高智中，韓新風(fēng)，章毛連，2

（1.安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100；

2.中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)及其電路仿真

高智中1，韓新風(fēng)1，章毛連1，2

（1.安徽科技學(xué)院理學(xué)院，安徽 鳳陽(yáng) 233100；

2.中國(guó)科學(xué)院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

為產(chǎn)生復(fù)雜的超混沌吸引子，基于一個(gè)三維混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng).分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、吸引子的相圖、系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等基本動(dòng)力學(xué)特性.結(jié)果表明，新的四維超混沌系統(tǒng)隨著新引入的參數(shù)變化呈現(xiàn)周期、混沌及超混沌動(dòng)力學(xué)行為.最后設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路，通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了與數(shù)值仿真的一致性.

超混沌系統(tǒng)；相圖；分岔圖；Lyapunov指數(shù)圖；電路實(shí)現(xiàn)

1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz研究大氣層的熱對(duì)流問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌系統(tǒng)［1］之后，研究人員在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變形，構(gòu)造了許多新的三維自治混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)和Qi系統(tǒng)［2－5］.隨著人們對(duì)混沌現(xiàn)象及其動(dòng)力學(xué)行為的不斷研究，混沌在工程領(lǐng)域的應(yīng)用已取得了一定進(jìn)展.然而三維混沌系統(tǒng)的帶寬相對(duì)較窄，基于混沌通訊的保密效果不是很好.1979年O.E.Rossler首次提出了超混沌Rossler系統(tǒng)［6］.超混沌系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)時(shí)具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離，其動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜，難以預(yù)測(cè).復(fù)雜的超混沌集可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性.因此，對(duì)超混沌的研究將是信息工程領(lǐng)域中混沌應(yīng)用的一個(gè)重要課題.近年來(lái)，受到了廣大科研工作者的普遍關(guān)注并報(bào)道了大量新的超混沌系統(tǒng)［7－19］.這些文獻(xiàn)表明目前構(gòu)造超混沌系統(tǒng)的方法有3種：（1）以三維自治混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)通過(guò)施加正余弦激勵(lì)信號(hào)而實(shí)現(xiàn)超混沌；（2）以三維自治混沌系統(tǒng)為基礎(chǔ)通過(guò)引入狀態(tài)反饋控制器，可以是線性的也可以是非線性的，然后把引入的狀態(tài)反饋控制器耦合到原來(lái)系統(tǒng)的一個(gè)或者多個(gè)方程中而實(shí)現(xiàn)超混沌，這是一種行之有效的方法；（3）直接構(gòu)造超混沌，這種方法較前兩種方法顯得比較困難，因?yàn)樾枰罅康臅r(shí)間對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試.

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文基于文獻(xiàn)［20］提出的三維自治混沌系統(tǒng)，通過(guò)引入一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性控制器，可把其控制到超混沌狀態(tài).通過(guò)理論分析、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖、相圖、時(shí)間響應(yīng)圖等方法詳細(xì)分析了該新系統(tǒng)的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性.最后設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電路，通過(guò)電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了與數(shù)值仿真的一致性.

1 新四維超混沌系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)［20］提出的三維自治混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

當(dāng)參數(shù)a＝25.6，b＝66.8，c＝39.22，d＝0.2，e＝4時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

根據(jù)產(chǎn)生超混沌吸引子要滿足的幾個(gè)必要條件［6］，在上述三維系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過(guò)增加一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性狀態(tài)反饋控制器u，并增加一個(gè)關(guān)于u的一階微分方程，可得到如下新的四維超混沌系統(tǒng)：

式中m為新引入的參數(shù).當(dāng)參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時(shí)，利用 Wolf方法數(shù)值計(jì)算系統(tǒng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為0.337 1，0.218 4，0和－26.436 1，說(shuō)明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).此時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為3.021，是分?jǐn)?shù)維數(shù)，從而從另一方面說(shuō)明了系統(tǒng)在該組參數(shù)條件下處于超混沌狀態(tài).

2 新超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子在各平面上的投影

2.2 耗散性及有界性

2.3 新引入的參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

非線性超混沌動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性主要通過(guò)數(shù)值計(jì)算該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來(lái)分析，通過(guò)觀察系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜，可以十分清楚地區(qū)分系統(tǒng)在不同參數(shù)控制區(qū)間所處的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).在系統(tǒng)的4個(gè)Lyapunov指數(shù)中，有1個(gè)為0、3個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài)；2個(gè)為0、2個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)系統(tǒng)處于擬周期態(tài)；1個(gè)為正數(shù)、1個(gè)為0、2個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)系統(tǒng)處于混沌態(tài)；2個(gè)為正數(shù)、1個(gè)為0、1個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)系統(tǒng)處于超混沌態(tài).當(dāng)固定a＝20，b＝35，c＝5，變量x隨m在［0，70］變化的分岔圖（見(jiàn)圖2a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（見(jiàn)圖2b）（這里略去了第4根Lyapunov曲線）.由圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)隨著參數(shù)變化的運(yùn)動(dòng)情況一目了然.圖3分別給出了當(dāng)m＝34，40，62，70時(shí)，在xu平面上的典型的相軌跡圖，其中當(dāng)m＝34系統(tǒng)處于四周期狀態(tài)，當(dāng)m＝40系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)m＝62系統(tǒng)處于二周期狀態(tài)，當(dāng)m＝70系統(tǒng)處于一周期狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)的分岔圖（a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（b）

圖3 系統(tǒng)的相軌跡在xu平面上的投影

2.4 非周期流

采用四階Runge-Kutta法對(duì)新超混沌系統(tǒng)求數(shù)值解，采樣步長(zhǎng)為0.002s，在參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時(shí)得到該系統(tǒng)4個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)圖如圖4所示，可見(jiàn)產(chǎn)生的時(shí)間序列具有非周期性，解的非周期流對(duì)初值極為敏感.

