李永濤，張志增，楊子勝，胡江春

（中原工學(xué)院，鄭州450007）

橫觀各向同性巖體位移解析解與數(shù)值解對比研究

李永濤，張志增，楊子勝，胡江春

（中原工學(xué)院，鄭州450007）

在橫觀各向同性巖體中巷道的位移解析解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)值計算軟件FLAC3D，得到了不同傾角下的數(shù)值解，并將初始狀態(tài)下的位移解析解同不同傾角下的數(shù)值解進(jìn)行對比研究，通過誤差分析得出了解析解的工程適用范圍.

橫觀各向同性；解析解；數(shù)值解；工程適用范圍

各向異性是巖體的一個重要性質(zhì)，隨著巖石力學(xué)理論和試驗研究的不斷深入，逐漸被人們所認(rèn)識.由于分布有一組占絕對優(yōu)勢的結(jié)構(gòu)面，層狀巖體的變形和強(qiáng)度特性具有明顯的各向異性，因此與各向同性巖體相比，其穩(wěn)定性和破壞條件也表現(xiàn)得較為復(fù)雜，這對工程的施工及建筑物的穩(wěn)定性會產(chǎn)生某些特殊的影響［1］.各向異性使巖體的力學(xué)問題變得復(fù)雜，若將層狀巖體當(dāng)作各向同性巖體來進(jìn)行工程設(shè)計和計算，將導(dǎo)致不可忽視的誤差.對于層狀巖體，一般在力學(xué)上可將其處理成橫觀各向同性巖體［2］.所謂橫觀各向同性巖體，是指巖體在平行于層面的任意方向都具有相同的材料常數(shù)，而平行層面和垂直層面的材料參數(shù)則不同.

近年來，伴隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，用于巖體穩(wěn)定性分析的數(shù)值計算方法日臻成熟.當(dāng)前應(yīng)用于巖體工程問題的主要數(shù)值分析方法有：有限單元法、邊界元法、有限差分法、離散單元法、無限元法、界面單元法、無單元法、非連續(xù)變形分析法、流形元法以及由以上各種方法相組合而得到的混合數(shù)值計算方法等.當(dāng)巖體被裂隙切割成塊體集合時，非連續(xù)的數(shù)值計算方法如離散單元法、非連續(xù)變形分析法等可以更逼真地反映巖體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但塊體的拓?fù)浞治鲞^于繁雜.所以目前在巖土工程的數(shù)值計算中，應(yīng)用較廣的還是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的數(shù)值計算方法.

本文在橫觀各向同性巖體中巷道的位移解析解［3］的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)值計算軟件FLAC3D，得到了不同傾角下的數(shù)值解，并將初始狀態(tài)下的位移解析解同不同傾角下的數(shù)值解進(jìn)行對比研究.通過誤差分析，首先得到了初始應(yīng)力下的解析解的工程適用范圍；然后改變水平初始地應(yīng)力，驗證了解析解的工程適用范圍的適用性.

1 橫觀各向同性巖體中巷道的位移解析解

1.1 問題描述

對于圓形巷道，作如下假設(shè)：

（1）圍巖為連續(xù)、均質(zhì)、線彈性、橫觀各向同性巖體，位移和應(yīng)變是微小的.

（2）巷道橫斷面平行于橫觀各向同性面，巷道橫斷面為圓形，a為巷道半徑.

（3）巷道橫斷面尺寸遠(yuǎn)小于其軸向長度，因此，體積應(yīng)變可以簡化為平面應(yīng)變進(jìn)行求解.

（4）巷道埋深大于其半徑的10倍，這種類型的巷道可以假設(shè)為深埋巷道.在巷道開挖前，巷道上部和下部位置的初始應(yīng)力場是不等的.由于假設(shè)巷道為深埋，這種應(yīng)力差可以忽略［4］.

（5）初始地應(yīng)力為二向不等壓應(yīng)力狀態(tài)，豎直方向的初始地應(yīng)力為p，水平方向的初始地應(yīng)力為q.

（6）巷道圍巖的自重相對于整個初始地應(yīng)力來說較小，所以計算時可忽略影響范圍內(nèi)的自重.

這樣就構(gòu)成了二向不等壓應(yīng)力條件下橫觀各向同性巖體中圓形巷道的理想模型，如圖1所示.

