王秀麗

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

偽k－投射半模

王秀麗

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

引進(jìn)了偽k－投射半模的概念，并利用與k－投射半模和偽投射模相類似的研究方法，得到了偽k－投射半模的一些性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了偽投射模和k－投射半模的一些性質(zhì)到偽k－投射半模的推廣.

可吸收半模；k－正則同態(tài)；偽k－投射半模；真正合列；自由半模

1 預(yù)備知識(shí)

本文中的R均表示有單位元1的半環(huán).如果沒有特別強(qiáng)調(diào)，所有的半模M都是指對任意的m∈M，滿足1·m＝m的左R－半模，而且所有的同態(tài)都是R－同態(tài)..

下面陳述幾個(gè)本文要用到的定義：［1－3］

（1）一個(gè)半環(huán)R滿足左消去律當(dāng)且僅當(dāng)對任意

一個(gè)半模M滿足左消去律當(dāng)且僅當(dāng)對任意

（2）半模M的一個(gè)非空子集N是可吸收的當(dāng)且僅當(dāng)對任意m，m′∈M，由m＋m′∈N和m∈N可推出m′∈N.

（3）一個(gè)半環(huán)R是完全可吸收的，如果R是完全可吸收半模；一個(gè)半模M是完全可吸收的當(dāng)且僅當(dāng)M的每個(gè)子半模N是可吸收的.

（4）設(shè)α：A→B是一個(gè)半模同態(tài)，如下定義B的子半模Imα：

α是i－正則的，如果α（A）＝imα.α是k－正則的，如果對任意a，a′∈A，由α（a）＝α（a′）可推出

α是半單同態(tài)，如果Ker（α）＝0.

（5）序列A→B→C是一個(gè)真正合列，如果

的真正合列稱為一個(gè)短真正合列.

2 偽k－投射半模

H.M.Al－Thani在文獻(xiàn)［2－3］中已經(jīng)分別給出了投射半模和k－投射半模的概念，下面將要給出偽k－投射半模的概念，并利用與偽投射模和k－投射半模相類似的研究方法［4－7］給出關(guān)于偽k－投射半模的一些主要結(jié)果.

定義2.1一個(gè)R－半模M是偽投射半模，如果對任何R－半模A，滿同態(tài)f：M→A和g：M→A，存在一個(gè)R－同態(tài)h：M→M使得g＝fh，即半模同態(tài)交換圖（1）可交換.特別的，如果f是一個(gè)k－正則同態(tài)時(shí)，M就被稱作偽k－投射半模.

定理2.1設(shè)M是一個(gè)R－半模，則下面的條件等價(jià)：

（1）M是偽k－投射的；

（2）對任何短正合列

是正合的，則需證明：

（2）?（1）.顯然成立.

（1）?（3）.對每個(gè)子半模K≤M，任意自然滿同態(tài)nk：M→M／K是k－正則的.由于M是偽k－投射的，因此每個(gè)R－同態(tài)h：M→M／K可通過n k進(jìn)行分解.

（3）?（1）.假設(shè)有一個(gè)滿的k－正則同態(tài)β：M→N滿足K＝Ker（β），則由分解定理［3］，存在一個(gè)滿同態(tài)h：N→M／K使得hβ＝nk.設(shè)h（n）＝h（n′），由于β是滿的，則有hβ（m）＝hβ（m′），其中β（m）＝n，β（m′）＝n′，因此m／K＝m′／K，即有m＋k＝m′＋k′，其中k，k′∈K.因此β（m）＝β（m′），進(jìn)而h是一個(gè)同構(gòu).由假設(shè)，如果γ：M→N是一個(gè)半模同態(tài)，則hγ可通過nk進(jìn)行分解：即有一個(gè)半模同態(tài)ˉγ使得圖（2）可交換.因此有

參照文獻(xiàn)［8－10］有下面的結(jié)論.

