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考慮絕熱邊界條件的地埋管換熱器傳熱模型研究

2013-01-19 07:23:20方燕燕
關(guān)鍵詞:土壤溫度熱流格林

方燕燕

1南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院

2常州市規(guī)劃設(shè)計(jì)院

0 引言

地源熱泵系統(tǒng)地下埋管換熱器中應(yīng)用最為普遍的是豎直U型地埋管換熱器,其傳熱過程是復(fù)雜的三維非穩(wěn)態(tài)傳熱過程,故在工程應(yīng)用進(jìn)行傳熱分析時(shí)需進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?jì)算。通常簡化方法是:以鉆孔壁為界,將鉆孔周圍的土壤區(qū)域劃分為鉆孔外的土壤部分和鉆孔內(nèi)的地埋管兩個(gè)部分,并采用不同的方法進(jìn)行分析[1]。對(duì)于鉆孔內(nèi)的地埋管部分,一般近似用穩(wěn)態(tài)的傳熱模型進(jìn)行分析,對(duì)于鉆孔外部分土壤的傳熱,由于傳熱過程的復(fù)雜性,必須采用非穩(wěn)態(tài)的傳熱模型。鉆孔外部的傳熱為導(dǎo)熱過程,通??醋魇蔷€熱源或柱熱源在半無限大介質(zhì)或無限大介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)過程。常用的簡化傳熱模型有:無限長線熱源模型,無限長柱熱源模型、有限長線熱源模型及一些數(shù)值模型[2~5]。

從理論研究的角度看,柱熱源傳熱模型比線熱源模型更符合實(shí)際情況,具有一定的研究價(jià)值,但也存在一定的局限性,如下:

1)假設(shè)鉆孔壁處熱流密度恒定,實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行時(shí),熱流密度隨建筑物負(fù)荷的逐時(shí)變化而變化。

2)假設(shè)周圍土壤無限大,即遠(yuǎn)邊界處的土壤溫度等于土壤初始溫度,即鉆孔內(nèi)的熱量可以向無窮遠(yuǎn)處傳遞,且遠(yuǎn)邊界處的土壤溫度未受到波動(dòng),實(shí)際上由于豎直地埋管換熱器鉆孔間距一般為3~6m,系統(tǒng)長周期運(yùn)行時(shí),相鄰鉆孔的傳熱已經(jīng)造成附近土壤溫度的變化。在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間較短或負(fù)荷較小的情況下,兩鉆孔中心處的土壤溫度未發(fā)生變化時(shí),使用傳統(tǒng)傳熱模型進(jìn)行計(jì)算是合理的。但是由于土壤源熱泵的壽命周期較長,該處的溫度受到波動(dòng),故土壤無限大的假設(shè)并不合理。

因此,在實(shí)際傳熱模型建立時(shí),需考慮井間的相互熱影響及盤管負(fù)荷的變化特性對(duì)地下埋管換熱器傳熱過程的影響。故本文傳熱模型在兩鉆孔中心處建立絕熱邊界條件,鉆孔壁處建立熱流密度隨時(shí)間變化的邊界條件,對(duì)豎直地下埋管換熱器進(jìn)行更準(zhǔn)確的傳熱分析。

1 變熱流無限長柱熱源模型

有限長線熱源在計(jì)算單個(gè)鉆孔壁溫度時(shí),不僅考慮本鉆孔外土壤的傳熱對(duì)鉆孔壁溫度的影響,尚需考慮周圍鉆孔傳熱對(duì)本傳熱的影響。這樣要進(jìn)行疊加計(jì)算,計(jì)算過程十分繁瑣。故本文在無限長柱熱源的基礎(chǔ)上加了遠(yuǎn)端半徑處的邊界條件。

假定單個(gè)鉆孔僅在以鉆孔中心為圓心,遠(yuǎn)端半徑為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)進(jìn)行傳熱。避免多個(gè)鉆孔間熱干擾的復(fù)雜計(jì)算。另外傳統(tǒng)傳熱模型大多針對(duì)恒定熱流或者恒定埋管進(jìn)口溫度的情況來分析,沒有考慮負(fù)荷的逐時(shí)變化對(duì)地埋管換熱器傳熱過程的影響,在實(shí)際的工程應(yīng)用中,地埋管鉆孔壁的邊界條件隨著建筑物負(fù)荷的變化而變化。

為了考慮長周期變負(fù)荷對(duì)地下埋管換熱系統(tǒng)的影響,在圖1所示傳熱模型的基礎(chǔ)上,基于下述簡化處理建立地源熱泵系統(tǒng)地下埋管換熱器的變熱流柱熱源模型。

