薛劭哲，侯明善，張 松

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072）

四旋翼飛行器在商業(yè)和軍事領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用前景，近年受到廣泛關(guān)注。四旋翼飛行器控制系統(tǒng)屬于典型的非線性系統(tǒng)，建模誤差較大，控制通道耦合嚴(yán)重，控制器的性能和魯棒性要求嚴(yán)格。

目前，四旋翼飛行器常用的控制方法仍然基于線性化模型進(jìn)行，如文獻(xiàn)[1-3]分別基于經(jīng)典PID控制、LQ控制、回路成形控制理論設(shè)計(jì)了四旋翼飛行器的控制器，仿真驗(yàn)證了在小姿態(tài)角偏差條件下控制器的有效性。

文獻(xiàn)[4-5]針對(duì)四旋翼飛行器的非線性模型研究了基于反饋線性化和反步法的控制問(wèn)題，驗(yàn)證了方法的可行性。研究表明，這類(lèi)控制器對(duì)控制對(duì)象的參數(shù)變化及外界干擾較為敏感，對(duì)硬件要求也十分苛刻，應(yīng)用仍然存在不少問(wèn)題。滑?？刂凭哂许憫?yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，在控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[6]。文獻(xiàn)[7]在四旋翼飛行器姿態(tài)穩(wěn)定控制中采用常規(guī)滑?？刂?，控制抖振現(xiàn)象嚴(yán)重。

文中對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)穩(wěn)定和速度、高度跟蹤控制問(wèn)題，研究非線性模型條件下基于全局快速終端滑?？刂疲═erminal sliding mode control）方法的控制器設(shè)計(jì)。終端滑?？刂颇軌虮ＷC系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)迅速收斂到平衡狀態(tài)，并削除了一般滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，對(duì)系統(tǒng)不確定性和干擾具有良好的魯棒性。全局快速終端滑模控制器首先由Park和Tsuiiji提出[8]，目前尚未見(jiàn)應(yīng)用于四旋翼飛行器控制器設(shè)計(jì)。

1 四旋翼飛行器非線性動(dòng)力學(xué)模型

將飛行器看作剛體情況下，飛行器在慣性坐標(biāo)系的力平衡方程和機(jī)體坐標(biāo)系的力矩平衡方程如式所示[9]。

式中 ΩT=（φ，θ，ψ）為飛行器的空間姿態(tài)角，即滾轉(zhuǎn)角 φ，俯仰角 θ和偏航角 ψ；rT=（x，y，z） 為飛行器的空間位置；I表示飛行器的慣性張量矩陣，考慮到四旋翼飛行器的對(duì)稱性，其交叉慣性積為零，這樣I成為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上3個(gè)元素分別為軸向慣性主矩Ix，Iy及Iz；JR表示發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωi和 Ti（i=1，2，3，4）分別表示第 i個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速和推力；R 為機(jī)體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

式中τ表示發(fā)動(dòng)機(jī)組同時(shí)作用在機(jī)體上產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，其定義如下

這里Qi表示第i個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)旋翼旋轉(zhuǎn)對(duì)機(jī)體偏航軸產(chǎn)生的反扭矩，l為發(fā)動(dòng)機(jī)軸離開(kāi)重心的垂直距離。

為控制器設(shè)計(jì)方便，定義飛行器的4個(gè)等價(jià)控制輸入量分別為

結(jié)合式，整理可得到四旋翼飛行器的非線性動(dòng)力學(xué)方程組滿足

式中 ωd=-ω1+ω2-ω3+ω4為自定義變量；a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3為簡(jiǎn)化方程描述而定義的常數(shù)，具體表達(dá)式如下：

通過(guò)變換，四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)在形式上對(duì)控制輸入是解耦的，使控制器設(shè)計(jì)比較方便。

