可知，自指雖然是“說謊者悖論”的一個重要特征，但并不是“說謊者悖論”形成的唯一途徑，單單有自指并不足以使“說謊者悖論”形成，它必須跟否定性的概念直接相聯(lián)系。在“說謊者悖論”中除了自指這一重要特征外，還必須與“說自身為假的語句為真或為假”的否定性概念聯(lián)系在一塊，否則就無法構成真正的“說謊者悖論”。試想一下，它有自指，卻沒有自我否定，能否構成悖論？答案是否定的，如上面提到的“說謊者悖論”的變形，它雖然有自指，但沒有自指。所以，“說謊者悖論”的另外一個特征是它與否定性概念聯(lián)系在一塊。

在“說謊者悖論”中，除了具有自指和否定性概念這兩個重要特征外，筆者認為，還有一個重要特征是它可以建立矛盾等價式?！斑@句話為真當且僅當這句話為假”這個矛盾等價式是“說謊者悖論”的一個重要特征，由真能夠推導出假，由假能夠推導出真。建立矛盾等價式是“說謊者悖論”的一個重要特征，那是不是所有的悖論都必須建立起矛盾等價式，否則，就不能稱之為悖論？要弄清這個問題的關鍵在于如何對“悖論”下一個定義的問題。目前學界對于悖論的定義很不統(tǒng)一。如張建軍教授[5]說：“如果悖論所由已導出的背景知識并非特定領域認知主體的知識，則相對該領域而言就不稱其為悖論；如果在推導過程中出現(xiàn)了邏輯錯誤，則該‘悖論’之成立失去了邏輯依據(jù)；如果推導的結果無法建立矛盾等價式，‘悖論’就失去了其形式特征……所以，建立矛盾等價式是嚴格意義上的悖論所不可缺少的一個重要特征，它是嚴格意義悖論的一個重要的形式特征，這樣在形式特征上就可顯示出悖論之‘?！??！币簿褪钦f，“能夠建立矛盾等價式”是真正把悖論的形式特征顯示出來的一個重要方式。因為只有這樣我們才能把嚴格意義上的悖論與哲學上所謂的詭辯(如“二分法”、“阿基里斯追不上龜”等)區(qū)分開來。

三、對于“說謊者悖論”消解的反思

從傳統(tǒng)的語義解悖方案到現(xiàn)代的語義解悖方案，圍繞“說謊者悖論”而展開的解悖方案可謂眾說紛紜，莫衷一是。筆者認為，從這些解悖方案的分析與探討中可以看出，主要是通過以下幾種方式達到消解“說謊者悖論”此類悖論的目的，但都沒有達到真正解決悖論的目的。一是通過禁止自指的方式來達到悖論的解決，如羅素的“類型論”、“塔爾斯基的“語言層次論”等。但經(jīng)上述的分析可知，自指并不是悖論產(chǎn)生或形成的充分條件，通過禁止自指的方式并不能夠達到消解悖論的目的。如黃展驥[6]所言：“排斥自我指涉方案，好像客廳看到一只死老鼠(難堪的問題)，便把它掃入床底，眼不見為清潔，把問題推到別處，產(chǎn)生另一些嚴重問題?！倍峭ㄟ^揭示違反邏輯基本規(guī)律(如不矛盾律等)的方式來達到解悖的目的，如次協(xié)調邏輯方案等。三是通過對真值的分析來達到消解悖論的目的，如克里普克的“真值間隙論”方案、多值邏輯方案等，但他們通過對真值進行研究的方案并沒能夠真正達到解悖的目的。四是把語用學一些的思想(如關于語境、預設等思想)達到消解語義悖論的研究中來，如“語境敏感方案”、“情境語義學方案”等。雖然他們的方案相比于其它方案顯得更為合理，更具有說服力，但他們的方案仍然具有這樣或那樣的缺陷。因此，筆者認為，通過對上述解悖方案的分類可知，這些解悖方案的方法只是通過分析悖論產(chǎn)生的某一方面的根源，然后根據(jù)這個根源孤立地去找到處理這一疾病的療方，并未能找到一種全盤地、系統(tǒng)地來處理或消解悖論的一般方法論研究。如雷歇爾(N.Reseher)[7]所言：“在邏輯學、數(shù)學和哲學的專門文獻中，對各種不同類型的悖論的討論可謂眾多。但是這些悖論都被單獨地、孤立地處理，為每個悖論滿足自身需求樣式的解決方案。迄今還沒有對悖論及其解決方法這一主題作統(tǒng)一的全面處理的嘗試?！?/p>

