李 然，干宗良，崔子冠，朱秀昌

(南京郵電大學 江蘇省圖像處理與圖像通信重點實驗室，江蘇南京210003)

責任編輯:時 雯

1 壓縮感知簡述

近年來，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)成為一個快速發(fā)展的研究領(lǐng)域，受到了廣泛關(guān)注。CS的基本思路是:假設長度為N的離散時間或空間信號在某變換域的系數(shù)是稀疏的或可壓縮的，隨機生成M個與信號長度相同的測量向量，與信號作內(nèi)積運算得到相應的M個觀測值，其中M遠遠小于信號長度N，若將這M個觀測值看作是變換系數(shù)，測量過程顯然違反離散信號的頻域采樣定理，導致無法從這些觀測值中無失真復原信號，但CS理論表明，通過利用信號本身的稀疏或可壓縮的性質(zhì)，在測量向量滿足一定條件時，仍可以欠奈奎斯特速率無失真復原信號[1]。隨著CS理論的不斷發(fā)展，該理論已經(jīng)成功地應用在了壓縮成像、無線傳感網(wǎng)絡、醫(yī)療成像、雷達、通信、遙測、天文學等許多領(lǐng)域[2]。

與傳統(tǒng)的圖像壓縮技術(shù)相比，圖像壓縮感知并不是對顯著變換系數(shù)進行編碼壓縮，而是構(gòu)造隨機測量向量直接下采樣圖像信號，以降低圖像維數(shù)的方式來達到壓縮效果。由于在壓縮過程中，不必對圖像進行全變換以及復雜的顯著系數(shù)編碼，從而大大降低了編碼復雜度。另外，壓縮感知的隨機下采樣操作甚至可在光域內(nèi)直接進行(例如，單像素相機[3])，因此可降低圖像采集設備的分辨率，節(jié)省資源消耗。然而，圖像壓縮感知也面臨著若干難題，其中最主要的包括:隨機測量矩陣的存儲量較大和圖像重建算法的性能問題。通過分塊測量[4]和結(jié)構(gòu)化測量方式[5]，可有效地減少測量矩陣的存儲量。對于圖像重建算法，由于圖像的維數(shù)較高(可達百萬像素)，所以計算復雜度是亟待解決的問題。另外，各種重建算法的不同機制也會對圖像的重建質(zhì)量造成影響，這也是目前該領(lǐng)域關(guān)注的熱點之一。

本文在對目前壓縮感知重建算法的文獻進行分析和綜合的基礎(chǔ)上，首先闡述了壓縮感知的基本原理及其各項關(guān)鍵技術(shù)，然后簡要總結(jié)了目前流行的壓縮感知圖像重建算法，接著給出各種圖像重建算法的仿真結(jié)果及分析，最后總結(jié)了目前壓縮感知圖像重建算法存在的問題及研究展望。

2 壓縮感知模型及圖像稀疏性

2.1 壓縮感知的數(shù)學模型

CS理論是建立在Candes等人[6-7]和Donoho[8]具有突破性的工作之上，表明了在某變換域具有稀疏或可壓縮性的信號可由少量隨機線性測量值(遠低于奈奎斯特采樣頻率)無失真地復原。CS理論的實現(xiàn)包含3個要素:稀疏性或可壓縮性、非相關(guān)測量以及最優(yōu)化重建，其中稀疏性或可壓縮性是CS的必備條件，最優(yōu)化重建是CS復原信號的手段，非相關(guān)測量是CS重建算法的收斂保證[9]。CS的數(shù)學描述如下:

假設長度為N的一維離散信號x(若該信號為二維圖像，則按光柵掃描的方式拉成一維)，考慮到由M個長度為N的列向量φi按行組成的矩陣，作矩陣運算得到相應的長度為M的列向量y

式中:一般稱φi為測量向量;Φ為測量矩陣;y為觀測向量。假設測量矩陣Φ行滿秩，則當M遠小于N時，僅已知觀測向量y，由線性代數(shù)知識可知，該線性方程的解有無窮多個，且原始信號x必是其中之一。如何從無窮多個解中成功地找出原始信號，就是CS所提出的數(shù)學問題。為了解決該問題，需要獲取一些關(guān)于原始信號x的先驗知識，稀疏性或可壓縮性就是最常運用到的先驗知識。

