【摘 要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)問題，特別是關(guān)于在閉區(qū)間求最值的問題成為許多同學(xué)所困擾的問題，筆者將此問題分為：定軸動(dòng)區(qū)間，定區(qū)間動(dòng)軸和逆向求值問題等三個(gè)問題來加以討論。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；閉區(qū)間；二次函數(shù)；最值

蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第六章學(xué)習(xí)的是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這部分內(nèi)容不僅是整個(gè)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)問題，它還是同學(xué)們以后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)函數(shù)問題的基礎(chǔ)。在閉區(qū)間上求二次函數(shù)的最值問題更是這部分內(nèi)容重點(diǎn)中的重點(diǎn)問題了，它需要學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用有熟悉的了解和掌握。這部分內(nèi)容也常常成為同學(xué)們頭疼的問題，但是又往往是考試的重要出題點(diǎn)。一般地，對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)，當(dāng)x=-■時(shí)，二次函數(shù)就有最值f(-■)。這時(shí)候當(dāng)a>0時(shí)，可以取得最小值；當(dāng)a<0時(shí)，可以取得最大值，這樣的題目還是比較簡單的。而所謂閉區(qū)間上二次函數(shù)求最值就是給變量x取值范圍，它不再是一個(gè)確定的值，而是屬于一個(gè)閉區(qū)間，如x∈[a，b]，這時(shí)候求最值就比較麻煩了。那么，這時(shí)候二次函數(shù)的值一般要分幾種情況來考慮。所以，數(shù)學(xué)教師在教這部分內(nèi)容，要結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像采取一定的步驟，把最值問題按不同的情況進(jìn)行分類，幫助學(xué)生理清思路，幫助學(xué)生記憶。以下是我根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)際，把此問題分為三種不同的情況，淺談一下在閉區(qū)間上二次函數(shù)求最值的問題。

一、定軸動(dòng)區(qū)間

所謂的定軸動(dòng)區(qū)間就是說這時(shí)候二次函數(shù)的對(duì)稱軸是可以確定的，而閉區(qū)間不確定，有一定的變量存在，是不確定的。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值受制于對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，特別是含參數(shù)的兩類“定區(qū)間動(dòng)軸、定軸動(dòng)區(qū)間”的最值問題，要考察區(qū)間與對(duì)稱軸的相對(duì)位置關(guān)系，分類討論常成為解題的通法，這些問題其實(shí)仔細(xì)思考就很容易解決。通過二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，我們不難觀察到：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。

例1.求f(x)=－x2+2x-2在閉區(qū)間[t，t+1]上最大值和最小值是多少。

分析：根據(jù)二次函數(shù)最值出現(xiàn)的可能：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)取到。在這個(gè)例題中，這個(gè)二次函數(shù)是開口向下的，在閉區(qū)間上，它的最大值在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最小值不可能是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只可能是閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，哪個(gè)端點(diǎn)距離對(duì)稱軸遠(yuǎn)就在哪個(gè)端點(diǎn)取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點(diǎn)與左右端點(diǎn)的遠(yuǎn)近分兩種情況討論。

解：由二次函數(shù)f(x)=－x2+2x-2，可以很簡單的得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1。

（1）求二次函數(shù)的最大值f(x)max

當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

當(dāng)t<1≤t+1，即t<0時(shí)，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

當(dāng)t≥1時(shí)，f(x)max=f(t)=-t2+2t-2

（2）求二次函數(shù)的最小值f(x)min

當(dāng)■<1時(shí)，t<■，f(x)min= f(t)=-t2+2t-2

當(dāng)■≥1時(shí)，t≥■，f(x)min= f(t+1)=-t2-1

這樣，這道題的最值就由分別討論得出來了，這就是定軸動(dòng)區(qū)間的情況，求最大值的時(shí)候主要考察對(duì)稱軸有沒有在區(qū)間里，因?yàn)楫?dāng)圖像開口向下的時(shí)候，區(qū)間兩端點(diǎn)和對(duì)稱軸上都有取得最大值的可能性，而最小值的取值不可能在圖像頂點(diǎn)，只可能是區(qū)間兩端點(diǎn)，所以只分兩種情況就可以了。

二、定區(qū)間動(dòng)軸

所謂的定區(qū)間動(dòng)軸是和定軸動(dòng)區(qū)間正好相反的一種情況，這種情況是區(qū)間固定，而圖像的對(duì)稱軸是不固定的情況。這種情況下，想要求得二次函數(shù)的最值也是要分情況討論而定，這種分類其實(shí)本質(zhì)上和定軸動(dòng)區(qū)間的情況一樣。

例2.求f(x)=x2+2ax+1在區(qū)間[-1，2]上的最小值和最大值是多少？

分析：從這個(gè)二次函數(shù)來講，其圖像的開口向上，其最小值有可能在頂點(diǎn)和區(qū)間兩端出現(xiàn)，這就需要考查對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)部；最大值只能出現(xiàn)區(qū)間的兩端點(diǎn)。

解：由二次函數(shù)f(x)=x2+2ax+1，可得對(duì)稱軸方程為：x=-a.

（1）求二次函數(shù)的最小值f(x)min

當(dāng)-a<-1，即a>1時(shí)，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

當(dāng)-1≤-a<2即-2

當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)，f(x)min=f(2)=4a+5;

（2）求二次函數(shù)的最大值f(x)max

當(dāng)-a<■即a>-■時(shí)，f(x)max= f(2)=4a+5;

當(dāng)-a≥■即a≤-■時(shí)，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

三、逆向求值問題

所謂逆向求值問題就是已知了一個(gè)二次函數(shù)在某一段區(qū)間上的最值，而求二次函數(shù)系數(shù)上的某個(gè)變量的值的運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)求最值的逆向運(yùn)算，是二次函數(shù)求最值運(yùn)算的一種變化的題型，這種題型在考試中也是經(jīng)常出現(xiàn)的。

例3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+(2a-1)x+1在區(qū)間[-■，2]上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值是多少？

分析：這個(gè)問題，若從求最值入手，需分a>0與a<0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過程就簡明多了。

解：（1）當(dāng)最大值在圖像的頂點(diǎn)處的時(shí)候，即令f(-■)=3，得到a=-■;此時(shí)拋物線的開口向下，對(duì)稱軸x=-2，不在區(qū)間[-■，2]上，所以a=-■是不符合題意的。

（2）令f(2)=3，得到a=■，此時(shí)拋物線的開口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，所以a=■是符合題意的。

（3）令f(-■)=3，得到a=-■，此時(shí)拋物線的開口向下，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，所以a=-■是符合題意的。

綜上所述，a=■或者a=-■都是符合題意的。

總之，二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值一直是教師和同學(xué)感到棘手的問題，其實(shí)只要分析清楚題目，看清題目是屬于哪一個(gè)類型，然后再分類解決就可以了。在平時(shí)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們一定做好知識(shí)的梳理工作，勤于思考，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通，舉一反三。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：江蘇省靖江市靖城中學(xué)）