2 四旋翼飛行器滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

四旋翼飛行器的控制任務(wù)包括飛行器的姿態(tài)穩(wěn)定、速度控制和高度穩(wěn)定控制。從控制回路的結(jié)構(gòu)看，姿態(tài)控制為內(nèi)環(huán)，速度控制和高度控制為外環(huán)。姿態(tài)角參考值由外環(huán)速度控制回路或高度控制回路給出，因此控制器設(shè)計(jì)分為3部分進(jìn)行。

2.1 姿態(tài)控制回路設(shè)計(jì)

在定義的新的控制輸入作用下，姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)式重新書(shū)寫(xiě)如下

由式容易知道，雖然飛行器的3個(gè)姿態(tài)角存在耦合作用，但如果將耦合作用和看作系統(tǒng)的有限幅值輸入擾動(dòng)，則3個(gè)姿態(tài)角不但對(duì)控制量是解耦的，而且成為相似的二階積分系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)可采用完全相同的方法。姿態(tài)角的交叉耦合可通過(guò)補(bǔ)償消除，只有發(fā)動(dòng)機(jī)旋翼旋轉(zhuǎn)附加的偏航軸總反扭矩ωd屬于擾動(dòng)，可依靠提高控制器魯棒性來(lái)減少其影響，控制器設(shè)計(jì)先不考慮其影響。以滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角為例，無(wú)擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

設(shè)期望的滾轉(zhuǎn)角為 φr，定義滾轉(zhuǎn)角誤差 eφ：=φ-φr，滾轉(zhuǎn)角速度誤差選擇狀態(tài)變量根據(jù)式得到滾轉(zhuǎn)角狀態(tài)方程如下

根據(jù)滑模控制思想，構(gòu)造滑模面為

這里 s0=x1，αφ，βφ＞0，且 qφ，pφ（qφ＜pφ）為正奇數(shù)。

設(shè)計(jì)帶補(bǔ)償?shù)娜挚焖倩？刂坡蔀?/p>

在控制律 u2作用下，對(duì) μφ＞0 和 γφ＞0，滑模面導(dǎo)數(shù)即設(shè)計(jì)的控制律能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

應(yīng)該注意到，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（8）進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)雖然沒(méi)有考慮總反扭矩的ωd作用，但滑?？刂坡杀旧砭哂械聂敯粜詴?huì)減少這種模型不確定性的影響。

對(duì)控制律（10），當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)（x1，x2）遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，收斂時(shí)間主要由終端快速吸引子決定；而當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在原點(diǎn)附近時(shí)，收斂時(shí)間主要由決定，且狀態(tài)按指數(shù)特性快速衰減。由于控制律（10）是連續(xù)函數(shù)，不含切換項(xiàng)，從而沒(méi)有抖振現(xiàn)象。如果選取足夠小的qφ/pφ，則當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面足夠小的鄰域內(nèi)時(shí)狀態(tài)沿滑模面收斂到平衡狀態(tài)，即原點(diǎn)。

同理可得俯仰和偏航姿態(tài)角滑?？刂坡扇缦?/p>

式中g(shù)1，f1分別為俯仰回路和偏航回路的滑模面，且g0、f0、f1、g1及 f1與 s0和 s1具有類(lèi)似的形式；αθ，βθ＞0；μθ，γθ＞0，αψ，βψ＞0，μψ，γψ＞0，qθ，pθ（qθ＜pθ），qψ，pψ（qψ＜pψ）均為正奇數(shù)。

2.2 速度及高度控制回路設(shè)計(jì)

若在懸停狀態(tài)附近對(duì)模型（4）線性化，則高度控制部分將與其他回路獨(dú)立，且只依賴于控制量u1?；诖耍上仍O(shè)計(jì)高度控制器。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性原理設(shè)計(jì)高度控制律為

其中k1，k2為正實(shí)數(shù)，ez=z-zr。這樣高度誤差滿足

顯然，高度誤差是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

根據(jù)上式易知，虛擬控制ux，uy成為獨(dú)立的控制兩個(gè)速度的一階環(huán)節(jié)，控制律設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，可以用單純的比例控制來(lái)實(shí)現(xiàn)。設(shè)控制律表達(dá)式為：