既然歷史上這些語義解悖方案都未能真正合理地去解決諸如“說謊者”此類的語義悖論，那什么樣的解悖方法才是合理的呢？這個問題，關鍵就在于要對解悖方案提供統(tǒng)一的要求，也就是什么樣的解悖方案才是可行的、標準的。蘇珊·哈克在羅素、策梅羅的基礎上對解悖方法的合理性提出了更加明確的要求，他認為，一方面，必須從技術上給出一個無矛盾的形式理論。也就是說，必須能夠闡明哪些表面上無懈可擊的推理原則或前提實際上是不能允許的；另一方面，必須從哲學上闡明為什么這些推理原則或前提表面上是允許的，實際上是不允許的。在其基礎上，2002年，張建軍對羅素、策墨羅和蘇珊·哈克關于解悖標準的理論作了一個有機的整合，即“RZH標準”。也就是，“足夠狹窄性”——能夠排除已經(jīng)出現(xiàn)的邏輯矛盾；“充分寬廣性”——盡可能保留既有的科學成果；“非特設性”——解決方案并不僅僅是為了排除悖論而特設的條件”。[8]28筆者認為，這種比較清晰全面的解悖方案標準，使得我們在研究解悖方法的時候更加有據(jù)可循，從而也能更加系統(tǒng)地考量解悖方案的合理性。但在學界對于這種悖論解決的一般方法論研究還是很有限，需要學界對于一般方法論的研究給予更多的關注和探究。

筆者認為，馬克思的辯證思維方法論作為思維方法和方式的最高成果，深刻地揭示了概念的真正的辯證本性，因此，它對于悖論解決的方法論的研究具有重要的指導意義。因為悖論構成的一個重要要素之一就是公認正確的背景知識，在悖論解悖方法建構過程中必然會涉及到某些基本概念的變更，因此，在悖論消解的一般方法論研究中，必然會涉及概念方法論問題。如愛因斯坦( Albert Einstein)所言：“為了科學就必須反反復復地批判這些基本概念，以免我們會不自覺地受它們支配。在傳統(tǒng)的基本概念的貫徹使用碰到難以解決的矛盾而引起了觀念發(fā)展的那些情況，這就變得特別明顯。”[9]概念方法與悖論的這種密切聯(lián)系必然要求我們在悖論解悖研究中更多地運用辯證思維方法。因為辯證思維方法的本性就在于它把對象當作不斷運動發(fā)展的過程來把握的，從而表現(xiàn)出概念的對立統(tǒng)一與運動、變化、發(fā)展的辯證本性。因此，更能揭示悖論消解過程所隱藏的矛盾的實在對立。如“說謊者悖論”的產(chǎn)生實質上是混淆了整體與部分之間的關系。根據(jù)馬克思的唯物辯證法，部分與整體既有聯(lián)系又有區(qū)別，整體是有部分所構成的，部分又是存在于整體之中的，部分不能離開整體而獨立存在，但同時整體與部分之間又是有根本區(qū)別的，整體所具有的性質部分未必具有，部分所具有的性質整體未必具有，決不能把整體與部分混淆起來。實質上“說謊者悖論”的這個命題，即“我正在說的這句話是假的”，它是由兩部分組成的，“我正在說的這句話”和“是假的”組成的。在“說謊者悖論”中，正是把“正在說的這句話”與“‘我正在說的這句話’是假的”相等同起來，把部分與整體相混淆起來，從而導致悖論的產(chǎn)生?？傊R克思的辯證思維方法論對于揭示悖論消解過程中所隱藏的矛盾實在對立具有重要的作用和指導意義，并且悖論的消解對于當代馬克思的辯證思維方法論也具有本質的提升作用。如張建軍教授[8]360所言：“辯證思維方法論亦應在邏輯悖論的方法論研究中起到其重要作用，而在相互作用的過程中，當代辯證哲學與辯證思維方法論本身也將得到新的發(fā)展與深化?！?/p>

參考文獻：

[1] Godel K.“On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems”，in J.van Heijenoot(ed)，F(xiàn)rom Frege to Godel[M].New York：Bsic Books，1962：597.

[2] 張家龍.數(shù)理邏輯發(fā)展史——從萊布尼茨到哥德爾[M].北京：社會科學文獻出版社，1993.

[3] Kripke S.“Outline of a Theory of Truth”.Rprinted in R.j.Martin.ed.Recent Essays on Truth and the Liar Paradox[C].London：Oxford University Press，1984：55.

[4] 陳 波.邏輯哲學[M].北京：北京大學出版社,2005：121.

[5] 張建軍,黃展驥.矛盾與悖論新論[M].石家莊：河北教育出版社,1998：115-116.

[6] 張建軍，黃展驥.矛盾與悖論研究[M].香港：黃河文化出版社，1992.

[7] Reseher N.Paradoxes：Their Root.Range.and Resloution[M].Chicago：Carus Publishing Company，2001：5.

[8] 張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京：南京大學出版社，2002.

[9] 愛因斯坦文集：第一卷[M].許良英，李寶恒，趙中立，譯.北京：商務印書館，2009.