李春波，余春暉，李景鎮(zhèn)，柴金龍，劉春平，凌中水，黃虹賓，

1)深圳大學機電與控制工程學院，深圳518060;2)深圳職業(yè)技術學院汽車與交通學院，深圳518055;3)深圳市微納光子信息技術重點實驗室，深圳518060

在微秒級攝影領域，轉鏡式超高速攝影儀在成像的空間帶寬積、實際動態(tài)范圍、畫幅數(shù)等主要攝影性能方面，優(yōu)于電子類相機［1］，在爆轟物理、高電壓放電、超音速風洞、激波物理、爆炸和碎裂、推進劑化學、細觀和微觀等超快過程現(xiàn)象記錄等領域有著廣泛應用［2］. 轉鏡作為超高速攝影儀中重要的光學加速部件，其動力學性能直接影響到攝影儀的工作可靠性、時間分辨率和空間分辨率.Дубовин А С［3］從理論力學和材料力學的角度求得轉鏡應力和變形量的計算公式. Трачук В С［4］將轉鏡復雜的3 維綜合性力學問題轉化為平面力學問題，推導出鏡面變形量的二維解析解. 李景鎮(zhèn)等［5-6］提出轉鏡強度計算的簡化公式. 文獻［7-8］提出在無制造缺陷的情況下，轉鏡的破壞是共振導致的疲勞破壞. 文獻［9-15］總結出保證在實際運轉中，轉鏡臨界點出現(xiàn)在選定轉速范圍內的方法，研究和提出針對轉鏡動力學性能的結構設計方法.文獻［16-18］在3 維有限元技術基礎上對轉鏡鏡面變形量進行深入研究，提出鏡面變形量的幾何補償方法，并創(chuàng)造性地設計出蜂窩結構轉鏡.

轉鏡運轉時在臨界轉速附近，尤其是在1 階臨界轉速附近的振動現(xiàn)象，以及由此引發(fā)的潛在破壞是轉鏡設計面臨的重要課題. 在保證轉鏡反射鏡面尺寸不變的情況下，提高轉鏡的1 階固有頻率，一直是困擾轉鏡研究者的難題. 本研究基于連續(xù)體拓撲優(yōu)化設計理論，提出轉鏡結構拓撲描述方式和材料插值模型，利用有限元分析軟件ANSYS，以轉鏡基頻為拓撲優(yōu)化目標，轉鏡體積為約束條件，結合當前國內應用最廣泛的大畫幅和大畫幅數(shù)鋁轉鏡，在不改變轉鏡鏡面尺寸前提下，進行最大動剛度拓撲的優(yōu)化分析，并根據(jù)分析得到的轉鏡偽密度分布圖對轉鏡結構進行修改，最后，對修改前后的轉鏡分別進行數(shù)值模態(tài)和試驗分析. 研究發(fā)現(xiàn)，轉鏡1 階固有頻率由原來的713.6 Hz 提高到821.4 Hz，1 階臨界轉速提高了15.1%，其他各階固有頻率也有顯著提高;修改前后轉鏡模態(tài)數(shù)值解和試驗結果的一致性證明轉鏡拓撲優(yōu)化結果的正確性. 轉鏡的拓撲優(yōu)化分析為轉鏡動力學性能的修改指出新的方向.

1 轉鏡拓撲優(yōu)化分析原理

1.1 轉鏡拓撲優(yōu)化插值模型

均勻化方法和變密度法是當前連續(xù)體拓撲優(yōu)化的兩個基本方法. 現(xiàn)有的主要密度插值模型包括材料屬性的合理近似模型 (rational approximation of material properties，RAMP)［19］和固體各向同性懲罰微結構模型(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)［20-21］. 根據(jù)SIMP 方法，轉鏡材料插值模型的本質，是將轉鏡變量進行0 -1 離散后再對離散變量進行優(yōu)化組合(0 表示該部分材料可以去除，1 表示該部分材料需要保留). 通過將轉鏡連續(xù)變量的密度函數(shù)顯式地表達成離散化后單元相對密度與材料彈性模量間的對應關系，并以離散后轉鏡每個單元的相對密度作為設計變量，人為假定轉鏡相對密度和材料彈性模量間的偽密度對應關系，并通過引入懲罰因子對中間密度值進行懲罰，使中間密度值向0 -1 兩端聚集，使連續(xù)變量的拓撲優(yōu)化模型能很好地逼近0 -1 離散變量的優(yōu)化模型. 在這種情況下，中間密度單元對應一個很小的彈性模量，對轉鏡剛度矩陣的影響很小. 基于上述方法，建立轉鏡材料插值模型［20］