圖1 橫觀各向同性巖體中圓形巷道的理想模型

1.2 橫觀各向同性巖體中圓形巷道的位移解析解

橫觀各向同性巖體中圓形巷道的位移公式［3］如下：式中：ur為橫觀各向同性巖體中圓形巷道的徑向位移；E為橫觀各向同性面上的楊氏模量；μ為橫觀各向同性面上的泊松比；E′為垂直各向同性面上的楊氏模量；μ′為垂直各向同性面上的泊松比；r為極坐標(biāo)下的半徑；θ為極坐標(biāo)下的傾角.

2 橫觀各向同性巖體中巷道的位移解析解與數(shù)值解的對比分析

2.1 p＝10MPa，q＝20MPa時位移解析解與數(shù)值解的對比分析

模型的計算區(qū)域為50m×50m，劃分的網(wǎng)格見圖2，其中xy平面為橫觀各向同性面.巷道的邊界條件為：模型左側(cè)和右側(cè)限制水平方向移動，模型底部限制豎直方向移動.巷道半徑α＝2m；工程參數(shù)設(shè)為：p＝10MPa，q＝20MPa，E＝1GPa，E′＝0.8GPa，μ＝0.25，μ′＝0.3 .圖3所示為計算得到的徑向位移云圖.此時，dd＝0°，dip＝0°（dd代表在xy 平面內(nèi)測得的各向同性的傾向；dip代表在xy平面內(nèi)測得的沿z軸負(fù)方向的各向同性平面的傾角）.傾向與傾角是巖層產(chǎn)狀3個要素中的2個要素（見圖4）.

巖層在空間的位置，稱為巖層產(chǎn)狀.傾斜巖層的產(chǎn)狀，是用巖層層面的走向、傾向和傾角3個產(chǎn)狀要素來表示的.

走向是巖層層面與水平面交線的方位角.巖層的走向表示巖層在空間延伸的方向.

傾向是垂直走向順著傾斜面向下引出一條直線，此直線在水平面的投影的方位角.巖層的傾向，表示巖層在空間的傾斜方向.

傾角是巖層層面與水平面所夾的銳角.巖層的傾角表示巖層在空間傾斜角度的大小.

由于對稱性，只在1／4的區(qū)域選取幾個測點（見圖5），然后將用FLAC3D計算得到的數(shù)值解與位移解析解進(jìn)行對比分析.

圖5 位移測點布置圖

當(dāng)p＝10MPa，q＝20MPa，dd＝0°，傾角為5°、10°、15°、20°時，數(shù)值解與位移解析解見表1－表4（數(shù)值解與解析解的負(fù)號表示位移沿著徑向指向開挖面）.

表1 傾角為5°時的數(shù)值解與解析解

表2 傾角為10°時的數(shù)值解與解析解

表3 傾角為15°時的數(shù)值解與解析解

表4 傾角為20°時的數(shù)值解與解析解

根據(jù)模型計算區(qū)域的大小及實際工程的情況，本文將最大允許誤差控制在0.50cm左右.由表1可以看出：當(dāng)傾角為5°時，8個測點中的最大絕對誤差（數(shù)值解與解析解之差的絕對值）為0.19cm，誤差平均值為0.119cm.由表2可以看出：當(dāng)傾角為10°時，8個測點中的最大絕對誤差為0.35cm，誤差平均值為0.196cm.由表3可以看出：當(dāng)傾角為15°時，8個測點中的最大絕對誤差為0.61cm，誤差平均值為0.319cm，此時的最大絕對誤差已經(jīng)超出了允許范圍，但誤差平均值仍然在誤差允許范圍內(nèi).由表4可以看出：當(dāng)傾角為20°時，8個測點中的最大絕對誤差為0.93cm，誤差平均值為0.470cm，此時的最大絕對誤差已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了誤差允許范圍，誤差平均值也接近誤差允許范圍.通過統(tǒng)計分析，將不同傾角下的誤差均值做成曲線圖，見圖6.

圖6 誤差均值曲線

對比分析不同傾角下的絕對誤差值，并從圖6所示的誤差均值曲線可知：當(dāng)傾角為20°時，誤差平均值為0.470cm，最大絕對誤差值為0.93cm，均方差為0.297cm；當(dāng)傾角為15°時，誤差平均值為0.319cm，最大絕對誤差值為0.61cm，均方差為0.191cm.比較這2組數(shù)據(jù)可以看出：當(dāng)傾角為20°時，由均方差反映的離散程度比傾角為15°時的離散程度大，且最大絕對誤差值已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出誤差允許范圍，誤差平均值也非常接近誤差允許范圍，此時的解析解已經(jīng)不適用.通過綜合分析可以得出：在p＝10MPa，q＝20MPa，dd＝0°，dip＝0°的狀態(tài)下，解析解的工程適用范圍為傾角0°～15°.

