李思濤，馬德坤，夏宇文

（1.勝利油田高原石油裝備有限責任公司，山東東營257091；2.西南石油大學機電工程學院，成都610500）

單牙輪鉆頭牙齒齒形研究

李思濤1，馬德坤2，夏宇文2

（1.勝利油田高原石油裝備有限責任公司，山東東營257091；2.西南石油大學機電工程學院，成都610500）

目前，單牙輪鉆頭的牙齒使用的是三牙輪鉆頭的牙齒。由于單牙輪鉆頭的結構、運動規(guī)律和破巖方式與三牙輪鉆頭有很大區(qū)別，使得單牙輪鉆頭特有的作用及潛力受到限制。建立了單牙輪鉆頭的坐標系，推導出幾何公式，并引入有向距離的概念對單牙輪鉆頭的牙齒進行研究。根據等磨損原理，提出適用于單牙輪鉆頭的結構特點和運動規(guī)律的牙齒齒形，并提出新的布齒方案，即，在牙輪工作面的永遠接觸區(qū)域內使用軸對稱的牙齒；在輪換接觸區(qū)域內使用橢圓形牙齒。

單牙輪鉆頭；牙齒；齒形；有向距離

單牙輪鉆頭既具有三牙輪鉆頭和PDC鉆頭的優(yōu)點，又彌補了二者的不足。國內外的使用結果表明，單牙輪鉆頭比三牙輪鉆頭更適用于強度和塑性大的地層，還適應PDC鉆頭難以適應的硬夾層和其他復雜地層，具有較高的經濟效益。因此，在現代鉆井技術日益發(fā)展的今天，單牙輪鉆頭是深井和復雜地層中使用的一種可選鉆頭類型。

目前，在單牙輪鉆頭上普遍使用的是三牙輪鉆頭的牙齒。由于單牙輪鉆頭有其特殊的結構、運動規(guī)律和破巖方式，所以現有的單牙輪鉆頭牙齒并不能完全適應單牙輪鉆頭的結構特點和運動規(guī)律。本文在查閱了大量資料和文獻的基礎上，從幾何學上對單牙輪鉆頭牙齒進行了研究，給出了單牙輪鉆頭新的齒形。

球形單牙輪鉆頭在鉆進過程中，牙齒上任意1個點在空間的運動軌跡是連續(xù)的、確定的。從距離牙齒齒頂一定高度取1個截面，這個截面的對稱中心點的軌跡方程就可以求出來。有了空間曲線方程，它的切線就是已知的，與切線對應的是曲線的法平面，這個平面就把這個時刻截面上的所有點分成2個部分，和切線方向一致的點就可以判斷出來，而這些點就是在這個時刻參與實際井底破巖的部分。為此，引入了有向距離的概念［1－3］。

1 單牙輪鉆頭牙齒研究理論基礎

1.1 坐標系統(tǒng)

單牙輪鉆頭的牙輪表面是球面，所以，牙輪上的空間相對坐標系就采用球坐標系。這個坐標系是隨著鉆頭一起轉動和上下移動的。為了便于研究，還在牙齒上建立一個相對坐標系。

為了坐標變換中表示上的方便，用字母加下標的變量來表示坐標系。鉆頭絕對坐標系用Obxbybzb表示，牙輪相對球坐標系用Ocxcyczc表示。

1.2 幾何學公式

單牙輪鉆頭幾何學基本公式為［3－5］

式中，ρc、c、θc是空間1點在牙輪球坐標系下的3個坐標分量；xb、yb、zb是點在鉆頭直角坐標系下的3個坐標分量；β是鉆頭軸傾角，即鉆頭軸線和牙輪中心線之間的夾角。

轉換成圓柱坐標為

式中，ρb、θb、zb是點在鉆頭極坐標系下的3個坐標分量。

1.3 運動學公式

在單牙輪鉆頭幾何學的基礎上，利用已有的鉆頭運動學的一些理論，建立單牙輪鉆頭運動學基本公式為

式中，ρc（0）、θc（0）、c（0）是牙輪表面上一點在牙輪球坐標系的初始位置坐標；θc（t）是牙輪轉動時點在牙輪球坐標系中的瞬時位置坐標；θb（0）是點在鉆頭坐標系中的初始位置坐標；ρb（t）、θb（t）和zb（t）是點在鉆頭坐標系下的瞬時坐標值；t是時間序列；nc和 nb分別是牙輪和鉆頭轉速；vb是鉆頭機械鉆速。