定理2.2設(shè)M是一個(gè)半模，則下面的敘述是等價(jià)的：

（1）M是偽k－投射的；

（2）對任意R－半模A，任意滿的k－正則同態(tài)g：B→A（其中B是M的滿同態(tài)像）和滿同態(tài)f：M→A，存在一個(gè)半模同態(tài)h：M→B使得f＝gh.

證明（2）?（1）.顯然成立.

（1）?（2）.給定R－半模同態(tài)交換圖（3），其中f是一個(gè)k－正則滿同態(tài).由于B是M的滿同態(tài)像，故存在滿同態(tài)n：M→B→0，因此gn：M→A→0是滿的.由結(jié)論（1）可知，存在半模同態(tài)h1：M→M使得f＝gnh1，取h＝nh1：M→B，則有g(shù)h＝gnh1＝f.

定理2.3設(shè)Mi是一個(gè)R－半模，（Mi）i∈A是R－半模的集合.則⊕A M i是偽k－投射的當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)M i是偽k－投射的.

證明給定一個(gè)R－半模同態(tài)圖（4），其中f是一個(gè)k－正則滿同態(tài)，利用該圖分別構(gòu)造半模同態(tài)交換圖（5）和圖（6）去證明定理的結(jié)論.

由于⊕A M j是偽k－投射的，由定理2.2，存在一個(gè)R－半模同態(tài)h i：⊕A M i→Mj使得fh i＝gπj.設(shè)h＝hii j：Mj→Mj，則fh＝fhii j＝（gπj）ij＝g（πji j）＝g I⊕AMi＝g.

充分性.考慮半模同態(tài)交換圖（6），可用與上面相類似的方法證明.如果每個(gè)M j是偽k－投射的，則對每個(gè)j，存在hj：M j→M j使得fh j＝gij.設(shè)h：⊕A M i→Mj滿足h（〈mj〉）＝∑ih j（mj），其中和式中有有限個(gè)mj≠0.顯然h是一個(gè)R－半模同態(tài).由于fhj＝gij，進(jìn)而對每個(gè)j，有fh jπj＝gijπj，所以fh＝g.

定義2.2［3］一個(gè)R－半模P是k－正則的，如果存在一個(gè)自由R－半模F和一個(gè)滿的R－同態(tài)f：F→P使得f是k－正則的.

定理2.4設(shè)P是一個(gè)k－正則半模，則下面的結(jié)論等價(jià)：

（1）P是偽k－投射的；

（2）P是投射的.

證明（1）?（2）.假設(shè)P是偽k－投射的.由于P是k－正則的，則存在一個(gè)自由R－半模F和一個(gè)k－正則滿R－同態(tài)α：F→P.又由假設(shè)P是偽k－投射的，則存在R－同態(tài)β：P→F使得βα＝Ip.設(shè)｛ek：k∈K｝是F的一組基，如果x∈P，則β（x）∈F.因此可記

其中λk∈R且對幾乎所有的k，λk＝0.定義βk（x）＝λk，則βk是R－同態(tài).由于α是滿射，所以｛p k：k∈K｝生成P，其中p k＝α（ek）.而且，如果x∈P，則

由定理2.1可知P是投射的.

（2）?（1）.顯然.

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Pseudok－projective semimodules

WANG Xiu－li
（Science College，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）

In this paper，the concept of pseudok－projective semimodules is introduced，then on the similar method tok－projective semimodules and pseudo－projective modules，it gets some good properties of pseudok－projective semimodules，which realize the generalizations of some properties of pseudo－projective semimodules andk－projective semimodules to pseudok－projective semimodules.

subtractive semimodules；k－regular homomorphism；pseudok－projective semimodules；proper exact sequence；free semimodules

O 153.3

110·21

A

1000－1832（2012）01－0041－04

2011－06－30

天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（08JCYBJC13900）；中國民航大學(xué)理學(xué)科研基金資助項(xiàng)目（2010kys06）.

王秀麗（1976—），女，碩士，講師，主要從事環(huán)與代數(shù)研究.

陶 理）