盧瑩瑩， 趙曉華

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

本文的研究與如下著名的n維Lotka-Volterra(LV)系統有關:

式(1)中:xj≥0通常表示第j個物種的種群密度;ajk表示作用系數;εj是與環(huán)境相關的參數;A=(ajk)稱為系統(1)的作用矩陣．這類系統自20世紀二三十年代提出以來，作為應用數學的一個著名系統模型廣泛存在于生物學、化學、傳染病學、經濟學、計算機科學等領域，一直受到國內外相關領域學者的高度關注，積累了大量的研究成果［1-2］．盡管如此，除了對2維LV系統性質已有較全面的認識外，對維數n≥3的一般LV系統的認識還很不夠，其豐富的動力學性質還遠沒有被完整認識．研究表明，LV系統的動力學性質與其作用矩陣A=(ajk)的代數性質具有緊密聯系．為方便起見，通常根據作用矩陣A=(ajk)的3種情形，將LV系統分為競爭(或合作)型、保守型及耗散型來研究．

矩陣A=(ajk)是否為競爭(或合作)型，按定義即可直接判斷;而矩陣A是否為保守型的判定問題早已被Volterra解決［3］．關于耗散矩陣的判定，自Volterra于20世紀30年代提出耗散矩陣以來，研究進展緩慢．直到1978年，Cross才在文獻［4］中給出了3階實矩陣耗散的充要條件．Redheffer在文獻［5］中較系統地研究了任意階耗散矩陣的判定條件;文獻［6］進一步討論了3×3耗散實矩陣的充要條件及Volterra乘子的唯一性;文獻［7-8］研究了比耗散矩陣更符合實際應用的所謂穩(wěn)定耗散矩陣，獲得了穩(wěn)定耗散判定的一些結果．在文獻［5，7-8］的基礎上，文獻［9］討論了穩(wěn)定耗散矩陣的一般判定條件，提出了最大穩(wěn)定耗散圖的概念，得到了穩(wěn)定耗散矩陣對應圖的分類方法，特別證明了5階最大穩(wěn)定耗散圖有27種．本文針對文獻［9］得出的27種穩(wěn)定耗散圖，討論并證明了5階矩陣為穩(wěn)定耗散的代數充要條件．

1 穩(wěn)定耗散矩陣與最大穩(wěn)定耗散圖

在實際應用中，作用矩陣A的元素ajk一般不能被精確測量，相對耗散矩陣而言，我們更應考慮穩(wěn)定耗散矩陣．

定義1若n階作用矩陣?A滿足如下條件:?ajk=0?ajk=0，則稱?A是作用矩陣A的一個擾動．

根據定義2不難看出:穩(wěn)定耗散矩陣必是耗散矩陣，反之不然．對于n階耗散矩陣A=(aij)，必有aii≤0(i=1，2，…，n)，且可定義一個n頂點無向圖，記為 G(A):若ajj＜0，則頂點 j涂成黑點，否則頂點j用白點(空心點)表示;若 ajk≠0或akj≠0，則頂點 j和k之間有相連邊．這樣的圖稱為n階黑白圖，其中連接2個黑點的邊稱為強連接，否則稱為弱連接．

注意，一個耗散矩陣A確定唯一一個黑白圖G(A)，而一個黑白圖可能對應多個耗散矩陣．因此，當不強調與特定矩陣的聯系時，黑白圖簡單記為G．不失一般性，以下均假定黑白圖G是連通圖．

為引用方便，先介紹文獻［8］中的2個引理．

引理1［8］若 A=(ajk)是 n×n的穩(wěn)定耗散矩陣，即 A∈SD，則 ajkakj＜ajjakk，其中 j≠k．

由引理1、穩(wěn)定耗散矩陣和黑白圖的定義，立即可得引理2．

引理2［8］若A=(ajk)是n×n的穩(wěn)定耗散矩陣，則G(A)中的每個圈至少有一個強連接邊，即連接2個黑點的邊．

盡管文獻［5，7-8］已經給出了矩陣為穩(wěn)定耗散的一些判定條件，但要具體判定一個矩陣是否穩(wěn)定耗散還是相當復雜的．為此，文獻［9］根據引理1和引理2，并通過引入最大穩(wěn)定耗散圖的概念，使得穩(wěn)定耗散判定問題得到了很大簡化．

定義3 若n階黑白圖G的每個圈均含至少一條強連接邊(即連接2個黑點的邊)，則稱G為穩(wěn)定耗散圖．進一步，若在穩(wěn)定耗散圖G上再添加任意一條邊產生的新圖?G都不是穩(wěn)定耗散圖，則稱原圖G是n階最大穩(wěn)定耗散圖．

根據文獻［9］，5階最大穩(wěn)定耗散圖共有27類，分別記為 G(i)，i=1，2，…，27，如圖1所示．其中，頂點編號僅僅是為了更方便討論對應矩陣為穩(wěn)定耗散的代數條件．

