摘 要： 本論文由初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)本身的一些特性出發(fā)，討論了初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一些聯(lián)系和矛盾，它們之間聯(lián)系的意義，以及如何從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)。
　　關(guān)鍵詞： 初等數(shù)學(xué) 高等數(shù)學(xué) 聯(lián)系 矛盾 過(guò)渡
　　1.引言
　　數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，特別是畢業(yè)后當(dāng)老師的同學(xué)，一入學(xué)就發(fā)現(xiàn)他們面對(duì)的問(wèn)題是，要學(xué)的知識(shí)好像同中學(xué)學(xué)過(guò)的一點(diǎn)聯(lián)系也沒(méi)有。由于缺乏指導(dǎo)，又很難明辨當(dāng)前的中學(xué)教學(xué)內(nèi)容和大學(xué)課程之間的聯(lián)系。因此常會(huì)對(duì)大學(xué)所學(xué)課程有疑惑，甚至忽視。實(shí)際上，解決辦法之一是通過(guò)掌握相當(dāng)程度的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，讓初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合，“居高臨下”，注重高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的滲透，從較高層次去聯(lián)系、指導(dǎo)和研究初等數(shù)學(xué)。
　　我們所說(shuō)的初等數(shù)學(xué)通常是指中學(xué)階段所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，內(nèi)容包含有代數(shù)，幾何，解析幾何，函數(shù)與數(shù)列等內(nèi)容，處理一些有限量的直觀的實(shí)際問(wèn)題。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)階段所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，內(nèi)容有微積分，抽象代數(shù)，解析幾何等內(nèi)容，其特點(diǎn)是用極限的手段解決更切合實(shí)際的問(wèn)題，是初等數(shù)學(xué)知識(shí)的補(bǔ)充與擴(kuò)充。本論文研究的主要內(nèi)容是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系和矛盾。
　　2.初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的矛盾和聯(lián)系
　　2.1初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的矛盾
　　2.1.1動(dòng)與靜的矛盾現(xiàn)象
　　因初等數(shù)學(xué)是用較直觀的方法處理問(wèn)題，從而對(duì)事物的變化規(guī)律的揭示，往往停留于相對(duì)靜止的狀態(tài)下去分析解決問(wèn)題，而高等數(shù)學(xué)卻采用極限的手段，對(duì)事物的變化規(guī)律通過(guò)對(duì)事物的動(dòng)態(tài)描述而揭示，從而結(jié)果更精確。如對(duì)物理問(wèn)題：已知非勻速連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度等。
　　2.1.2曲與直的矛盾現(xiàn)象
　　初等數(shù)學(xué)主要以研究“直邊圖形”為主，而對(duì)于不規(guī)則的曲邊、曲面圖形問(wèn)題，就難以解決。但在高等數(shù)學(xué)中能用極限手段化曲為直，使問(wèn)題初等化。如積分學(xué)中著名的求曲邊梯形面積的問(wèn)題，即已知y=f（x）>0，x∈［a，b］，計(jì)算由x=a，x=b，y=0，y=f（x）所圍成的曲邊梯形AbBa的面積。
　　2.1.3有限與無(wú)限的矛盾現(xiàn)象
　　在初等數(shù)學(xué)中，由于只運(yùn)用有限次代數(shù)運(yùn)算，因此無(wú)法描述事物變化的無(wú)限過(guò)程。對(duì)于連續(xù)變量，初等數(shù)學(xué)只能把它作為一單位和靜止的東西加以研究，無(wú)法把它看成某種連續(xù)運(yùn)動(dòng)所形成的結(jié)果。在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用極限方法能把連續(xù)量看成是支點(diǎn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，認(rèn)為“無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量的和”就是一個(gè)確定的量，通過(guò)極限的方法，有限與無(wú)限可以互相轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)有限與無(wú)限的最終統(tǒng)一。
　　例：求無(wú)限和1+++…++…
　　先求有限和S=1+++…+=2（1-），然后對(duì)n取極限就成無(wú)限和S=S=2.另外，一個(gè)確定的數(shù)或初等函數(shù)也可以表示成無(wú)限和的形式，如：=+++…，sinx=x-+…+（-1）+….