2.2 圖像的稀疏性或可壓縮性

假設存在L個長度為N的列向量ψi按列組成的矩陣Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψL]，且其可線性表示離散信號x，即

式中:一般稱ψi為稀疏基底;Ψ為稀疏矩陣;α為表示向量。若α僅有K個分量不為0，其余均為0，即可稱信號x在Ψ域中具有稀疏性，K為信號的稀疏度。然而，自然界中的信號如語音、圖像信號，一般在Ψ域中并不具有嚴格稀疏性，而是K個分量具有較大幅值，其余分量的幅值與之相比微乎其微，這種情況一般稱信號x在Ψ域中具有可壓縮性[10]。

對于圖像信號來說，常用的稀疏基底是DCT基和小波基。除了圖像信號在這兩種基底下具有較好的可壓縮性外，它們存在快速變換法也是其流行的重要因素。對于圖像這種大規(guī)模信號，稀疏變換是否存在快速變換法往往會成為其是否可應用于實踐的關(guān)鍵。根據(jù)快速變換法可構(gòu)造出相應的稀疏算子Ψ(·)，作與式(2)相同的稀疏表示

信號本身具有的稀疏性或者可壓縮性可當作先驗知識，用于求解CS重建問題，以下將簡要介紹各種CS重建算法。

3 壓縮感知圖像重建算法

3.1 圖像重建算法

利用信號的稀疏性或可壓縮性，最直接的方法是采用最小L0范數(shù)模型求解CS問題

考慮到作CS測量時，可能混入一定噪聲，所以采用不等式約束，ε為較小的常數(shù)，用于度量噪聲水平。由于L0范數(shù)的非凸性，使得直接求解式(4)在多項式時間內(nèi)無法完成[11]。為了使CS問題得以求解，各種替代模型及其相對應的CS重建算法被提出，有如下4類:

1)凸松弛(最小L1范數(shù))算法

此類方法采用L1范數(shù)替代L0范數(shù)去度量表示向量α的稀疏度，變非凸問題為凸問題，使CS問題得到求解。所使用的最小L1范數(shù)模型為

式(6)也就是著名的基追蹤去噪(Basis Pursuit Denoising，BPDN)模型[12]，可化為二階核規(guī)劃(Second-order cone program，SOCP)問題，采用l1-magic工具箱[13]求解。

除此之外，式(6)還可化為無約束的凸優(yōu)化問題，即

式中:λ為正則化因子，用于平衡目標函數(shù)加號前后兩項對全局的影響。該式在統(tǒng)計機器學習研究領(lǐng)域也被稱為LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)模型[14]，用于解決回歸問題，求解該式目前流行的算法是GPSR(Gradient Projection for Sparse Reconstruction)算法[15]。

2)貪婪算法

此類方法仍是使用式(4)作為模型求解，或者假設α的稀疏度為K，采用式(8)求解

式(8)采用的策略是盡最大可能以最少的表示系數(shù)去減少y與ΦΨα之間的殘差能量。目前流行的貪婪算法為:OMP(Orthogonal Matching Pursuit)算法[16]、CoSAMP(Compressive Sensing Matching Pursuit)算 法[17]、StOMP(Stagewise OMP)算法[18]以及SAMP(Sparsity Adaptive Matching Pursuit)算法[19]，其中前兩者使用式(8)求解，后兩者使用式(4)求解。

3)迭代硬閾值算法

迭代硬閾值(Iterative Hard Thresholding，IHT)算法[20-21]采用式(8)作為求解模型，其基本思路是:從凸集Ω={α:y=ΦΨα}上某初始點開始，采用硬閾值方法縮減α到K稀疏，再利用凸集投影法(Project onto Convex Set，POCS)將估計解重新投影回凸集Ω，如此反復迭代，直至滿足收斂條件。IHT法的計算復雜度很低，十分適合于圖像這種大規(guī)模信號的CS重建，但其對初始點的要求很高，使得它很難應用于實際。然而，對于分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing，Block CS)的圖像重建[4]，它的一種變體——平滑投影Landweber算法(Smoothed Projected Landwebe，SPL)[4，22-23]在很短的時間內(nèi)獲得了較好的圖像重建效果，受到了廣泛關(guān)注，這主要得益于Block CS可提供較好的初始解——圖像的線性最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)估計。