注1 根據穩(wěn)定耗散圖的定義，若向一個穩(wěn)定耗散圖增加任意棵樹，只要沒有形成新的圈，則新圖也是穩(wěn)定耗散的．

注2 在最大穩(wěn)定耗散圖中去掉若干條邊形成的新圖仍然是穩(wěn)定耗散圖．因此，任何一個5階穩(wěn)定耗散圖均可通過圖1中所列的某個最大穩(wěn)定耗散圖去掉若干條邊得到．

注3 根據引理2和穩(wěn)定耗散圖的定義可知，穩(wěn)定耗散矩陣定義的黑白圖一定是穩(wěn)定耗散圖．反之，與非穩(wěn)定耗散圖對應的矩陣一定不是穩(wěn)定耗散矩陣．

圖1 5階最大穩(wěn)定耗散圖

設A1和A2分別是n階和m階方陣，它們定義的黑白圖分別記為G(Ak)(k=1，2)．若將G(A1)中的一個頂點i和G(A2)中的一個頂點j連接起來，就可得到一個新的黑白圖G(A)．相應地，可定義n+m階矩陣 A=diag(A1，A2)+P，其中 n+m 階矩陣 P 的元素除了 pi，n+j和 pn+j，i外全為零．根據文獻［7］有下面的結論:

引理3 若上述定義的矩陣A滿足條件pi，n+jpn+j，i＜0，則矩陣A穩(wěn)定耗散的充要條件是A1和A2穩(wěn)定耗散．

根據文獻［8］的定理1不難證明下面的結論:

引理4 若A是穩(wěn)定耗散矩陣，其每個對角線元素aii＜0，那么A一定是可逆矩陣．

因此，對角線元素均小于零的方陣是穩(wěn)定耗散的必要條件是這個矩陣可逆．

與可逆矩陣的穩(wěn)定耗散判定有關，文獻［5］證明了如下定理:

定理1 設A是m×m的可逆實矩陣，D是同階的正對角矩陣，B=A-1，且A*，B*，D*是分別由A，B，D除去最后一行及最后一列后形成的m-1階矩陣，那么:

1)若DA+ATD正定，則amm＞0，D*A*+(A*)TD*和D*B*+(B*)TD*均正定;

2)若amm＞0，D*A*+(A*)TD*和 D*B*+(B*)TD*均正定，則必存在 dm＞0，使得 DA+ATD正定．

利用定理1，馬上可得以下引理:

引理5 設A=(aij)為3階可逆實矩陣，其伴隨矩陣為B=(bij)(=|A|A-1)，則存在正對角矩陣D=diag(di)，使得DA+ATD負定的充要條件是下列條件成立:

1)aii＜0，bii＞0，i=1，2，3;

2)不等式(a12+ta21)2＜4a11a22t，(b12+tb21)2＜4b11b22t同時存在關于 t＞0 的解．

2 5階穩(wěn)定耗散矩陣的代數判定條件

接下來討論與圖1中的5階穩(wěn)定耗散圖所對應的5階矩陣為穩(wěn)定耗散矩陣的充要條件．從圖1可以看到，穩(wěn)定耗散圖G(1)～G(12)都是樹結構，對這種特殊的結構，根據定義容易證明下面的定理:

定理2 與穩(wěn)定耗散圖G(1)～G(12)對應的5階矩陣A穩(wěn)定耗散的充要條件是:ajk≠0(j≠k)，aii≠0意味著 akj≠0，aii＜0 ，且 ajkakj＜0．

證明 由于穩(wěn)定耗散圖G(i)(i=1，2，…，12)至多有一個黑點，根據引理2，必要性是顯然的．下面ATD)XT展開得

由于假設ajk≠0?ajkakj＜0，因此存在正對角矩陣元的充分小擾動不會改變相應元素的符號，從而A在定義1下的任意充分小擾動矩陣?A仍具有與A相同的圖及元素符號性質，運用上述證明可證?A也是耗散的．從而A穩(wěn)定耗散．定理2證畢．

圖1中，耗散圖G(13)～G(21)中均恰有一個圈，這些圖中恰有一個強連接邊．以G(13)為例，可證得如下穩(wěn)定耗散判定結果:

定理3 圖1中G(13)所對應的矩陣A穩(wěn)定耗散的充要條件是:

證明 根據定義2及引理1，條件1)的必要性立即可證．條件1)的充分性可在下面的證明過程中得出．

為證其他條件的充分必要性，先證明G(13)中1，2，3這3個頂點圍成的圈對應的矩陣穩(wěn)定耗散的條件．根據定義2，這樣的3階矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件是存在正數d1，d2，d3，使得下式對任意向量X恒成立:

