摘 要 本文運(yùn)用準(zhǔn)經(jīng)典粒子理論和量子力學(xué)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，引入動(dòng)能和勢(shì)能算符，推出介觀系統(tǒng)下二維激子的能量測(cè)不準(zhǔn)量公式及其能級(jí)寬度，并由已有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)超晶格中二維激子橢圓軌道的偏心率e很小，其軌跡近似于圓；同時(shí)那些偏心率較大的激子就很容易離解，其壽命也非常短，存在的幾率也非常小，與文獻(xiàn)吻合。

關(guān)鍵詞 超晶格；量子阱；激子；能級(jí)寬度

中圖分類號(hào) O471 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1673-9671-(2012)062-0218-03

1969年，江崎和朱兆祥提出由兩種不同的超薄層來構(gòu)成一維周期性結(jié)構(gòu)，于是開始了對(duì)人工半導(dǎo)體超晶格量子阱的研究。超晶格量子阱是一種新型的人工結(jié)構(gòu)晶體，它是由不同超薄材料或者不同導(dǎo)電類型的相同超薄材料交替生長而成的并且具有周期排列的單層厚度通常為幾個(gè)或幾十個(gè)分子（原子）層，比通常晶體的晶格尺寸大得多。半導(dǎo)體超晶格量子阱材料的出現(xiàn)可以說是近幾十年來半導(dǎo)體物理學(xué)及材料學(xué)中的一個(gè)重大突破。這種完全由人工合成的新結(jié)構(gòu)顯示了天然晶體中所不存在的許多新現(xiàn)象，從而給予半導(dǎo)體物理的基礎(chǔ)研究以新的刺激。

1 理論計(jì)算

1.1 能量測(cè)不準(zhǔn)公式

當(dāng)一粒子沿著一軌道加速（或減速）運(yùn)動(dòng)時(shí)，在保守場(chǎng)中波包中心的軌跡即是粒子運(yùn)動(dòng)軌道，波包動(dòng)量的平均值就是粒子在經(jīng)典意義下的動(dòng)量，而且粒子的動(dòng)能和勢(shì)能在不斷變化中。設(shè)勢(shì)能的算符為Ep，粒子動(dòng)能的算符為Ek，能為量的算符E=Ek+Ep。由量子力學(xué)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

ΔEk，ΔEp分別為動(dòng)能、勢(shì)能測(cè)不準(zhǔn)量。假定（2.2）式等號(hào)近似成立。與（2.2）類似，同樣有

由于[E，Ek]=[Ep，Ek]，[E，Ep]=[Ek，Ep]，（2.3）、（2.4）相乘，利用（2.2）式取其中等號(hào)能量測(cè)不準(zhǔn)量為

由于動(dòng)能算符與勢(shì)能算符不對(duì)易，即[Ek，Ep]≠0，對(duì)于可用軌道來描述的粒子，波包中心沿軌道作經(jīng)典運(yùn)動(dòng)，一般情況下

因此可利用上式來估算能量的測(cè)不準(zhǔn)量，同時(shí)我們已經(jīng)證明上式在本征態(tài)時(shí)為零，而在疊加態(tài)時(shí)一般不為零。

1.2 超晶格量子阱中二維激子軌道方程

激子之間的電荷引力是有心力作用，因而兩電荷始終在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滿足軌道微分方程即比耐公式

其中：，，F(xiàn)為引力取負(fù)，為斥力取正。

激子之間作用力為電荷引力，

，其中

代入（2.6）式得

令

則（2.7）式變?yōu)?/p>

此微分方程的形式與諧振動(dòng)方程完全一樣，所以它的解是

即

上式中A及θ0是兩個(gè)積分常數(shù)，如果把極軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，可使；即（2.9）式可簡(jiǎn)化為

（2.10）式即為我們所求激子軌道方程。如果把它和在極坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線方程：

相比較，知軌道是原點(diǎn)在焦點(diǎn)上的圓錐曲線，力心位于焦點(diǎn)上，且p=h2/k2，Ah2/k2=Ap=e，p為圓錐曲線正焦弦長度的一半，e為偏心率，θ應(yīng)從焦點(diǎn)至準(zhǔn)線所作的垂線量起。