圖1 本文傳熱模型示意圖

本文的傳熱模型假設(shè):

①土壤原始溫度分布均勻,忽略深度方向的變化;

②土壤的熱物性為常數(shù),不隨溫度發(fā)生變化;

③忽略地下水的流動(dòng),認(rèn)為埋管與土壤之間的傳熱為純導(dǎo)熱過程;

④埋管與土壤接觸很好,忽略接觸熱阻;

⑤假設(shè)土壤各向同性;

⑥忽略軸向傳熱,只考慮一維傳熱。

本文模型的一維熱傳導(dǎo)微分方程為:

式中:Ts為土壤的初始溫度,℃;rb為鉆孔半徑,m;r∞為遠(yuǎn)端半徑,m;a為土壤的導(dǎo)溫系數(shù),m2/s;ρ為土壤的密度,kg/m3;c 為土壤的比熱,kJ/(kg·℃);λs為土壤的導(dǎo)熱系數(shù),W/(m·℃);q(t)為單位埋管長度負(fù)荷,W/m。

夏季埋管放熱量為:

冬季埋管吸熱量為:

式中:Qc(t)、Qh(t)為建筑物的逐時(shí)冷、熱負(fù)荷,W;L 為埋管長度,m;COPc(t)、COPh(t)為熱泵機(jī)組的制冷、制熱性能系數(shù),在考慮逐時(shí)負(fù)荷變化時(shí),該值隨著埋管出水溫度的變化而變化。

1.1 初始條件確定

本文模型的初始條件就是土壤在t=0時(shí)刻的初始溫度,地源熱泵系統(tǒng)地埋管一般在60~120m,屬于溫度常年不變的土層。本文是一維傳熱模型,忽略了土壤溫度在深度方向上的變化,故取初始溫度恒定為Ts。

1.2 邊界條件

把整個(gè)傳熱區(qū)域看成是無限長的圓筒壁,有兩個(gè)邊界條件,r=rb,r=r∞。對(duì)這兩個(gè)邊界條件分別進(jìn)行討論有:

1)r=rb邊界

因?yàn)楸P管的熱容量較小,所以近似認(rèn)為埋管傳向土壤的熱量等于管內(nèi)流體傳向埋管的熱量,所以單位管長鉆孔壁處的熱流密度為:

式中:q1(t)為單位埋管長度的熱流量,W/m2。

2)r=r∞邊界

熱泵機(jī)組運(yùn)行時(shí),埋管會(huì)向周圍土壤放熱或者吸熱,周圍土壤溫度不斷升高或降低,熱量或冷量會(huì)向遠(yuǎn)處傳遞。由于鉆孔間距在工程應(yīng)用中有相應(yīng)的范圍,故遠(yuǎn)端的土壤溫度場由于受到周圍鉆孔的影響發(fā)生了變化,現(xiàn)定義鉆孔間距的一半處到鉆孔中心的水平距離為遠(yuǎn)端半徑,在遠(yuǎn)端半徑處建立絕熱邊界條件,即熱量或冷量只能在以鉆孔中心為中心,鉆孔間距為直徑的圓形土壤區(qū)域內(nèi)傳遞。

2 變熱流無限長柱熱源傳熱模型的格林函數(shù)法求解

2.1 格林函數(shù)法

格林函數(shù)法是求解數(shù)學(xué)物理偏微分方程的常用方法之一,這種方法可以求解含熱源的,且具有非齊次邊界條件與某一初始條件的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程[6]。該方法廣泛應(yīng)用于各類非齊次的問題,處理問題的方式大都相同,而且,對(duì)于一維、二維或三維問題的解在形式上都可表示的非常緊湊[7,8]。應(yīng)用格林函數(shù)法求解的時(shí)候困難之一就是格林函數(shù)的構(gòu)造,格林函數(shù)的選取與坐標(biāo)系的形式、邊界條件及問題的定義域有關(guān)[9]。

一維非齊次熱傳導(dǎo)問題:

由文獻(xiàn)[6]可得以上一維非齊次熱傳導(dǎo)問題的解為:

式中:x′p為斯特姆-劉維爾權(quán)函數(shù),p 分別為 0(平板)、1(圓柱體)、2(球)。

上式各項(xiàng)的物理意義如下:第一項(xiàng)為初始溫度分布F(x)的影響;第二項(xiàng)為分布熱源g(x,t)的影響;第三項(xiàng)為邊界條件的非齊次性fi(x,t)的影響。