其中，ρ(x)為轉鏡連續(xù)變量;Eijkl為單元初始彈性模量;E'

如果懲罰因子足夠大，就能夠得到無中間密度的優(yōu)化區(qū)域. 對于3 維轉鏡，懲罰因子滿足關系式［23］

其中，v0為優(yōu)化區(qū)域材料的泊松比. 轉鏡拓撲優(yōu)化區(qū)域為鏡體，材料為鋁合金，泊松比0.3. 由于懲罰因子越大，中間密度就越小，故在轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化中，取懲罰因子為5.

1.2 優(yōu)化算法

轉鏡拓撲優(yōu)化模型建立后，需選擇優(yōu)化算法進行求解. 當前兩類常用算法有優(yōu)化準則法［22］(optimality criteria，OC)和序列規(guī)劃法(sequential programming，SP). 本研究選擇序列規(guī)劃法中的凸規(guī)劃法(sequential convex programming，SCP)對轉鏡拓撲優(yōu)化模型進行求解. 該方法的基本思想是在求解過程中采用一系列簡單的問題來逐步逼近復雜問題，通過相關轉化，將轉鏡最大動剛度的求解轉化為一個較低階次的非線性或線性問題漸近求解. 根據(jù)拓撲優(yōu)化理論［22-25］，建立轉鏡拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

其中，θ 為優(yōu)化目標，即轉鏡第1 階固有頻率;［K］為轉鏡剛度矩陣;［M］為轉鏡質量矩陣;{φi}為第i 階特征值λi對應的轉鏡模態(tài);x 為轉鏡設計變量. 為避免剛度矩陣中出現(xiàn)奇異矩陣［23］，取xmin=0.001;V 為優(yōu)化后的轉鏡體積;Vj為第j 個單元的體積;j = 1，2，…，N 為轉鏡優(yōu)化區(qū)域內的單元數(shù)目;i = 1，2，…，Ndof為對應的轉鏡模態(tài)數(shù)目. 在對轉鏡模態(tài)和諧響應分析［12-13］中發(fā)現(xiàn)，對轉鏡動力學性能影響最大的主要是轉鏡的前幾階模態(tài)，故提取轉鏡模態(tài)數(shù)為10，α 取0.95［22-25］.

優(yōu)化分析轉鏡最大動剛度拓撲，使轉鏡1 階固有頻率對應的臨界轉速高于轉鏡的工作轉速. 最大動剛度拓撲優(yōu)化就是使轉鏡的基頻最大，故目標函數(shù)為

其中，λi為轉鏡階特征向量;{φi}T為轉鏡i 階振型向量的轉置. 最大動剛度拓撲優(yōu)化就是求解式(5)的最大值.

2 數(shù)值分析

轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化的目標，是轉鏡在承受單載荷或多載荷約束條件下，尋求最佳材料分配或最佳傳力路徑的方案，使其1 階固有頻率在滿足給定實際約束條件下，通過減小結構的變形能，即提高轉鏡結構剛度，使其達到設計所需的極大值.與傳統(tǒng)的優(yōu)化設計相比，轉鏡拓撲優(yōu)化最大的不同是不需要給出參數(shù)和優(yōu)化變量定義，目標函數(shù)、狀態(tài)變量和設計變量都已根據(jù)結構設計的要求自行預定好，只需要給出結構的材料特性、模型、載荷和要省去的材料百分比.