2.2 改變水平初始地應(yīng)力后位移解析解與數(shù)值解的對比分析

當(dāng)p＝10MPa，dd＝0°，dip＝15°，水平初始地應(yīng)力分別為30MPa、80MPa時，數(shù)值解與位移解析解見表5和表6.

表5 水平初始地應(yīng)力為30MPa時的數(shù)值解與解析解

表6 水平初始地應(yīng)力為80MPa時的數(shù)值解與解析解

改變水平初始地應(yīng)力后，絕對誤差就不能正確反映數(shù)據(jù)的對比情況，因此采用相對誤差（絕對誤差值與解析解的比值）進(jìn)行分析.由表5可以得出，當(dāng)水平初始地應(yīng)力為30MPa、豎直方向初始地應(yīng)力為10MPa、傾向為0°、傾角為15°時，相對誤差為0.139；由表6可以得出，當(dāng)水平初始地應(yīng)力為80MPa、豎直方向初始地應(yīng)力為10MPa、傾向為0°、傾角為15°時，相對誤差為0.151.通過對比可知：當(dāng)水平初始地應(yīng)力改變幅度較大時，相對誤差仍然保持相對穩(wěn)定，即解析解的工程適用范圍仍然適用.

將不同水平初始地應(yīng)力下得到的位移解析解與數(shù)值解進(jìn)行對比，經(jīng)誤差分析，得到p＝10MPa，dd＝0°，dip＝15°，水平初始地應(yīng)力為20～80MPa時的相對誤差，見表7.

表7 相對誤差

由表7可以看出：當(dāng)水平初始地應(yīng)力為20～80MPa時，相對誤差基本控制在0.147左右，變化幅度基本不超過0.01，最大變化幅度也僅為0.012（接近0.01）.因此，當(dāng)水平初始地應(yīng)力改變時，解析解的工程適用范圍——傾角0°～15°仍然符合要求.

3 結(jié) 語

通過對橫觀各向同性巖體中巷道的解析解與數(shù)值解的對比研究，得出以下主要結(jié)論：

（1）在豎直初始地應(yīng)力為10MPa、水平初始地應(yīng)力為20MPa、傾向為水平面、傾角為0°的條件下，位移解析解的工程適用范圍為傾角0°～15°.

（2）當(dāng)水平初始地應(yīng)力改變時，解析解的工程適用范圍——傾角0°～15°仍然符合要求.

［1］ Serrano A，Olalla C.Ultimate Bearing Capacity of an Anisotropic Discontinuous Rock Mass，Part I：Basic Modes of Failure［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences ＆ Geomechanics Abstracts，1998，35（3）：301－324.

［2］ 張玉軍，劉誼平.層狀巖體抗剪強(qiáng)度的方向性及剪切破壞面的確定［J］.巖土力學(xué)，2001，22（3）：254－257.

［3］ 張志增.橫觀各向同性巖體位移反分析的理論與應(yīng)用研究［D］.北京：清華大學(xué)，2010.

［4］ 譚學(xué)術(shù)，鮮學(xué)福.復(fù)合巖體力學(xué)理論及其應(yīng)用［M］.北京：煤炭工業(yè)出版社，1994.

［5］ 蔡美峰，何滿潮，劉東燕.巖石力學(xué)與工程［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

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［7］ 彭文斌.FLAC3D實用教程［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

The Comparative Study of Analytical Solutions and Numerical Solutions in Transversely Isotropic Rock

LI Yong－tao，ZHANG Zhi－zeng，YANG Zi－sheng，HU Jiang－chun
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

Based on the analytical solution of the roadway which is transversely isotropic rock mass in this paper，the numerical solution under different inclination by using of numerical software is gotten.Then a comparative study between the displacement solution in the initial state and the numerical solution with different inclination is done.The project scope of the analytical solution is gotten by deviation analysis.

transversely isotropic；analytical solution；numerical solution；project scope

TU471＋.6

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2012.05.011

1671－6906（2012）05－0046－05

2012－09－28

李永濤（1988－），男，河南新鄉(xiāng)人，碩士生.