劉鐵華

中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，武漢 430063

地震散射波的高精度數(shù)值模擬與振幅分析

劉鐵華

中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，武漢 430063

隨著地震勘探要求和技術(shù)的不斷提高，散射波地震勘探方法逐漸引起人們的重視，尤其在構(gòu)造復(fù)雜地區(qū)的高精度勘探中，散射波理論具有廣泛的應(yīng)用前景．本文在討論了現(xiàn)階段幾種散射波數(shù)值模擬方法的利弊后，設(shè)計了一種基于微擾論的FK域積分法，在散射場的二次震源和空間能量衰減處理兩方面做了改進(jìn)，其計算精度和效率均得到了提高．此外，采用該算法針對散射波動力學(xué)進(jìn)行了正演模擬試算，從擾動介質(zhì)空間分布和擾動量兩個角度定量地分析了散射波振幅動力學(xué)方面的特征．在此基礎(chǔ)上得到了五個經(jīng)驗常數(shù)，并給出了對應(yīng)的計算公式和物理意義，通過這五個常數(shù)可以劃分散射波不同形態(tài)的動力學(xué)特征．

地震散射波，高精度，數(shù)值模擬，F(xiàn)K域積分，微擾論，動力學(xué)特征，定量分析

1 引 言

地震勘探已逐步從地震地質(zhì)條件相對優(yōu)越的地區(qū)向復(fù)雜地區(qū)推移，人們對地震勘探的精度提出了更高的要求，基于水平層狀介質(zhì)理論的反射法地震勘探技術(shù)遇到了前所未有的挑戰(zhàn)，在介質(zhì)適應(yīng)能力和信息提取能力等方面均難以達(dá)到勘探精度的要求［1］．

事實上對于石油、煤田和工程類而言，水平層狀介質(zhì)的假設(shè)并不完全適用，非均勻介質(zhì)理論更具普適性，可以彌補(bǔ)基于水平介質(zhì)假設(shè)的反射法地震勘探的這一缺陷．散射波是由地下非均勻體擾動引起的波場畸變現(xiàn)象，一般情況下，把能夠用幾何光學(xué)（射線理論）近似處理的情況剔除在外，這種散射波被稱為狹義的地震散射波［2］．傳統(tǒng)上所討論的各種波動形式（如反射波、折射波、透射波等）均是散射波在不同約束條件下的表現(xiàn)，因此對散射波理論的研究具有深遠(yuǎn)意義，近十年來，散射波理論在基礎(chǔ)理論和正反演技術(shù)思路探索方面得到了長足的發(fā)展［3－7］．

早期，在能量衰減機(jī)制方面［1，3］涉及到散射波動力學(xué)方面的研究，在后期，散射波研究主要集中在運(yùn)動學(xué)理論和應(yīng)用方面［8－15］，關(guān)于宏觀散射波動力學(xué)研究則比較少．散射波理論中包括單次散射、多次散射等諸多重要的領(lǐng)域［1，2，4］，本文從單次散射波理論入手，重點(diǎn)討論其振幅這一動力學(xué)因素的特征，定量地分析它與擾動介質(zhì)之間的關(guān)系．

2 散射場計算方法

在散射波數(shù)值模擬方面，1995年Wu和Huang［8］提出了相位屏算子，計算了二維情況下的散射波場；1998年，符力耘等［15］采用配置法來對體積分方程進(jìn)行了求解，將非均勻介質(zhì)等效地看作為某一均勻背景介質(zhì)擾動情況下的擾動；同年，David W．Eaton采用Born近似和射線理論近似的方法進(jìn)行了散射場的計算；2001年，孫明［16］采用高斯射線束的方法進(jìn)行了簡單塊狀構(gòu)造的模擬，取得了一定的成果；2003年，黃雪繼［17］基于微擾論，采用相移法求解波動方程計算一次場，再用FK域積分公式進(jìn)行了散射場的正演模擬；2007年，秦雪霏［18］采用六階有限差分進(jìn)行了散射波的數(shù)值模擬；2009年，郭繼亮［19］采用有限差分法針對隨機(jī)介質(zhì)進(jìn)行了模擬并對波場進(jìn)行了分析．

2．1 數(shù)值模擬計算方法

在基于微擾論的現(xiàn)有各種散射波數(shù)值模擬方法中，幾種是基于常規(guī)波動方程方法的，這些方法的數(shù)學(xué)模型還不夠完備，只能從某些方面反映散射場的形態(tài)．有些方法有了嚴(yán)密散射理論的方法（Wu和黃雪繼），數(shù)學(xué)模型比較完備，他們都是基于微擾論的，均將擾動對入射波的響應(yīng)當(dāng)成二次的信號源（二次震源）．基本思想如下：

