劉 影，關(guān)立健，徐 晨

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

1 數(shù)學(xué)建模的歷史及發(fā)展

數(shù)學(xué)在生產(chǎn)和發(fā)展的長(zhǎng)河中，一直是和人們生活的實(shí)際需要密切相關(guān)的.作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史.例如歐幾里德幾何就是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬有引力定律、電磁學(xué)中的麥克斯偉方程組、化學(xué)中的門捷列夫周期表、生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中數(shù)學(xué)建模的光輝典范.

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,數(shù)學(xué)建模這個(gè)詞匯越來越多的出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會(huì)活動(dòng)中.電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，用這個(gè)模型對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過程控制.進(jìn)入20世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)以空間的廣度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，和電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視，可以從以下幾方面來看數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實(shí)世界中在工程領(lǐng)域、高新技術(shù)領(lǐng)域等有著重要作用，特別在對(duì)提高高校學(xué)生素質(zhì)方面起著極為重要的作用：

2 數(shù)學(xué)建模對(duì)提高校學(xué)生綜合素質(zhì)的特殊作用

數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，數(shù)學(xué)的教改就必須大力推動(dòng)數(shù)學(xué)的教學(xué)更加自覺地貫徹素質(zhì)教育的精神，使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法和結(jié)論，而且領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，掌握數(shù)學(xué)這門學(xué)科的精髓，使數(shù)學(xué)成為他們手中得心應(yīng)手的武器，終生受用不盡.這應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)努力追求的目標(biāo)，也是衡量數(shù)學(xué)教學(xué)的成效與優(yōu)劣的最根本的依據(jù).應(yīng)試教育扭曲了中學(xué)數(shù)學(xué)教育，把教學(xué)活動(dòng)變成了一種純粹的習(xí)題演示和訓(xùn)練.而有計(jì)劃地開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，將有效地培養(yǎng)學(xué)生的能力，促進(jìn)應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌.

2.1 數(shù)學(xué)建模可以增強(qiáng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)

隨著對(duì)學(xué)生全面實(shí)施素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生綜合能力認(rèn)識(shí)的統(tǒng)一，如何培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力很關(guān)鍵.通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練思維能力，不僅旨在加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，而且也是提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，是實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)重要方面，所以測(cè)試學(xué)生應(yīng)用題解題能力的力度在不斷加強(qiáng).因?yàn)閿?shù)學(xué)高考的考試目標(biāo)是“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，又注重考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”.

例1 女孩子都愛美，你知道你穿多高跟的鞋子，看起來最美嗎？

設(shè)某人下肢軀干部分長(zhǎng)為x厘米，身高為l厘米，鞋跟高d厘米，我們知道黃金分割0.618，當(dāng)人下肢與身高比為0.618時(shí)應(yīng)該看起來最美，即

由此模型，可計(jì)算出任何一個(gè)女孩子應(yīng)該穿多高的鞋子.

由此看來，女孩子們愛穿高跟鞋是有科學(xué)根據(jù)的，也使人聯(lián)想起為什么人們觀看芭蕾舞表演時(shí)有一種美的感受，可是當(dāng)你看踩高蹺表演時(shí)沒有這種感覺.

此例題科學(xué)地處理了現(xiàn)實(shí)生活中的問題，使數(shù)學(xué)知識(shí)有了現(xiàn)實(shí)意義，數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和工具性決定了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)造意識(shí)的獨(dú)特作用，不論在大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課階段，還是專業(yè)課階段，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解決問題的重要手段和必要工具，“學(xué)數(shù)學(xué)，是為了用數(shù)學(xué)”.通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練思維能力不僅是提高高校數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)重要方面，更增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，“學(xué)以致用”.

2.2 數(shù)學(xué)建?？梢约ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

數(shù)學(xué)建模能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，學(xué)會(huì)團(tuán)結(jié)協(xié)作，建立良好的人際關(guān)系，相互合作的能力，以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)，以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能.

日常生活是應(yīng)用問題的源泉之一，現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題可通過建立數(shù)學(xué)模型加以解決.如：家庭日用電量的計(jì)算，紅綠燈管制的設(shè)計(jì)，住房問題等等都可用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型加以解決.選擇貼近社會(huì)實(shí)際的典型問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成自覺地把數(shù)學(xué)作為工具來用的意識(shí)，在這過程中，既培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，又活躍了課堂教學(xué)的氣氛，容易引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

另外，以社會(huì)熱點(diǎn)問題出發(fā)，介紹建模方法，如：國(guó)家大事，社會(huì)熱點(diǎn)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中涉及諸如成本、利潤(rùn)、儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、投標(biāo)及股份制等，適當(dāng)?shù)剡x取融入教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，不僅能使學(xué)生掌握正確的商品經(jīng)濟(jì)觀念，而且為日后主動(dòng)以數(shù)學(xué)的意識(shí)、手段處理問題，提供了能力上的準(zhǔn)備，從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的目的.如增長(zhǎng)率中利息（單利、復(fù)利）、分期付款等與時(shí)間相關(guān)的問題，生物工程中的細(xì)胞繁殖及分裂等問題，由我國(guó)的第五次人口普查想到人口的增長(zhǎng)問題，由春季北方的沙塵暴聯(lián)想到生態(tài)平衡、植被問題、環(huán)境保護(hù)，我國(guó)的資源逐漸減少想到核能的和平利用，聯(lián)想到物理學(xué)上的衰變、裂變等問題，均可建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解；又如現(xiàn)在許多工程中的招標(biāo)就是最優(yōu)化問題，最佳投資，最小成本，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，學(xué)生通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法解決，增強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，同時(shí)學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)自我的價(jià)值.