4)貝葉斯學習算法

文獻[24-26]提出的貝葉斯壓縮感知(Bayesian Compressive Sensing，BCS)將機器學習領(lǐng)域的稀疏貝葉斯學習(Sparse Bayesian Learning)與CS相結(jié)合，利用相關(guān)向量機(Relevance Vector Machine，RVM)學習算法[27-28]進行CS重建信號。通過構(gòu)造出一種高斯概率密度模型來解釋表示向量α的稀疏性，將觀測向量y的各分量看作是學習樣本，通過RVM訓練出概率模型的相關(guān)參數(shù)，從而確定出α的概率分布，取其期望值作為最優(yōu)解αopt。

5)最小全變差算法

除了上述利用信號的稀疏性或者可壓縮性作為先驗知識外，對于CS圖像重建而言，仍可利用其他的先驗知識，其中以像素域的平滑性或者說梯度域稀疏性最為常見，其原因是大多數(shù)有意義的圖像均是分段平滑信號。梯度域稀疏性的數(shù)學度量通常使用全變差(Total Variation，TV)范數(shù)[6]

式中:(t1，t2)是圖像g的像素坐標;D1為垂直方向上的差分D1=g(t1，t2)-g(t1-1，t2);D2為水平方向上的差分D2=g(t1，t2)-g(t1，t2-1)。因此，利用圖像梯度域稀疏性的先驗知識，圖像CS重建問題可采用最小TV模型求解

若要使上述所有CS重建算法可收斂到原始信號或者接近于原始信號，仍需要使測量矩陣Φ與稀疏矩陣Ψ滿足一定條件，這就是CS重建信號得以成功的關(guān)鍵因素——非相關(guān)測量。

3.2 圖像的非相關(guān)測量矩陣

只有當測量矩陣Φ與稀疏矩陣Ψ不相關(guān)程度較大時，才有可能使上述CS重建算法在測量次數(shù)M遠小于信號長度N的情況下收斂到原始信號或者原始信號附近。度量這種不相關(guān)程度的方法主要有3種:Φ與Ψ混合相關(guān)度[29]、A(=ΦΨ)的受限等距性(Restricted Isometry Property，RIP)[30]以及A的Spark值[31](即A的最小線性相關(guān)組的列向量個數(shù))。目前，重建算法的收斂分析更多地采用A的RIP性質(zhì)來度量Φ與Ψ之間的不相關(guān)度。那么，滿足RIP的Φ與Ψ的組合有哪些呢?文獻[32-33]證明了以下3種隨機矩陣Φ與任意的固定矩陣Ψ在滿足式(11)的條件時，即

式中，C為常數(shù)。

組成的A以壓倒性概率遵從RIP性質(zhì):

1)高斯隨機矩陣:M×N的隨機矩陣，任意元素φij均相互獨立，服從均值為0、方差為1/M的高斯分布。

2)正交高斯隨機矩陣:首先產(chǎn)生N×N高斯隨機矩陣，再利用施密特正交化法使矩陣各列向量相互正交，最后隨機選取M個行向量生成M×N矩陣。

3)二值貝努利隨機矩陣:M×N的隨機矩陣，任意元素φij均相互獨立，各以1/2概率取

那么，采用以上3種隨機測量矩陣和任意固定的稀疏矩陣，在滿足式(11)的前提下，上述所有CS重建算法都能夠在可容許的誤差范圍之內(nèi)重建信號，只是對于不同算法，常數(shù)C的取值或大或小?？赏ㄟ^定義過測量因子d[34]簡化式(11)為

式中:d=C·ln(N/K)，可知過測量因子d是由所選的重建算法、信號長度N和信號稀疏度K共同決定的。通過大量的實驗顯示，過測量因子d取4時即可使CS重建算法有效收斂[2]。