式中kx，ky為正實(shí)數(shù)，可根據(jù)對(duì)速度控制響應(yīng)快慢進(jìn)行選擇。

解上式最后得到：

式（12）和（17）就是速度、高度控制需要的計(jì)算關(guān)系，式（12）給出高度控制律，式（17）確定高度給定情況下需要的期望滾轉(zhuǎn)角和俯仰角。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 姿態(tài)穩(wěn)定控制性能

首先，對(duì)純姿態(tài)穩(wěn)定情形進(jìn)行仿真，控制任務(wù)是在初始姿態(tài)角偏差不為零情況下使飛行器達(dá)到所有姿態(tài)角為零的穩(wěn)定狀態(tài)，即期望的姿態(tài)角和姿態(tài)角速度均為零。給定飛行器 3 個(gè)姿態(tài)角的初始偏差為 φ0=10°，θ0=10°及 ψ0=10°。 姿態(tài)控制仿真結(jié)果曲線如圖1～圖4所示，圖1～圖3分別是滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角特性曲線，圖4是姿態(tài)控制量曲線。

從姿態(tài)角響應(yīng)曲線可以看到，飛行器姿態(tài)角控制穩(wěn)定收斂，滾轉(zhuǎn)和俯仰角振蕩一次收斂，偏航角控制基本無(wú)振蕩，控制量變化比較平滑，沒(méi)有抖振現(xiàn)象出現(xiàn)。

圖1 滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線（姿態(tài)穩(wěn)定）Fig.1 Roll angle response curve （attitude stabilization）

圖2 俯仰角響應(yīng)曲線（姿態(tài)穩(wěn)定）Fig.2 Pitch angle response curve （attitude stabilization）

圖3 偏航角響應(yīng)曲線（姿態(tài)穩(wěn)定）Fig.3 Yaw angle response curve （attitude stabilization）

圖4 控制量變化曲線（姿態(tài)穩(wěn)定）Fig.4 Control effort curves （attitude stabilization）

3.2 全狀態(tài)控制性能

圖5給出了飛行器高度變化曲線，圖6給出了飛行器沿X、Y兩個(gè)方向的速度響應(yīng)曲線，圖7給出了相應(yīng)的姿態(tài)角變化曲線，圖8給出了各通道的控制量變化曲線。

從仿真結(jié)果看，飛行器在較短時(shí)間內(nèi)跟蹤上了給定速度，并近似達(dá)到給定高度值，姿態(tài)角變化平穩(wěn)。由于未考慮空氣阻力，故姿態(tài)角最終均收斂到零。跟蹤過(guò)程中控制量平滑過(guò)渡，沒(méi)有抖振。

圖5 高度值變化曲線（速度跟蹤）Fig.5 Altitude response （velocity tracking）

圖6 X、Y軸向速度變化曲線（速度跟蹤）Fig.6 Speed response of X，Y axis （velocity tracking）

圖7 姿態(tài)角變化曲線（速度跟蹤）Fig.7 Attitude angle responses curve （velocity tracking）

4 結(jié) 論

文中研究了一種基于全局快速終端滑?？刂频乃男盹w行器飛行控制問(wèn)題，根據(jù)飛行器的非線性模型分別設(shè)計(jì)了內(nèi)環(huán)姿態(tài)穩(wěn)定控制器和外環(huán)速度及高度跟蹤控制器。對(duì)姿態(tài)穩(wěn)定及速度指令跟蹤進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果證明控制器能夠很好的完成控制任務(wù)并具有良好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能。

圖8 控制量變化曲線（速度跟蹤）Fig.8 Control effort curves （velocity tracking）

文中研究的四旋翼飛行器屬于微型飛行器范疇，體積和重量很小，易于受到大氣擾動(dòng)的影響，模型參數(shù)擾動(dòng)和外部環(huán)境擾動(dòng)特性對(duì)飛行控制的影響是下一步需要研究的問(wèn)題。

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