有了運動學公式就可以編制程序，繪制出任意1個球形單牙輪鉆頭在不同運動參數條件下的牙齒軌跡圖。同時，為后面的分析和研究奠定基礎。

1.4 有向距離

1） 平面的法方程 已知平面π：A×x＋B×y＋C×z＋D＝0。平面的法向向量是幺法矢（任何長度為1的矢量叫做幺法矢），即＋C2＝1。那么就把這個方程叫做平面的法方程。如果幺法矢的方向角是α，β，γ，則平面的法方程還可以表示為：x×cosα＋y×cosβ＋z×cosγ≡P。

1.5 牙齒工作區(qū)域

由于單牙輪鉆頭的運動和結構上的特點，使得球形牙輪上有一部分牙齒始終與井底接觸進行破碎巖石，另一部分輪換與井底接觸，還有一部分牙齒在鉆頭工作過程中是一直接觸不到井底的。鉆頭的整個布齒面可分成永遠接觸區(qū)、輪換接觸區(qū)和永不接觸區(qū)，這3個區(qū)域分別對應于圖1中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域。

通常，第 Ⅲ 區(qū)域內的牙齒不參與井底模式的形成。即便如此，Ⅰ和Ⅱ區(qū)域內牙齒在井底的切削狀況也是很不相同的。

圖1 牙齒井底工作區(qū)域

2 公式推導和結果分析

2.1 單牙輪鉆頭牙齒研究公式推導

根據前面單牙輪鉆頭基本幾何學和運動學的知識，可以求出鉆頭牙齒截面中心點的運動軌跡方程。利用空間解析幾何的知識，求出這個方程在一個點上的切線方程和對應的法平面方程，進而求出這個截面上任意點到這個法平面的有向距離。根據有向距離的符號來判斷這個點是否接觸巖石，并且統(tǒng)計截面上所有點在某一個時間段之內接觸巖石的概率值，并繪制曲線加以分析［6－7］。具體的推導過程是一組解析幾何公式的推導，這里不再詳細敘述。

2.2 程序編制和結果分析

在假設井底是完全光滑的半球形的基礎之上，編制計算程序，并在計算機上進行調試和運行，對所得結果進行了分析。雖然有一定的誤差，但它不會引起質的變化，不會影響對牙齒截面各個位置觸底概率大小的評判。

計算過程中保存了牙齒上不同點接觸井底的統(tǒng)計概率數據，還根據這些數據繪制出了直觀的示意圖。鉆頭上的牙齒，由于其空間位置的不同，也就決定了它在某一截面上點接觸巖石概率的變化規(guī)律也就各不相同，如圖2～7。圖中里面的圓代表牙齒截面，外面的曲線到內圓的距離表示這個點實際接觸巖石的概率。

2.2.1 永遠接觸區(qū)域（Ⅰ區(qū)）

圖2是位于鉆頭表面永遠接觸區(qū)域內的一顆牙齒的觸巖概率數據圖形。相關的運動參數為：鉆頭轉過的總圈數＝30；鉆頭軸傾角β＝45°；鉆頭直徑D＝149.2mm；鉆頭轉速ω1＝60r／min；牙輪轉速ω2＝36r／min；機械鉆速vz＝3m／h；牙齒在牙輪坐標系中的位置坐標α＝30°；θ＝0°。

從圖2中可以看出，牙齒截面上各個點的實際觸巖概率幾乎相等，牙齒截面中心點可看成是一直接觸井底的，而這個截面上各個點的實際觸巖概率的最大值和最小值相差不大。究其根本原因是這顆牙齒在空間上位于鉆頭牙輪表面上的永遠接觸區(qū)域內，即這顆牙齒一直在刮削井底。

鑒于此，建議在鉆頭的永遠接觸區(qū)域內，選用軸對稱的牙齒，這樣能最大限度的發(fā)揮牙齒的功效、減小牙齒磨損，從而延長鉆頭的壽命。

圖2 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝30°）

2.2.2 輪換接觸區(qū)域（Ⅱ區(qū)）

在這個區(qū)域內，由于牙齒有部分時間是完全脫離井底的，因此，牙齒觸底的時間明顯降低，牙齒上各個點實際觸巖概率遠小于在永遠接觸區(qū)域內的牙齒。

圖3是輪換接觸區(qū)域內一顆牙齒的觸巖概率示意圖，這顆牙齒的空間位置參數是：θ＝0°；α＝90°。從圖中可以看出，牙齒截面上各個點接觸井底的概率的分布規(guī)律與在永遠接觸區(qū)域內的牙齒是完全不同。