激子間作用力是有心力，因此機(jī)械能守恒

（2.12）

因此激子能量在平面極坐標(biāo)系中為

作下列變換

解出，并分離變量，得

（2.14）式與（2.11）式比較得

因此只要知道激子能量E和角動(dòng)量（或是e），則軌道形狀可以完全確定。

1.3 超晶格中二維激子能量測(cè)不準(zhǔn)公式

在平面極坐標(biāo)中，橢圓曲線方程為：

其中動(dòng)能算符與勢(shì)能算符對(duì)易關(guān)系為：

（2.18）

動(dòng)能算符，勢(shì)能算符在平面極坐標(biāo)系分別為：

其中m為電子有效質(zhì)量，ε為材料介電常數(shù)，q為電子電量。

則（2.18）式可化為：

則上式變?yōu)椋?/p>

在平面極坐標(biāo)系中的動(dòng)量算符為：

代入（2.22）式得

（2.24）

可以得到：

波包不很大時(shí)，上式積分主要在θ0附近，上式可以略等于：

（2.25）

上面ψ是歸一化波函數(shù)，積分在整個(gè)空間進(jìn)行。θ0是極軸與波包中心和平面極坐標(biāo)中心的連線的夾角。

利用（2.16）式得到：

（2.26）

應(yīng)用準(zhǔn)經(jīng)典理論E=Ek+Ep，其中E是激子束縛能，Ek是動(dòng)能，Ep是勢(shì)能，代入橢圓軌道的曲線，即認(rèn)為經(jīng)典動(dòng)量與波包動(dòng)量略等于即

其中：

所以在e確定的情況下，在任何一點(diǎn)的p02也能確定。

所以能量測(cè)不準(zhǔn)量為

（2.28）

其中，，。

2 數(shù)值模擬與分析

下面我們考慮在GaAs材料中的情況，并運(yùn)用已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)合（2.28）式，選取參數(shù)

m=0.067m0，ε=13.1ε0

其中m0為電子靜止時(shí)質(zhì)量，ε0為在真空中介電常數(shù)，取激子束縛能E為-8.6mev。公式（2.16）中ΔE為測(cè)不準(zhǔn)能量，即為能量的半峰高全寬度。假設(shè)激子能量分布線型是洛侖茲型，記為gi（E，E0，ΔE(θi)），其歸一化函數(shù)為：

（2.29）

當(dāng)θi取不同角度時(shí)，ΔE為測(cè)不準(zhǔn)能量，其中E0為激子能量。其疊加的最終結(jié)就近認(rèn)為仍是洛侖型，即

（2.30）

n為分成的份數(shù)，q為粒子相對(duì)幾率。

近似用經(jīng)典的方法確定激子在任一范圍的幾率，即激子作經(jīng)典運(yùn)動(dòng)在此范圍停留的時(shí)間與激子處于任一范圍的幾率成正比。由于激子沿橢圓的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)在單位時(shí)間內(nèi)通過的面積相等。即

（2.31）

其中c為一正數(shù)。由此可得，激子在該角度角速度與在某一角

度的幾率與成反比。相對(duì)幾率為。

由以上數(shù)據(jù)就可以得到當(dāng)e=0.04時(shí)，激子半峰高全寬度為2.42mev；當(dāng)e=0.09時(shí)，激子半峰高全寬度為3.63mev；同時(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)橢圓的軌道的偏心率e=0.35時(shí)，測(cè)得激子半峰高全寬度為8.70mev，此時(shí)能量測(cè)不準(zhǔn)量大于激子束縛能E，因此激子已經(jīng)離解。

對(duì)于激子的壽命可以利用公式計(jì)算，其中ΔE為譜

線半峰高全寬度。最后就得出，當(dāng)e=0.04時(shí)，τ=0.27ps；e=0.09時(shí)，τ=0.18ps；e=0.35時(shí)，τ=75.4fs。在（2.28）式中，我們利用dΔE（θi）/dθi=0，可以求出能量測(cè)不準(zhǔn)量ΔE（θi）的極值。即當(dāng)

時(shí)，能量測(cè)不準(zhǔn)量ΔE（θi）為極大值，θ0=π時(shí)，能量測(cè)不

準(zhǔn)量ΔE（θi）為極小值。這實(shí)際上也很好解釋，在橢圓軌道運(yùn)動(dòng)中，電子在軌道最遠(yuǎn)端（θ0=π）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的速度最小，即動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)換比較慢，因此，能量就較容易測(cè)準(zhǔn)，即能量的測(cè)不

準(zhǔn)量最?。划?dāng)電子在與橢圓軌道的焦點(diǎn)垂直（）時(shí)，運(yùn)動(dòng)

速度最大，即動(dòng)能和勢(shì)能的轉(zhuǎn)換比較快，因此，能量的測(cè)不準(zhǔn)量最大。

3 結(jié)果

因此通過上述公式和數(shù)值模擬得到如下結(jié)論：在介觀系統(tǒng)中，具有橢圓的軌道激子偏心率很小，其軌道近似于圓；對(duì)于偏心率較大的激子就非常容易離解，壽命就非常短，存在幾率也非常小。

參考文獻(xiàn)

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[4]陳亞孚.超晶格量子阱物理，北京希望電子出版社，2002.

作者簡(jiǎn)介

何治江（1990—）男，重慶人，本科，研究方向：物理教學(xué)。