根據(jù)微擾理論，可將介質(zhì)分為背景介質(zhì)和擾動介質(zhì)兩部分，介質(zhì)Q可以描述為背景介質(zhì)Q0（x）和擾動介質(zhì)δQ（x）：

基于聲波方程，對應(yīng)的波場可寫為

其中Xs表示炮點(diǎn)位置，Xr表示檢波點(diǎn)位置，U0表示背景介質(zhì)中從炮點(diǎn)直接傳波到檢波點(diǎn)的波場，也稱為一次場，Us表示經(jīng)過地下介質(zhì)擾動后形成的散射場．

對（2）式采用格林函數(shù)法可以得到散射波的計算公式［8］：

其中

n為介質(zhì)擾動量，G為均勻介質(zhì)中的格林函數(shù)，Y可以看作是求取散射場的二次震源場．微擾論認(rèn)為，在擾動量微弱的前提下一次場等于總場，散射場只是個微小量．式（4）中的U＊本質(zhì)意義是總場，在微擾論范圍類可以用一次場U0代替．對公式（3）在橫向做傅氏變換，采用頻率波數(shù)域的格林函數(shù)［8］代入（3）式得到下式：

其中

Wu和黃雪繼在處理二次震源Y時采用了不同的計算方法，且都存在著二次震源近似和誤差累計的情況．首先，前人將二次震源表達(dá)式（4）中的U＊用背景場U0代替，在背景場微小的情況下是可以的，但是，擾動量增大后就存在較大的誤差；其次，在計算一次場U0時采用的都是FK域的方法，存在與計算散射場時同樣的FK域數(shù)值誤差．散射場本身就是一種擾動場，如果誤差累計增大就必然影響波場的識別；最后，在計算一次場時都是基于單程波方程，由于計算散射場前要得到每個深度的全時間數(shù)據(jù)，而相位屏法或相移法一次只能計算一個深度處的記錄，雖然在計算一個深度的時間花費(fèi)不高，但采樣加密深度增大后就需要很長的時間，所以計算效率不是很理想．

針對以上三點(diǎn)，本文設(shè)計了一種基于總場的FK域散射場計算方法，將（4）式中的U＊不做近似，采用常規(guī)高階有限差分法計算，采用了兩個修正項消除FK的數(shù)值干擾和衰減問題保證了能量的合理性．進(jìn)行算法改進(jìn)后，一方面，理論上散射場的源U＊不存在誤差，而且不存在FK域的誤差累計現(xiàn)象；另一方面，總場不需要額外計算，且總場中不包含F(xiàn)K域積分計算的數(shù)值誤差，便于波場的比較分析．在二維情況下（5）式改寫為［20］

其中

其中Nz為縱向網(wǎng)格個數(shù)，（7）式為修正后的散射波計算公式，（8）式是計算散射的源場（二次場）計算公式，（11）、（12）和（13）是用于進(jìn)行頻散和能量處理的修正公式．這里給出的表達(dá)形式多為形式上的解析形式，因入射波場由其他數(shù)值方法解得，所以這里的解為解析—數(shù)值混合形式，該方法的精度與計算入射總場U時所使用的數(shù)值方法的精度相關(guān)．

在程序?qū)崿F(xiàn)過程中，采用了兩步法進(jìn)行計算，先采用常規(guī)波動方程正演方法（程序中采用的是高階有限差分法）求取波場U，該波場是包含了一次場和散射場信息的全波場U，本文設(shè)計的計算方法中以全波場U代替前人采用的一次場U0，然后由公式（7）和（8）計算散射場Us．從散射場的計算過程可以看出，散射場Us是常規(guī)地震波場U的再次提取，是地震波場與介質(zhì)異常耦合后的積分結(jié)果．在計算U0過程中采用均勻背景介質(zhì)中的格林函數(shù)G0，存在一定的近似，在背景介質(zhì)變化較大（超過15%）時誤差將會比較明顯，所以這種方法在背景介質(zhì)變化率小于15%時較為理想．

2．2 模型試算

為了體現(xiàn)算法的效果，現(xiàn)結(jié)合兩個模型進(jìn)行計算測試，分別是點(diǎn)模型和一個復(fù)合模型．

模型一 如圖1所示，背景介質(zhì)速度為2500m／s，三個深度分別為300m、400m和500m的擾動點(diǎn)速度為2800m／s，震源位于擾動點(diǎn)正上方地表處，震源子波主頻為40Hz，檢波器均勻分布于地表．