采用隨機測量矩陣的一大優(yōu)勢是可使CS測量具有通用性[35]，即在設計測量系統(tǒng)時，不需要確定稀疏矩陣，僅在重建信號時，再考慮稀疏矩陣的選擇。然而，對于大規(guī)模信號，例如圖像信號，其相應的隨機測量矩陣所需的存儲空間巨大(可達吉字節(jié)以上)，同時測量過程的計算復雜度較高，因此，使測量系統(tǒng)難以在實際場合實現(xiàn)[29]。目前解決這一問題的方案有兩種，第一種是受JPEG的分塊DCT變換啟發(fā)，提出的Block CS，即將圖像分成大小相同互不疊蓋的宏塊，產(chǎn)生相應的隨機測量矩陣進行測量[4]。由于分塊尺寸較小，存儲測量矩陣所需空間和計算復雜度均會大大較低;另一種方案就是采用具有快速測量法的測量矩陣構(gòu)建測量系統(tǒng)，例如隨機擾亂實傅里葉矩陣(Scrambled Real Fourier Ensemble，SFE)[7，36]和結(jié)構(gòu)化隨機矩陣(Structurally Random Matrices，SRMs)[5，37]，這些矩陣的快速測量方法使用了流行的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)或沃爾什—哈達瑪變換(Walsh-Hadamard Transform，WHT)，在測量信號時不必構(gòu)造測量矩陣，而只進行等價的變換，即

式中:Φ(·)代表測量函數(shù)或算子。為了使測量系統(tǒng)不失去通用性，該算子在進行上述快速變換之前，先將原始信號進行有規(guī)則的擾亂，變換后再隨機下采樣為M個觀測值?？焖贉y量法的應用雖然解決了存儲量和計算復雜度的問題，但在重建信號時引入了一定局限性，使得必須選擇具有快速變換法的稀疏矩陣和支持快速測量法的重建算法，這些均加大了重建信號系統(tǒng)實現(xiàn)的復雜度。

4 仿真結(jié)果及分析

為了測試本文所提到的所有CS圖像重建算法(如表1所示)的性能，采用SRMs中的隨機擾亂塊哈達瑪變換(Scrambled Block Hadamard Ensemble，SBHE)構(gòu)造測量算子，對整幅圖像進行非相關(guān)CS測量。由于貝葉斯學習算法(命名為Bayesian_RVM)和SPL算法僅支持分塊測量矩陣，所以采用高斯隨機矩陣對每個圖像塊進行測量，分塊尺寸為32×32。產(chǎn)生隨機測量算子和矩陣的偽隨機序列的生成方法采用Marsaglia的極坐標算法(Polar Algorithm)[38]，種子取為0。對于稀疏矩陣Ψ的選擇，除SPL算法外，均采用存在有快速變換法的Daubechies-4正交小波基，SPL算法的稀疏矩陣采用復值雙樹小波(Complex-valued Dual-tree Discrete Wavelet，DDWT)。測試圖像為5幅不同類型的512×512灰度圖像Lena，Barbara，Peppers，Mandrill和Goldhill，如圖1所示。運行算法的硬件平臺為主頻為2.80 GHz的雙核CPU計算機，軟件平臺為32位的Windows7操作系統(tǒng)和MATLAB 7.6仿真實驗軟件。