　　2.1.4特殊與一般的矛盾現(xiàn)象
　　從特殊至一般和從一般到特殊都是數(shù)學(xué)思考的重要方法，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)就是從特殊到一般的過(guò)渡。初等數(shù)學(xué)常有許多問(wèn)題本身不能解決而需要借助高等數(shù)學(xué)解決，而高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展的，如在研究各種具有幾個(gè)自由度的物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了描述這種系統(tǒng)的狀態(tài)，需要引進(jìn)一種量——向量，而這種向量的研究與由兩個(gè)，三個(gè)有序的實(shí)數(shù)確定的矢量有很多相似之處，若抽象地看，后者便是前者的特殊情況。
　　向量應(yīng)用于代數(shù)可以使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。
　　2.1.5具體與抽象的矛盾
　　初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的概念都是抽象的，它們是現(xiàn)實(shí)的量的關(guān)系的反映，都是人們通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)所獲得的認(rèn)識(shí)。一般來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)借以抽象的基礎(chǔ)比初等數(shù)學(xué)更廣，概括面更寬，抽象的結(jié)果更深刻。高等數(shù)學(xué)能夠更加接近真實(shí)地反映實(shí)際事物的量的關(guān)系，得到更精確的結(jié)果，但高等數(shù)學(xué)在建立自己的抽象概念時(shí)又往往以初等數(shù)學(xué)概念作為具體，如線性空間這抽象的概念是集合的抽象，群、環(huán)等是實(shí)數(shù)集的抽象。
　　2.2初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系
　　2.2.1高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系之一是高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)理論上的支持，即初等數(shù)學(xué)中一些無(wú)法闡釋清楚的理論問(wèn)題，必須利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)才能解決。
　　2.2.2高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系之二是高等數(shù)學(xué)也可以為初等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法提供理論依據(jù)。
　　例如，數(shù)學(xué)證明的常用方法，數(shù)學(xué)歸納法，只講怎樣運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法而避而不談數(shù)學(xué)歸納法原理的證明，中學(xué)數(shù)學(xué)教材這樣處理是考慮到中學(xué)生的知識(shí)水平、年齡特征和中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。數(shù)學(xué)歸納法的合理性，是由自然數(shù)的歸納法公理或最小數(shù)原理所保證的，其應(yīng)用的具體步驟，也就是由歸納公理所提供的，由該公理還可以演變出各種形式的歸納證明方法：第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、反向歸納法、無(wú)窮遞降歸納法，用這些方法可以解決用其他數(shù)學(xué)方法難于處理的許多問(wèn)題，具體實(shí)例在此從略。
　　2.2.3高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系之三是高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)具有指導(dǎo)性作用。
　　例如：用初等數(shù)學(xué)的方法研究函數(shù)的增減性、凹凸性、求極值最值等種種特性有很大的局限性。而在高等數(shù)學(xué)中利用極限、導(dǎo)數(shù)、級(jí)數(shù)等知識(shí)，可用比較完備的方法研究函數(shù)的特性。
　　2.2.4高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系之四是可將一些高等數(shù)學(xué)的知識(shí)直接用來(lái)解決初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)便的效果。
　　綜上所述，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)雖有一定的“矛盾”現(xiàn)象，但它們之間也有一定聯(lián)系，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的深化，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。由上述這些例子可以看到，教師僅具備初等數(shù)學(xué)的知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)補(bǔ)充自己。
　　3.由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過(guò)渡
　　3.1教材
　　高中教材難度較小，且表述通俗形象。研究的多是常量的定量計(jì)算，容易理解和接受。但高等數(shù)學(xué)的深度和廣度均有了較大的變化，難度也相應(yīng)增大，研究的又是變量及變量之間的關(guān)系。要求有較高的理解和分析能力，課容量也明顯大得多，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng)。
　　3.2學(xué)習(xí)方法
　　中學(xué)階段，對(duì)理解、歸納和概括的能力要求較低，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)不善于獨(dú)立思考和深入鉆研。通常是死記硬背公式、定理和解題方法。進(jìn)入大學(xué)后，還沿用這種學(xué)習(xí)方法，習(xí)慣于照搬、套用現(xiàn)成的公式和計(jì)算方法。但高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，要求勤于思考、獨(dú)立鉆研、善于歸納。比如極限部分內(nèi)容就沒(méi)有現(xiàn)成公式可套，而教師的教學(xué)方法也有了變化，因此學(xué)生很不適應(yīng)。
　　3.3思維能力
　　高等數(shù)學(xué)必須圍繞提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力而展開。數(shù)學(xué)教學(xué)主要是思維活動(dòng)的教學(xué)，應(yīng)該把激發(fā)學(xué)生思維活動(dòng)的內(nèi)容滲透于整個(gè)教材之中，將唯物辯證法的辯證統(tǒng)一規(guī)律貫穿于整個(gè)教學(xué)活動(dòng)之中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和動(dòng)態(tài)思維能力。
　　3.4教學(xué)
　　首先要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)基本能力是數(shù)學(xué)教師必備的素質(zhì)，高等數(shù)學(xué)因其高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，而成為培養(yǎng)學(xué)生基本能力的極好教材，所以在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中必須對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基本能力加以培養(yǎng)。
　　4.結(jié)語(yǔ)
　　在高等數(shù)學(xué)中融入一些初等數(shù)學(xué)的知識(shí)和新方法，能夠產(chǎn)生對(duì)陌生知識(shí)的親切感，有利于接受新知識(shí)和方法，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，以達(dá)到解決高等數(shù)學(xué)入門難的目的。在不加重學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下，適當(dāng)?shù)亟榻B一些課外數(shù)學(xué)知識(shí)，使得能夠接觸某些數(shù)學(xué)理論，搞清一些公式、題目、結(jié)論的來(lái)源，這對(duì)于開拓思路，駕馭知識(shí)培養(yǎng)能力，是十分有益的。這樣，在工作崗位上，不至于使高等數(shù)學(xué)里所學(xué)的知識(shí)與初等數(shù)學(xué)的知識(shí)脫節(jié)，有助于我們將所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)在中學(xué)里加以發(fā)揮和施