2.3 數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力

因?yàn)閷?shí)際問題給出的材料信息，從不同的角度，從不同的方向，用不同的方法或途徑，進(jìn)行思考和分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，尋求超常規(guī)，求變求異的思維方式和解決問題的方法，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力.

例2 建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低造價(jià)為多少元？

根據(jù)題目情境，經(jīng)分析，解剖，可將問題抽象為函數(shù)問題，即建立函數(shù)模型.

分析：設(shè)池長(zhǎng)為xm，由已知條件，池底面積為4m2，則池寬為m，那么水池總造價(jià)y元為

此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生向各個(gè)方向思維，尋求解決問題的多樣性，變異性，培養(yǎng)他們的綜合應(yīng)用能力.學(xué)生們可能做出如下的解答：

解法一 應(yīng)用求函數(shù)最值的方法——平均不等式均值定理來解決.

解法二 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用判別式Δ來解決.

xy=480x+1280+320x2,即：

320 x2+(480-y)x+1280=0，

由Δ=(480-y)2-4×320×1280≥0，解得

y≥1760，則水池的最低造價(jià)為1760元.

令y'=0，解得x=2,

所以，當(dāng)x=2，y取得最小值，

針對(duì)以上求最小值的各種思路，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)最值問題既可用二次函數(shù)知識(shí)，也可用基本不等式來解決最值問題，當(dāng)然也可建立目標(biāo)函數(shù)后，用求導(dǎo)數(shù)找最小值，通過建模有效地訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散性思維能力，從而增強(qiáng)了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

2.4 數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新精神

江澤民主席曾經(jīng)指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是我們國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力.”國(guó)際上享有盛名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威、荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(Hans Freudenthal 1905-1990)在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，……這樣獲得的知識(shí)與能力才能更好的理解，而且能保持較長(zhǎng)久的記憶.”

傳統(tǒng)的教育模式是以教師為中心，教材為藍(lán)本，一元化的學(xué)習(xí)模式.這種模式顯而易見的缺點(diǎn)是不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)和開發(fā).素質(zhì)教育的實(shí)質(zhì)是知識(shí)和能力的綜合體現(xiàn).中學(xué)數(shù)學(xué)建模，由于沒有固定套路，沒有條條框框，學(xué)生可以充分地發(fā)揮自己的才干，自由地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí).在教學(xué)中要積極創(chuàng)設(shè)“學(xué)”數(shù)學(xué)、“用”數(shù)學(xué)、“做”數(shù)學(xué)的環(huán)境，使學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中“學(xué)”數(shù)學(xué).創(chuàng)造性思維在數(shù)學(xué)建模中找到了一個(gè)切入點(diǎn)，因此數(shù)學(xué)建模的過程是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新精神的過程.

曾有學(xué)生認(rèn)為學(xué)了數(shù)學(xué)知識(shí)就是用來解題.然而，通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，卻帶給學(xué)生起了一個(gè)根本性的變化，他們開始關(guān)注周圍環(huán)境、生活及社會(huì)，嘗試著用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決一些“不起眼”的問題.如兼有寫字臺(tái)功能的書架上的日光燈安裝問題,很少有人注意，有同學(xué)就利用所學(xué)幾何知識(shí)，從有利于視力保護(hù)，有利于閱讀效果考慮，計(jì)算出了日光燈安裝位置的范圍.有的同學(xué)也非常關(guān)注社會(huì)風(fēng)云.目前，街頭巷尾到處都有人設(shè)攤，以“不要錢摸獎(jiǎng)”、“高中獎(jiǎng)率”等引誘群眾去摸獎(jiǎng).有的同學(xué)就運(yùn)用排列組合、概率知識(shí)，通過計(jì)算揭穿這些人的騙局，呼吁大家不要上當(dāng)受騙，維護(hù)了社會(huì)正義.通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生的判斷是非、敢于創(chuàng)新，起到學(xué)以致用提高了高校生的綜合素質(zhì).

3 數(shù)學(xué)建模的未來展望

隨著改革開放的不斷深入，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)已有較大的發(fā)展，國(guó)家需要培養(yǎng)一大批能適應(yīng)社會(huì)，服務(wù)社會(huì)的人才，他們要能提出問題、分析問題、解決問題.而數(shù)學(xué)教育是全面素質(zhì)教育中一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)與生活；數(shù)學(xué)與科學(xué)息息相關(guān)，數(shù)學(xué)為其它學(xué)科的建立和發(fā)展提供了條件和基礎(chǔ)，方法和思想，學(xué)了數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)生素質(zhì)教育有著重要的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是大幅度提高數(shù)學(xué)活動(dòng)質(zhì)量的關(guān)鍵，同時(shí)也是我們長(zhǎng)期面臨的任務(wù).

數(shù)學(xué)建模是開展探究性學(xué)習(xí)的好題材.數(shù)學(xué)建模包含了合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的諸多因素和作用.數(shù)學(xué)建模是提高參與者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種很好的形式.越來越多的國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者都有這樣的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握不全是教出來的，而是自己做出來的.數(shù)學(xué)建模正好是一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的過程，它體現(xiàn)了學(xué)和用的統(tǒng)一.我們應(yīng)繼續(xù)做好數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，開創(chuàng)數(shù)學(xué)教育的新局面.

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