圖1 本文所使用的5幅測試圖像

表2～表6列出了不同測量率下各種圖像重建算法的性能指標，采用PSNR值對重建圖像質(zhì)量進行客觀評價;為了能夠反應重建圖像的主觀視覺質(zhì)量，采用了結(jié)構(gòu)相似性指標SSIM(Structural Similarity Index)值進行評價;對于算法的計算復雜度，采用重建時間進行度量。首先，比較各種算法的PSNR值，可看到利用圖像梯度稀疏先驗的min-TV算法在各種測量率下均獲得最高值，所以min-TV算法十分適合用于CS圖像重建。僅次于min-TV算法，利用圖像平滑和稀疏先驗的SPL算法也獲得了較高的PSNR值，基本與min-TV算法相差1 dB左右。其他僅利用圖像稀疏先驗的算法中，基于梯度投影的GPSR算法和自適應判斷稀疏度的貪婪算法SAMP算法重建圖像的PSNR值較高，但遠低于min-TV算法(相差4 dB左右)。同樣，可看到在貪婪算法中StOMP算法的性能極不穩(wěn)定，在測量率為0.1時，恢復Lena和Mandrill圖時未能保證算法收斂，產(chǎn)生了很大的誤差，所以這種帶有閾值收縮的StOMP算法在應用圖像重建時，魯棒性不強。對于IHT算法和基于RVM的貝葉斯算法獲得PSNR值也不高，所以此兩類算法用于圖像重建時，也不能有效提升圖像質(zhì)量。接著，通過SSIM值來反應圖像的主觀質(zhì)量，可看到與PSNR值的情況相似，僅有min-TV算法和SPL算法獲得了高SSIM值，其余算法遠低于這兩種算法。在測量率為0.1～0.3時，SPL算法的平均SSIM值均超過min-TV算法，那么可知SPL算法在低測量率下的主觀視覺質(zhì)量與min-TV算法相近。圖2也展示了在測量率為0.2時，SPL算法和min-TV算法重建Barbara圖的主觀視覺比較，可看出min-TV算法重建出的圖像并不光滑，存在有大量的噪聲，而SPL算法重建出的圖像較光滑，主觀視覺質(zhì)量良好。最后，比較各種算法的計算復雜度，可看到計算復雜度最高的算法是min-TV算法，所以min-TV算法復原圖像的高質(zhì)量是以計算復雜度為代價。同時可看到，計算負擔較輕的算法是貪婪類算法，例如，StOMP算法和SAMP算法，這兩種算法重建時間相似，但SAMP算法的穩(wěn)定性更強，所以在貪婪類算法中最適合圖像重建任務的算法是SAMP算法，該算法復原圖像質(zhì)量于GPSR算法相近，在測量率為0.2～0.5時，重建時間僅需2～4 s，遠低于GPSR算法(需30 s左右)。對于SPL算法，該算法的復雜度不高，平均重建時間僅在30 s左右，計算量僅是min-TV算法的十分之一，然而，復原圖像質(zhì)量與min-TV算法相差不大，所以，可綜合評判出SPL算法是性價比最高的圖像重建算法。

表2 測量率(M/N)=0.1時各種圖像重建算法的性能比較

表3 測量率(M/N)=0.2時各種圖像重建算法的性能比較

表4 測量率(M/N)=0.3時各種圖像重建算法的性能比較

表5 測量率(M/N)=0.4時各種圖像重建算法的性能比較

表6 測量率(M/N)=0.5時各種圖像重建算法的性能比較

圖2 測量率為0.2時，采用min-TV算法和SPL算法重建Barbara圖像對比

5 結(jié)論和研究展望

壓縮感知是當前信號處理尤其是針對圖像視頻信號處理研究的一個熱點，課題研究具有重要的理論意義和應用價值。圖像壓縮感知的基本思想與傳統(tǒng)圖像壓縮有著明顯的區(qū)別，它是一種新的圖像編碼框架，其主要特點是編碼簡單，解碼復雜;擁有與傳統(tǒng)的圖像編碼器相媲美的壓縮效率[39];隨機測量方式使得其抗誤碼性能較好，非常適合于便攜式、耗電低、運算能力受限的無線圖像采集節(jié)點。所以圖像壓縮感知作為未來無線傳感器網(wǎng)絡中靜止圖像壓縮的可選方案具有較大競爭力[40]。壓縮感知圖像重建算法作為圖像壓縮感知在工程應用中的關(guān)鍵，具有很大的研究價值。

目前壓縮感知圖像重建算法的研究已經(jīng)獲得了很多較有意義的成果，然而距離實用還有不少的差距，仍存在尚需進一步研究的問題，主要有以下幾個方面:

1)圖像先驗知識的使用

目前在重建圖像信號時，一般使用的先驗知識是圖像變換域和梯度域的稀疏性。文獻[41-42]提出使用其他的圖像先驗知識(例如，塊稀疏、小波分解系數(shù)之間的相關(guān)性)進行CS重建，獲得了良好效果。所以在未來壓縮感知圖像重建領(lǐng)域，如何更好地使用圖像其他的先驗知識(例如，非局部相似性)，將會受到更多的關(guān)注。文獻[23]借助視頻中多假設概念，充分利用了圖像空間相關(guān)性作為先驗知識，就是該方面應用的實例。