圖1 點(diǎn)模型Fig．1 Model of point

經(jīng)過試算得到如圖2所示的單炮散射波記錄，三個雙曲線同相軸代表著三個擾動點(diǎn)的點(diǎn)散射，不論從走時還是組合關(guān)系來看都比較合理．與常規(guī)方法相比有個明顯的不同點(diǎn)是：沒有直達(dá)波，這是因為散射是擾動場的反映，直達(dá)波沒有經(jīng)過擾動改造，所以在散射場中體現(xiàn)不出來．

圖2 散射波單炮記錄Fig．2 Scatter record of single shot

圖3 復(fù)合模型Fig．3 Model of complex

模型二 如圖3所示，該模型除了考慮鹽丘構(gòu)造還一并分析了向斜構(gòu)造和小角度斜層構(gòu)造．從上往下共有三個主要分界面，在第一層水平界面上有一強(qiáng)擾動點(diǎn)，該擾動點(diǎn)坐標(biāo)為（700m，200m），速度為3000m／s，一個頂部帶有背斜構(gòu)造的鹽丘體穿透下面的兩個地層．震源位（1000m，20m）處，震源子波主頻為40Hz，接收點(diǎn)均勻分布于地表．

圖4是通過本文的改進(jìn)算法計算出的散射場單炮記錄，可以發(fā)現(xiàn)：首先，散射場中是沒有直達(dá)波信息的；其次，在散射場中出現(xiàn)了由于鹽丘頂部的背斜構(gòu)造形成的“蝴蝶結(jié)”；再次，可以清楚地發(fā)現(xiàn)由于界面1上擾動點(diǎn)形成的點(diǎn)散射．從整個記錄上可以發(fā)現(xiàn)，波場的細(xì)節(jié)部分比較明顯．

散射場是由于介質(zhì)的擾動對波場的改造形成的波場，所以散射能量與介質(zhì)擾動量的分布有著密切的關(guān)系．如果將介質(zhì)中每個點(diǎn)所有時刻中最大的散射振幅抽取出來就可以得到散射最大振幅剖面，圖5就是復(fù)合模型對應(yīng)的散射最大振幅剖面．

散射最大振幅剖面（圖5）中的虛線是鹽丘的實際輪廓，與散射能量的分布在頂部存在較好的對應(yīng)關(guān)系，界面2和界面3也吻合較好．在鹽丘深部，由于照明不充分輪廓沒有很好地反映出來．此外，由于模型底部的擾動量相對集中且較高，從而界面1在圖5中反映的不明顯．從散射最大振幅剖面與模型的吻合度可以發(fā)現(xiàn)，散射理論的介質(zhì)信息提取能比較突出，再加上對細(xì)節(jié)的描述能力較強(qiáng)，從而分辨率也是比較高的，這也從另一方面證實了本算法的正確性．

圖4 散射場單炮記錄Fig．4 Scatter record of single shot

圖5 散射最大振幅剖面Fig．5 Scattered wave maximum amplitude profile

3 散射波振幅特征

由（3）式可以看出，散射波的能量是由擾動區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)處的一次場延拓累積而成，只與擾動介質(zhì)的尺寸和擾動程度有關(guān)，與觀測系統(tǒng)沒有本質(zhì)的關(guān)系．所以本文采用分步單次散射波計算法［13］，重點(diǎn)圍繞擾動體的尺寸和擾動量兩個因素進(jìn)行分析．

根據(jù)Wu［14］和田麗花［15］的相關(guān)文獻(xiàn)，散射波場是在FK域計算的，散射場橫向的動力學(xué)特征相對于縱向更加豐富，所以設(shè)計了如圖6所示的模型，500個接受點(diǎn)均勻設(shè)置于地表，250m深度上存在一個厚為h寬L位于中央的擾動體，介質(zhì)背景速度為2500m／s，震源位于擾動體的正上方地表處，震源主頻40Hz，峰值為1個單位．

3．1 散射振幅與橫向尺度的特征

圖6 擾動模型Fig．6 Model of perturbing body

在所有接受點(diǎn)中，位于擾動體正上方的第250道因為來自地下介質(zhì)的能量最為均勻，其動力學(xué)特征最具代表性、對波場的變化最敏感、接收到的能量最大，所以在分析時就以該道數(shù)據(jù)為主要研究對象．下圖給出了該道隨擾動體橫向尺寸變化時的能量曲線（虛線）以及其能量關(guān)于擾動體橫向尺寸L的梯度關(guān)系圖（實線）．其中，擾動體的縱向厚度h為2m（遠(yuǎn)小于子波的波長），擾動體的擾動量為10%．不過從分析的合理性來考慮，討論尺度L—波數(shù)k0變化時的能量特性更為合理，這在Wu等［8，14］前人的工作中有所體現(xiàn)，本文還是想單獨(dú)地討論空間異常隨空間尺度變化時的特征情況．