2.2 變熱流無限長柱熱源傳熱模型的格林函數(shù)法求解

為求得本文傳熱模型的格林函數(shù),先討論這一問題的齊次形式。

2.2.1 分離變量法求解齊次部分

分離變量法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于求解各種熱傳導(dǎo)問題,對(duì)齊次問題處理起來尤其方便。對(duì)多維的、不含熱源的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題,如果有一個(gè)邊界條件是非齊次的也可以用分離變量法,對(duì)于多個(gè)非齊次邊界條件的問題,可以分成幾個(gè)簡單的問題,每個(gè)簡單問題只包含一個(gè)非齊次邊界條件[6]。

對(duì)于本文的熱傳導(dǎo)問題,齊次部分的解為:

式中:R0(βm,r)為特征函數(shù);N(βm)為范數(shù);βm為特征值。

由文獻(xiàn)[6]可得本文傳熱模型的特征函數(shù)、范數(shù)和特征值,如下:

βm是下面特征方程的解:

2.2.2 格林函數(shù)法求解非齊次部分

將式(18)變換可得本文模型齊次部分的解為:

另外齊次部分的解還可以根據(jù)式(13)用格林函數(shù)表示為:

將式(22)和式(23)相比較可得到:

在式(24)中,用(t-τ)代替 t可得所需的格林函數(shù)為:

本文取土壤溫度恒定為Ts,故不考慮初始溫度分布的影響,只考慮第二類邊界條件的影響。由此可以得到鉆孔周圍一維土壤溫度分布為:

式中:J0為第一類零階貝塞爾函數(shù);Y0為第二類零階貝塞爾函數(shù);J0′為第一類貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù),J0′(βm,rb);為第二類貝塞爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定義如上。

以上即為考慮絕熱邊界條件的變熱流無限長柱熱源傳熱模型的解析解表達(dá)式。表達(dá)式第一項(xiàng)為初始溫度的影響,第二項(xiàng)為隨時(shí)間變化的熱流密度對(duì)土壤溫度的影響。

考慮絕熱邊界變熱流無限長傳熱模型的優(yōu)勢:

①該解析解考慮了建筑負(fù)荷變化對(duì)地埋管換熱器的影響,使傳熱模型更加精確;

②在本文傳熱模型下,由于增加了絕熱邊界條件,可忽略相鄰鉆孔之間的熱干擾,避免了多個(gè)鉆孔間由于熱干擾問題而進(jìn)行復(fù)雜的疊加運(yùn)算,為長周期運(yùn)行的地埋管換熱器的設(shè)計(jì)計(jì)算提供了理論基礎(chǔ)。

3 總結(jié)

經(jīng)濟(jì)性是地埋管熱泵技術(shù)能否可以廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵,該技術(shù)換熱效率高,運(yùn)行費(fèi)用低,但是鉆孔費(fèi)用過高,發(fā)展受到制約,故需要一種精確可靠的設(shè)計(jì)方法來降低其鉆孔費(fèi)用。因此,完善地埋管換熱器的傳熱模型,使其可以更精確地描述地埋管換熱器的傳熱過程,由此衍生出更豐富的設(shè)計(jì)方法,以確定地埋管換熱器的最佳尺寸是發(fā)展和推廣地源熱泵技術(shù)的關(guān)鍵。本文在豎直埋管換熱器傳熱模型的基礎(chǔ)上提出了一種考慮絕熱邊界的變熱流無限長柱熱源傳熱模型,并用格林函數(shù)法求解本文非齊次非穩(wěn)態(tài)的傳熱問題的傳熱模型,得到地下埋管換熱器溫度場分布的解析解表達(dá)式,為地埋管換熱器的設(shè)計(jì)計(jì)算提供了一種更精確的傳熱模型。本文傳熱模型雖然精確,但計(jì)算起來比較復(fù)雜,需要進(jìn)一步簡化。

[1]劉文學(xué).地源熱泵地埋管的傳熱性能實(shí)驗(yàn)研究[D].北京:北京工業(yè)大學(xué),2007

[2]馬最良.地源熱泵工程技術(shù)指南[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2001

[3]S P Kavanaugh.Simulation and experimental vertification of vertical ground coupled heat pump systems[D].Oklahoma:Oklahoma State University,1985

[4]J A Shonder,J V Beck.Determining effective soil formation thermal properties from field data using parameter estimation techniq-ue[J].ASHRAE Transactions,1999,105(1):458-466

[5]余延順,馬最良.土壤耦合熱泵系統(tǒng)地下埋管換熱器傳熱模型的研究[J].暖通空調(diào),2005,35(1):26-31

[6]俞昌銘.熱傳導(dǎo)[M].北京:高等教育出版社,1983

[7]楊世銘.傳熱學(xué)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2007

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