2)圖像去噪算法與CS重建法的融合

文獻[43]提出的基于圖像去噪BM3D算法的CS重建法，提供了設計重建算法的新思路。其他的圖像去噪算法，例如，K-SVD去噪、PCA去噪等，是否也能融合到CS重建算法呢?文獻[22]巧妙地將小波去噪算法融入SPL算法，獲得了很好的效果。這也指明未來CS圖像重建算法的新方向。

3)CS圖像重建法的魯棒性

由于CS測量過程總是會引入噪聲，所以CS重建算法的魯棒性是十分值得關(guān)注的問題。在實際工程應用中，為了傳輸信號，往往會先對信號進行量化處理，由此引入的量化噪聲，如何在CS重建過程中消除，也是研究的熱點。對于大規(guī)模的圖像信號，這兩種噪聲更是很大程度地影響CS重建圖像的質(zhì)量，在重建過程中對圖像去噪，也是在工程實踐中亟待解決的問題之一。

4)CS重建算法計算復雜度與圖像重建質(zhì)量的權(quán)衡

計算復雜度過大是CS重建算法實際應用的一個障礙，單一地降低復雜度，又會對圖像的重建質(zhì)量造成影響。二者之間的權(quán)衡也是CS圖像重建算法中需要考慮的問題。

[1]RICHARD G.Compressive sensing[J].IEEE Signal Processing Magazine，2007，24(4):118-121.

[2]CANDES E，WAKIN M.An introduction to compressive sampling[J].IEEE Signal Processing Magazine，2008，25(2):21-30.

[3]DUARTE M，DAVENPORT M，TAKHAR D，et al.Single-pixel imaging via compressive sampling[J].IEEE Signal Processing Magazine，2008，25(2):83-92.

[4]GAN L.Block compressed sensing of natural images[C]//Proc.International Conference on Digital Siagnal Processing.Cardiff，UK:IEEE Press，2007:403-406.

[5]DO T，GAN L，NGUYEN N，et al.Fast and efficient compressive sensing using structurally random matrices[J].IEEE Trans.Signal Processing，2012，60(1):139-154.

[6]CANDES E，ROMBERG T，TAO T.Robust uncertainty principles:exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52(2):489-509.

[7]CANDES E，ROMBERG J，TAO T.Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59(8):1207-1223.

[8]DONOHO D.Compressed sensing[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52(4):1289-1306.

[9]焦李陳，楊淑媛，劉芳，等.壓縮感知回顧與展望[J].電子學報，2011，39(7):1651-1662.

[10]CANDES E，ROMBERG J.Practical signal recovery from random projection[C]//Proc.SPIE Computational Imaging.[S.l.]:IEEE Press，2005:76-86.

[11]ELAD M.Sparse and redundant representations[M].New York:Springer Science+Business Media，LLC，2010.

[12]CHEN S，DONOHO D，SAUNDERS M.Atomic decomposition by basis pursuit[J].SIAM Journal on Scientific Computing，1998(20):33-61.

[13]CANDES E，ROMBERG J.L1-magic:Recovery of sparse signals via convex programming[EB/OL].[2012-09-22].http://users.ece.gatech.edu/justin/l1magic/downloads/l1magic.pdf.

[14]TIBSHIRANI R.Regression shrinkage and selection via the lasso[J].Journal of the Royal Statistical Society Series B，1996(58):267-288.

[15]FIGUEIREDO M，NOWAK R，WRIGHT S.Gradient projection for sparse reconstruction:application to compressed sensing and other inverse problems[J].IEEE Journal Selected Topics in Signal Processing，2007，1(4):586-597.

[16]TROPP J，GILBERT C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.Information Theory，2007，53(12):4655-4666.

[17]NEEDELL D，TROPP A.CoSaMP:iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2009(26):301-321.

[18]DONOHO D，TSAIG Y，DRORI I，et al.Sparse solution of underdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching pursuit[EB/OL].[2012-09-22].http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/versions?doi=10.1.1.115.5221.

[19]DO T，GAN L，NGUYEN N，et al.Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C]//Proc.the 42th Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers.Pacific Grove，California:IEEE Press，2008:581-587.

[20]BLUMENSATH T，DAVIES E.Iterative thresholding for sparse approximations[J].Journal of Fourier Analysis and Applications，2008，14(5):629-654.