圖7 尺度L變化時的能量特性Fig．7 The energy characteristics changes over perturbation scale

由圖7可以看出，隨著擾動體橫向尺度L的增大，能量是先快速增加，后經(jīng)過少許降低再略為抬高后趨于穩(wěn)定．在梯度曲線上可以看到三個關(guān)鍵分界點(diǎn)，分別是：

L1：首次振幅遞增速度拐點(diǎn)．結(jié)合實際合成地震記錄可以發(fā)現(xiàn)，擾動體橫向尺度L小于該值時，來自地下各點(diǎn)的散射能量相互加強(qiáng)；在L大于L1后出現(xiàn)相干衰弱現(xiàn)象，此時由斷點(diǎn)處形成的點(diǎn)散射能量逐漸凸顯出來．總體而言，L1是狹義散射波和繞射波的分界點(diǎn)，其大小等于對應(yīng)的第一菲涅爾半徑；

L2：首次振幅極大值點(diǎn)，隨著各擾動點(diǎn)散射波之間干涉作用的逐漸加強(qiáng)，在L達(dá)到L2時能量不再增加，達(dá)到最大值．超過L2后，內(nèi)部的各擾動點(diǎn)的散射干涉逐漸演變?yōu)榉瓷洳?，這種現(xiàn)象會隨著尺度的變大而更加明顯．L2是反射形態(tài)波場出現(xiàn)的起始點(diǎn)，其間端點(diǎn)繞射波始終存在；

L3：首次振幅階段性極小點(diǎn)．盡管由于擾動體橫向尺度的繼續(xù)增加，反射波的能量逐漸增加，但是當(dāng)L小于L3時，這種能量的增加量沒有由于斷點(diǎn)繞射遠(yuǎn)離導(dǎo)致的能量降低量大，所以出現(xiàn)降低的現(xiàn)象；當(dāng)L達(dá)到L3后，反射波的能量逐漸占據(jù)絕對比重，能量表現(xiàn)為增加的趨勢．所以說，L3是繞射和反射主導(dǎo)地位分界點(diǎn)，當(dāng)擾動體橫向尺度大于L3后記錄中主要表現(xiàn)為反射波．

到此，討論了單道振幅能量的情況，如果將所有接受道振幅的最大和最小能量統(tǒng)計后就出現(xiàn)如圖8所示的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)L1和L3對應(yīng)的最大振幅基本一致，L2處出現(xiàn)了最大和最小振幅．如果我們將最終的最大振幅值稱為穩(wěn)定最大振幅，那么L1就是首次達(dá)到平衡最大振幅的L值，L3是最終趨于平衡最大振幅的起始點(diǎn)．經(jīng)過模型試驗計算后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)L1、L2和L3之間存在著密切的關(guān)系，這里給出通過本文算法計算得出的經(jīng)驗公式：

其中R為第一菲涅爾半徑，e自然對數(shù)的底數(shù)，取2．71828183．

3．2 散射動力學(xué)特征與縱向尺度的關(guān)系

保持觀測系統(tǒng)不變，擾動體橫向尺寸L固定為2m，擾動體的擾動量為10%，通過改變縱向的尺寸h，統(tǒng)計各道的極值振幅如圖9所示．

圖8 橫向尺度L與振幅極值的關(guān)系Fig．8 The relationship between horizontal scale and amplitude extreme

圖9 縱向尺度h與振幅極值的關(guān)系Fig．9 The relationship between vertical scale and amplitude extreme

由縱向尺度h與振幅極值的關(guān)系可以看出，振幅正負(fù)最大值的表現(xiàn)特征不太一樣，這是由于負(fù)極值受到上下兩個界面的干涉作用引起的，上界面的負(fù)相位和下界面的正相位發(fā)生了疊加現(xiàn)象．在圖9中有兩個關(guān)鍵的分界點(diǎn)，如圖中的L4和L5所示：

L4：最高縱向散射分辨精度．該值表示只要擾動介質(zhì)縱向的尺度小于L4都可以看作是一個散射單元，當(dāng)L＝L4時正負(fù)最大振幅值是一致的．

L5：上下界面波形完全分離的最小尺度．通過實際合成資料的波形分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)L介于L4和L5之間時，上下界面的波形能量是連續(xù)的，沒有完全分離；當(dāng)L大于L5后上下波形完全分離，能夠直觀地定量地劃定界面的分界點(diǎn)．