2.1 轉鏡最大動態(tài)剛度拓撲優(yōu)化分析模型

轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化設計數(shù)值分析的基礎是轉鏡的模態(tài)分析，即將轉鏡固有頻率作為拓撲優(yōu)化的目標函數(shù). 由于1 階固有頻率(即基頻)對轉鏡的動態(tài)特性影響最大，故轉鏡最大動態(tài)剛度拓撲優(yōu)化設計數(shù)值分析，直接以轉鏡1 階固有頻率作為優(yōu)化的目標函數(shù)，進行單模態(tài)拓撲優(yōu)化分析.

圖1 原轉鏡模型Fig.1 The original model of rotating mirror

圖1 為原轉鏡模型，轉鏡由鏡體和轉軸兩部分構成，兩者經(jīng)過盈配合連接. 轉軸材料為45 鋼，經(jīng)調質、淬火處理，彈性模量210 GPa，泊松比0.26，密度7 800 kg/m3. 鏡體選用鋁合金，彈性模量71.7 GPa，泊松比0.33，密度2 780 kg/m3. 采用單列深溝球軸承支撐，一端為固定鉸支，另一端為活動鉸支. 由于轉鏡鏡面變形量對時間分辨率的影響大，故將鏡體表面0.2 mm 的厚度和轉軸材料定義為非優(yōu)化的區(qū)域. 定義轉鏡1 階固有頻率作為拓撲優(yōu)化目標函數(shù)，拓撲優(yōu)化區(qū)域體積為拓撲優(yōu)化約束條件，選擇序列凸規(guī)劃法進行轉鏡的最大動剛度拓撲優(yōu)化數(shù)值分析. 通過多次反復取值進行數(shù)值分析和試驗發(fā)現(xiàn)，選擇體積減少30%進行迭代運算，轉鏡綜合力學性能最好. 圖2 ～圖4 為轉鏡拓撲優(yōu)化分析結果.

圖2 偽密度分布圖Fig.2 Pseudo-density distribution

圖3 目標函數(shù)迭代曲線Fig.3 Iterative curve of objective function

圖2 為轉鏡偽密度分布圖，轉鏡優(yōu)化區(qū)域中3個尖角部分中間密度值約為0.001. 為避免轉鏡模態(tài)分析中剛度矩陣出現(xiàn)奇異，對轉鏡拓撲優(yōu)化區(qū)域優(yōu)化變量取xmin=0.001，故該部分偽密度值可視為0，該部分材料可以刪除. 目標函數(shù)迭代曲線(圖3)和約束條件迭代曲線(圖4)經(jīng)過初期波動后趨于水平，說明轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化數(shù)值分析結果收斂. 圖2 和圖3 顯示，轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化的1 階固有頻率收斂解為885.7 Hz.

圖4 約束條件迭代曲線Fig.4 Iterative curve of constraint condition

3 轉鏡結構優(yōu)化

根據(jù)轉鏡拓撲優(yōu)化得到偽密度分布圖，刪除偽密度值小的材料區(qū)域，對鏡體結構形狀進行拓撲優(yōu)化. 圖5 為修改后新轉鏡鏡體的3 維模型. 相比于圖1，圖5 的轉鏡外形結構只去除了優(yōu)化區(qū)域偽密度值較小的部分，其他結構尺寸不作修改. 然后對修改前后轉鏡在相同約束條件(圖1)下進行模態(tài)分析［9-15］.

圖5 轉鏡新模型Fig.5 New model of rotating mirror

表1 為結構修改后轉鏡模態(tài)數(shù)值分析，以及原有結構轉鏡模態(tài)分析前5 階模態(tài)結果的對比. 轉鏡優(yōu)化后第1 階模態(tài)值為821.4 Hz. 由于優(yōu)化得到轉鏡偽密度圖形中位密度值為0 的單元為非均勻分布，實際中不可能將拓撲優(yōu)化結果中偽密度值為0的材料完全去除;且由于中間偽密度值的存在，一部分保留的轉鏡鏡體單元偽密度值不為1，這是新轉鏡的基頻比轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化得到的收斂解要小的原因. 由表1 還可知，轉鏡第1 階模態(tài)固有頻率值增加了107.8 Hz，變化率為15.1%，說明轉鏡最大動剛度拓撲優(yōu)化數(shù)值分析的基頻值是正確的.