[21]BLUMENSATH T，DAVIES E.Iterative thresholding for compressed sensing[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2009，27(3):265-274.

[22]MUN S，F(xiàn)OWLER J.Block compressed sensing of images using directional transforms[C]//Proc.International Conference on Image Processing.Cario，Egypt:IEEE Press，2009:3021-3024.

[23]CHEN C，TRAMEL E，F(xiàn)OWLER J.Compressed-sensing recovery of images and video using multihypothesis predictions[C]//Proc.Conference Record of the Forty Fifth Asilomar.Pacific Grove，CA:IEEE Press，2011:1193-1198.

[24]JI S，XUE Y，CARIN L.Bayesian compressive sensing[J].IEEE Trans.Signal Processing，2008(56):2346-2356.

[25]BABACAN S，MOLINA R.Bayesian compressive sensing using Laplace priors[J].IEEE Trans.Image Processing，2010，19(1):53-63

[26]BARON D，SARVOTHAM S，BARANIUK R.Bayesian compressive sensing via belief propagation[J].IEEE Trans.Signal Processing，2010，58(1):269-280.

[27]TIPPING M.Bayesian inference:an introduction to principles and practice in machine learning[EB/OL].[2012-10-29].http://www.miketipping.com/papers.htm.

[28]TIPPING M.Sparse bayesian learning and the relevance vector machine[J].The Journal of Machine Learning Research，2001(1):211-244.

[29]CANDES E，ROMBERG J.Sparsity and incorhence in compressive sampling[J].Inverse Problems，2007(23):969-985.

[30]CANDES E，TAO T.Decoding by linear programming[J].IEEE Trans.Information Theory，2005，51(12):4203-4215.

[31]DONOHO D，ELAD M.Optimally sparse representation in general(nonorthogonal)dictionaries vis l1 minimization[C]//Proc.Nationsl Academy of Sciences.Pacific Grove，California:IEEE Press，2003:2197-2202.

[32]BARANIUK R，DAVENPORT M，DEVORE R，et al.A simple proof of the restricted isometry property for random matrices[J].Constructive Approximation，2008，28(3):253-263.

[33]MENDELSON S，PAJOR A，TOMCZAK-JAEGERMANN N.Uniform uncertainty principle for bernoulli and sub-gaussian ensembles[J].Constructive Approximation，2008，28(3):277-289.

[34]BARON D，DUARTE M，WAKIN M，et al.Distributed compressive sensing[EB/OL].[2012-10-29].http://www.arxiv.org/abs/0901.3403.

[35]CANDES E，TAO T.Near optimal signal recovery from random projections:universal encoding strategies?[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52(12):5406-5425.

[36]DUARTE M，WAKIN M，BARANIUK R.Fast reconstruction of piecewise smooth signals from incoherent projections[C]//Proc.Workshop of Signal Processing Adaptive Sparse Structure Representation.Pacific Grove，CA:IEEE Press，2005:102-112.

[37]GAN L，DO T，TRAN T.Fast compressive imaging using scrambled block hadamard ensemble[C]//Proc.European Signal Processing Conference.Lausannne，Switzerland:IEEE Press，2008:1-5.

[38]MARSAGLIA G，BRAY T.A convenient method for generation normal variables[J].SIAM Review，1964，6(3):260-264.

[39]潘榕，段繼忠，劉昱.壓縮感知及其在圖像和視頻編碼中的應用[J].電視技術(shù)，2012，36(1):10-14.

[40]張建新，劉郁林，張波，等.壓縮感知在傳感器網(wǎng)絡中的應用研究[J].電視技術(shù)，2012，36(7):64-67.

[41]BARANIUK R，CEVHER V，DUARTE M，et al.Model-based compressive sensing[J].IEEE Trans.Information Theory，2010，56(4):1982-2001.

[42]練秋生，王艷.基于雙樹小波通用隱馬爾可夫樹模型的圖像壓縮感知[J].電子與信息學報，2010，32(10):2301-2306.

[43]EGIAZARIAN K，F(xiàn)OI A，KATKOVNIK V.Compressed sensing image reconstruction via recursive spatially adaptive filtering[C]//Proc.the International Conference on Image Processing.San Antonio，TX:IEEE Press，2007:549-552.