從而可得這個3階矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件是

將式(5)左邊展開并化簡計算可證得式(5)與定理3中的條件2)和3)等價．

另一方面，根據引理1及上述類似證明可知:另外2個點4，5所形成的圖的對應的2階矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件是a45a54＜0．因此，根據引理3立即可得定理結論．定理3證畢．

注4 對圖1中的其他穩(wěn)定耗散圖G(14)～G(21)所對應的矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件按上述過程類似證明，即:先討論3個點或4個點所形成的圈圖的對應矩陣穩(wěn)定耗散條件，再討論剩余點的組合圖對應矩陣的穩(wěn)定耗散條件，那么根據引理3，可以得到這個圖對應的矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件．

通過與G(13)進行比較，G(14)～G(21)所對應的矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件在表1中給出．

觀察圖1中的G(22)～G(25)可以發(fā)現，這些圖均恰有一個3頂點全是黑點的圈．利用引理1、引理5可以得到G(22)～G(25)所對應的矩陣是穩(wěn)定耗散的充要條件．以耗散圖G(22)為例有如下定理:

定理4 圖1中G(22)所對應的矩陣A是穩(wěn)定耗散的，當且僅當下面2組條件同時滿足:

證明 條件1)的必要性可直接由引理1推出．下證條件1)的充分性及條件2)的充要性．根據穩(wěn)定耗散的定義，若與G(22)對應的矩陣A穩(wěn)定耗散，則存在正對角矩陣D=diag(di)，使得下式對任意向量X成立:

表1 與G(13)比較后G(14)～G(21)所對應矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件

要使式(7)對任意的X都成立，就必須將“≤”變成“＜”．因而，要使式(7)恒成立的充要條件就是矩陣p是穩(wěn)定耗散的充要條件．并且矩陣p所對應的圖是一個由3個點組成全是強連接的穩(wěn)定耗散圖，而根據文獻［8］中給出的結論:全部都是強連接的約化圖所對應的作用矩陣是非奇異的．因此，可以利用引理5得到式(7)成立的充分必要條件．因此充分性得證．

G(23)～G(25)與G(22)有相同的證明方法，故這里也用表格的形式直接給出相應的條件，如表2所示．

表2 與G(22)比較后G(23)～G(25)所對應矩陣穩(wěn)定耗散的充要條件

對于G(26)的討論相對更復雜一些，但可以直接運用定理1中的結論就可以得到如下定理:

定理5 圖1中G(26)所對應的作用矩陣A是穩(wěn)定耗散的，當且僅當下面2組條件同時滿足:

1)aii＜0(i=1，2，3，4)，a15a51＜0，a25a52＜0，a35a53＜0，a45a54＜0;

2)存在一個正對角矩陣D0，使得 D*0A*0＜0，D*0B*0＜0．

其中:A*0，B*0，D*0分別是A0，B0，D0去掉最后一行和最后一列后所得到的矩陣;B0=A-10，且

對于穩(wěn)定耗散圖G(27)，可以看出，它的所有點全是黑點，所有的邊都是強連接．根據文獻［8］中的“全部都是強連接的約化圖所對應的作用矩陣是非奇異的”，可直接利用定理1給出其代數判定條件．

定理6 圖1中G(27)所對應的作用矩陣A是穩(wěn)定耗散的，當且僅當下面2組條件同時滿足:

1)aii＜0，i=1，2，…，5;

2)存在一個正對角矩陣?D0，使得?D*0?A*0＜0，?D*0?B*0＜0．

其中:?A*0，?B*0，?D*0分別是?A0，?B0，?D0去掉最后一行和最后一列后所得到的矩陣;?B0=?A-10，且

［1］馬知恩．種群生態(tài)學的數學建模與研究［M］．合肥:安徽教育出版社，1996．

［2］Hofbauer J，Sigmund K．Evolutionary games and population dynamics［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1998．

［3］Duarte P，Fernandos L R，Oliva W M．Dynamics on the attractor of the Lotka-Volterra［J］．Journal Differential Equations，1998，149(1):143-189．

［4］Cross G W．Three types of matrix stability［J］．Linear Algebra and Its Applications，1978，20(3):253-263．

［5］Redheffer R．Volterra multipliers I，II［J］．SIAM Journal of Algbraic and Discrete Methods，1985，6(4):592-623．

［6］郭志明，周之銘，王壽松．3 ×3 實矩陣的 Volterra乘子［J］．數學的實踐與認識，1995，25(1):47-54．

［7］Redheffer R，Zhou Z．A class of matrix connected with Volterra prey-predator equation［J］．SIAM Journal of Algbraic and Discrete Methods，1982，3(1):122-134．

［8］Redheffer R，Walter W．Solution of the stability problem for a class of generalized Volterra prey-predator systems［J］．Journal of Differential Equations，1984，52(2):245-263．

［9］Zhao Xiaohua，Luo Jigui．Classification and dynamicals of stably dissipative Lotka-Volterra systems［J］．Interanational Journal of Nonlinear Mechanics，2010，45(6):603-607．