通過試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，由縱向尺度h的散射動力學(xué)特征得到的兩個關(guān)鍵參數(shù)L4和L5的大小可以表示為

其中R為第一菲涅爾半徑．

3．3 散射動力學(xué)特征與擾動量的關(guān)系

維持原有的觀測系統(tǒng)不變，擾動體的橫縱尺寸均為2m，通過改變擾動量n得到了如圖10所示的能量特征曲線，其中實線表示第250道記錄的能量走勢，虛線反映的是各道平均能量的走勢情況．

圖10 擾動量變化時的能量特性Fig．10 The energy characteristics changes over perturbation quantity

圖10中兩條曲線基本一致，記錄的能量都是隨著擾動量的增加而不斷地提高，并且前期的增速明顯高于后期，這也是公式（3）的數(shù)值表現(xiàn)形式．

4 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種基于總場的散射波的FK域數(shù)值模擬方法，該方法具有誤差小且計算效率高的特點(diǎn)．由于誤差較小，對于介質(zhì)擾動的信息提取精度得到了提高，由散射場提取出來的最大散射振幅剖面與模型剖面具有較高的吻合度，從而達(dá)到了地下擾動信息的保真提?。送猓槍τ趩未紊⑸洳ㄟM(jìn)行的散射波振幅動力學(xué)的特征分析，主要討論了擾動體的空間尺度和擾動量這兩個因素對散射波振幅能量的定量關(guān)系．通過模型試算得到了五個經(jīng)驗參數(shù)，分別是L1、L2、L3、L4和L5，并給出了它們的經(jīng)驗公式和對應(yīng)的物理意義．

散射波的動力學(xué)特征除了振幅信息以外還應(yīng)包含相位、頻率等屬性本文沒有涉及，此外，在擾動量較大或者擾動介質(zhì)過大時應(yīng)該采用多次散射波的計算公式來取代單次散射波，這樣的計算精度才能達(dá)到動力學(xué)分析的要求，這兩方面是進(jìn)一步研究的方向．

致 謝在本文的數(shù)據(jù)計算過程中得到長安大學(xué)朱光明教授和劉永華副教授的點(diǎn)撥，在此表示誠摯的感謝．

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［19］ 郭繼亮．隨機(jī)介質(zhì)散射波場數(shù)值模擬與特征分析．西安：長安大學(xué)，2009．Guo J L．The Numerical Simulation of Scattering in Random Media and the Analysis of the Wavefield（in Chinese）．Xi′an：Chang′an University，2009．

［20］ 劉鐵華．地震散射波理論與數(shù)值模擬．西安：長安大學(xué)，2010．Liu T H．The Theory and Numerical Simulation of Scattering（in Chinese）．Xi′an：Chang′an University，2010．

High precision numerical modeling and dynamic characteristic analysis of seismic scattering wave

LIU Tie－Hua
China Railway Siyuan Survey and Design Group CO．，LTD，Wuhan 430063，China

The scattered wave seismic method is now well appreciated and developed with the advancement of technology and requirement of seismic survey．Particularly in high－precision prospecting of complicated structure area，it has broad application prospect．Different current numerical modeling of scattered wave has their advantages and disadvantages．This paper has designed a method of Integration in FKdomain based on perturbation theory to solve scattered field，which could obtain scattered field by integration in FKdomain after get the total wave field．It has improved the data source of scattered field and the processing of space energy．The computational accuracy and efficiency of scattered field have got better．In addition，based on the algorithm a forward modeling test is carried out for the dynamics of scattered field．The features of kinetics of scattered wave amplitude are analyzed quantitatively from the perspectives of space distribution of perturbing body and disturbance quantity．Based on this，it obtains five experiential constants and provides the corresponding formula and physical significance．Scattered wave could be classified into different dynamical characteristics by the constants．

Scattered wave，High precision，Numerical modeling，Integration in FKdomain，Perturbation theory，Dynamic characteristic，Quantitative analysis

P631收修定稿2011－11－08，2012－02－27收修定稿

劉鐵華．地震散射波的高精度數(shù)值模擬與振幅分析．地球物理學(xué)報，2012，55（4）：1318－1324，

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．027．

Liu T H．High precision numerical modeling and dynamic characteristic analysis of seismic scattering wave．Chinese J．Geophys．（in Chinese），2012，55（4）：1318－1324，doi：10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．027．

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．027

劉鐵華，男，1983年生，工學(xué)碩士，助理工程師，主要從事散射波理論和工程地球物理綜合方法的研究與應(yīng)用工作．E－mial：lthrwx＠163．com

（本文編輯 胡素芳）