由于大畫幅超高速攝影儀要求轉鏡反射面大，這就使得轉鏡體積較大. 轉鏡工作轉速很高，前幾階固有頻率對應的臨界轉速低于轉鏡的工作轉速，轉鏡在加速或減速過程中躍過共振點時，如果在低階固有頻率的共振帶停留時間較長，會因出現(xiàn)共振而被破壞，對攝影儀的工作可靠性產(chǎn)生直接影響.通過對拓撲優(yōu)化后的轉鏡進行模態(tài)分析和試驗發(fā)現(xiàn)，在相同鏡面尺寸下，新轉鏡的1 階固有頻率相對原轉鏡增加15.1%，第2 階固有頻率增加48%，第3 階固有頻率增加50%. 轉鏡最大應力由原來的5.38 MPa 增加到5.47 MPa，轉鏡的靜強度有輕微降低，但仍滿足設計要求. 因此通過對轉鏡基頻進行最大動剛度拓撲優(yōu)化分析，使轉鏡各階固有頻率都得到很大程度的提高. 這對大畫幅轉鏡的動力學設計提供了可靠有效的設計思路.

表1 模態(tài)分析結果對比Table 1 Contrast of model analysis results

4 試驗分析

轉鏡模態(tài)實驗分析系統(tǒng)如圖6. 采用WS-5932綜合信號采集系統(tǒng)和Vib' SYS 分析軟件，該測試系統(tǒng)直接以電機驅動，通過信號采集系統(tǒng)在線測量轉鏡加速度響應信號，經(jīng)A/D 轉換為時域響應信號，再通過FFT 變換加Hanning 窗過濾時域信號中的噪聲后，得到轉鏡幅頻響應曲線，最后通過Vib’SYS 軟件的圖像處理功能輸出轉鏡幅頻響應曲線.圖7 和圖8 分別為原轉鏡和新結構轉鏡在1 階固有頻率處的頻域響應曲線. 由圖7 可見，原轉鏡在714.5 Hz 處開始出現(xiàn)峰值，即1 階固有頻率為714.5 Hz，圖8 表明新轉鏡的1 階固有頻率為823.4 Hz. 考慮到試驗結果和數(shù)值解之間存在不可避免的誤差，因此，可認為優(yōu)化前后轉鏡的模態(tài)分析結果是正確的. 數(shù)值解和試驗結果的一致性說明，通過對已有結構進行最大動剛度拓撲優(yōu)化，轉鏡1 階固有頻率有很大提高.

圖6 轉鏡試驗測試系統(tǒng)程序框圖Fig.6 The block diagram of rotating mirror test system

圖7 原轉鏡幅頻響應曲線Fig.7 The frequency-amplitude characteristic curve of original rotating mirror

圖8 新轉鏡幅頻響應曲線Fig.8 The frequency-amplitude characteristic curve of new rotating mirror

結 語

基于連續(xù)體拓撲優(yōu)化設計理論，利用有限元法及ANSYS 軟件，建立轉鏡各向同性懲罰微結構單模態(tài)拓撲優(yōu)化插值模型，對轉鏡的1 階固有頻率進行最大動剛度拓撲優(yōu)化數(shù)值分析，并根據(jù)轉鏡偽密度分布圖，修改原有轉鏡結構. 對修改前后的轉鏡進行模態(tài)數(shù)值分析和試驗. 通過對比兩轉鏡的結果發(fā)現(xiàn)，在不改變轉鏡反射面尺寸的前提下，轉鏡的1 階固有頻率增加了107.8 Hz，變化率為15.1%.其他各階固有頻率亦有顯著提高，第2 階模態(tài)值增加48%，第3 階模態(tài)的數(shù)值增加50%. 試驗結果和數(shù)值解一致，為有效提高轉鏡的動力學性能，在不改變轉鏡鏡面尺寸前提下修改轉鏡固有頻率點的位置，提供了新的設計思路和方法.

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