圖4 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)圖

3 新系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

超混沌系統(tǒng)的最直接最簡(jiǎn)單的物理實(shí)現(xiàn)是通過(guò)電路來(lái)完成的，許多超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都能通過(guò)電路得到驗(yàn)證［21］.同樣，對(duì)于該新超混沌系統(tǒng)，也采用非線性電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，并把電路仿真結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果做對(duì)比.用Multisim10.0軟件平臺(tái)設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)該電路的原理圖（如圖5所示）.新超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如方程組（1）所示.

圖5 超混沌系統(tǒng)仿真電路原理圖

考慮到各電子元件的耐壓特性，在設(shè)計(jì)電路時(shí)，先把混沌信號(hào)減小到原來(lái)的1／10，設(shè)：q＝10x，r＝10y，p＝10z，由于系統(tǒng)變量的變換，不影響系統(tǒng)的狀態(tài)及性能，從而令：x＝q，y＝r，z＝p，故系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變換為如方程組（2）所示.

根據(jù)方程組（2）各狀態(tài)量的數(shù)學(xué)方程設(shè)計(jì)的仿真電路如圖5所示.仿真電路中，采用了電容器、電阻、模擬乘法器和集成運(yùn)算放大器，分別實(shí)現(xiàn)了加減運(yùn)算、積分運(yùn)算和非線性乘積項(xiàng).根據(jù)非線性電路的特性和電路基本理論，得到圖5所示的仿真電路中各狀態(tài)量的數(shù)學(xué)方程如方程組（3）所示.

電路中各元件參數(shù)設(shè)置如下：C1＝C2＝C3＝C4＝1μF，R1＝35kΩ，R2＝50kΩ，R3＝10kΩ，R4＝100kΩ，R5＝R6＝R7＝1kΩ，R9＝2kΩ，R10＝50kΩ，R11＝R12＝1kΩ，R13＝200kΩ，R14＝2kΩ，R15＝50kΩ，R16＝1kΩ，R17＝5kΩ，R18＝50kΩ，R19＝1MΩ，R20＝4kΩ.在以上參數(shù)設(shè)置條件下，在Multisim10.0軟件平臺(tái)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到如圖6所示的超混沌相圖，圖7給出了系統(tǒng)的不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)的相軌跡在xu平面上的投影的電路實(shí)現(xiàn)，圖8給出了系統(tǒng)處于超混沌運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)圖的電路實(shí)現(xiàn)，由這些圖可看出，電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本一致.

圖8 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)的電路實(shí)現(xiàn)

4 結(jié)論

通過(guò)引入一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性控制器，基于一個(gè)三維自治混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，重點(diǎn)研究了該系統(tǒng)隨著典型參數(shù)m的變化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在周期、混沌和超混沌之間的演變過(guò)程.通過(guò)理論分析、數(shù)值仿真和電路實(shí)現(xiàn)，可以得出幾點(diǎn)結(jié)論：本文所構(gòu)造的系統(tǒng)是一個(gè)超混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，且具有所有超混沌系統(tǒng)的共有特征；這個(gè)新的超混沌系統(tǒng)可以用電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的；本文中的分析方法具有普適性，對(duì)于其他低維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生超混沌運(yùn)動(dòng)具有一定啟示意義.

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A novel four-dimensinal hyperchaotic system and its circuit simulation

GAO Zhi-zhong1，HAN Xin-feng1，ZHANG Mao-lian1，2

（1.College of Science，Anhui Science and Technology University，F(xiàn)engyang 233100，China；
2.Institute of Plasm a Physics，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China）

In order to generate complex hyperchaotic attractor，a new four-dimensinal hyperchaotic system based on the three-dimensinal chaotic system is built in the paper.Some of its basic dynamical properties are studied briefly，such as the stability of equilibrium，the phase diagram of attractors，the bifurcation diagram and Lyapunov exponent.Results show that the new system's dynamics behavior can be periodic，chaotic and hyperchaotic as the new introduced parameter varies.Finally，an analog electronic circuit is designed to implement the new system，and the experimental results of the nonautonomous hyperchaotic circuit well agreed with the simulation results.

hyperchaotic system；phase diagram；bifurcation diagram；Lyapunov exponents diagram；circuit implementation

O 415.5

120·20

A

1000-1832（2012）01-0077-07

2011-03-25

安徽省優(yōu)秀青年人才基金資助項(xiàng)目（2012SQRL146）.

高智中（1979—），男，碩士，講師，主要從事混沌反控制研究.

石紹慶）