圖3中的水平線是牙輪對稱軸和牙齒中線所組成的平面在牙齒截面上的投影。從理論上來講，圖中外面的曲線應該是實際的牙齒外形輪廓線，即牙齒的外形。但是，考慮到實際的加工工藝和制造情況，必須對其進行簡化?？偟膩碚f，要采用前后不對稱而左右對稱的牙齒，不對稱的程度則取決于牙齒實際在牙輪上的空間位置。

圖3 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝90°）

圖4～7是在輪換接觸區(qū)域內不同的牙齒的觸巖概率的分布規(guī)律示意圖。從圖中可以看出，隨著牙輪位置的變化，沿著牙齒截面上的各個點接觸巖石的概率是不同的。

圖4 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝50°）

圖5 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝70°）

圖6 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝110°）

圖7 牙齒截面觸底概率分布（θ＝0°；α＝130°）

2.3 新齒形方案設計

根據圖2～7中所得到的曲線的外形可以看出：在牙輪表面上輪換工作區(qū)域內的牙齒的外形應該是不完全對稱的，即在一個方向上是軸對稱的，而在另一個方向上是不完全對稱的。也就是說，牙齒在各個方向上的磨損是各不相同的，在輪換接觸區(qū)域內，牙齒一側的部分參與巖石切削的時間明顯長于另一側。根據等磨損原理，牙齒的截面應當是不對稱的，至少是不能完全對稱。于是就在錐形齒的基礎上，得出一種新的齒形。針對不同情況，提出2個方案。

1） 方案一 牙齒截面對稱，如圖8所示。這種牙齒的截面形狀以錐形牙齒為基礎，取原來錐形齒截面圓的直徑作為橢圓截面的短軸，橢圓的長軸長于短軸，具體的數值應該由試驗和進一步的研究決定。

圖8 牙齒齒形示意（方案一）

2） 方案二 牙齒截面不對稱，如圖9所示。牙齒截面在一個方向上是對稱，而在另一個方向上是不對稱的。

圖9 牙齒齒形示意（方案二）

上面是根據已有的計算數據而推測出來的2種可能的新齒形。提出新齒形的依據是牙齒上各個點的觸巖概率，即牙齒上各點的磨損概率，而這些數據是以單牙輪鉆頭幾何學作為根本依據的，所以，新齒形符合單牙輪鉆頭的結構特點。但是，它們能否適應單牙輪鉆頭特有的運動規(guī)律和破巖方式，還需要試驗來進行驗證。牙齒形狀的具體幾何參數，也要由試驗并結合進一步的計算來確定。

鑒于牙齒在單牙輪鉆頭牙輪上位置不同，它在實際井底的運動和切削規(guī)律也各不相同。在牙輪工作面的永遠接觸區(qū)域內，使用軸對稱的牙齒；而在輪換接觸區(qū)域內使用上面提出的橢圓形牙齒。

3 結論

1） 本文從幾何學的角度出發(fā)，引入了有向距離的概念對單牙輪鉆頭的牙齒進行了探索，并根據等磨損原理，最終提出適合于單牙輪鉆頭的結構特點和運動規(guī)律的新形狀的牙齒，并且得出單牙輪鉆頭上新的布齒方案：在牙輪工作面的永遠接觸區(qū)域內，使用軸對稱的牙齒；而在輪換接觸區(qū)域內使用橢圓形牙齒。

2） 這種新的牙齒和與之密切結合的布齒方案適應單牙輪鉆頭的結構和運動特點，可以預見，能夠延長單牙輪鉆頭的壽命，充分發(fā)揮單牙輪鉆頭的優(yōu)勢和潛力，提高單牙輪鉆頭的使用價值，從而在我國石油勘探和開發(fā)中得到越來越廣泛的應用。

［1］ 馬德坤.牙輪鉆頭工作力學［M］.北京：石油工業(yè)出版社，1994：14－126.

［2］ 馬紅偉，鄧 嶸，盛友萍.單牙輪鉆頭井底軌跡分析［J］.石油礦場機械，2004，33（5）：41－43.

［3］ 陳東方.牙輪破裂綜述［J］.石油礦場機械，2008，37（8）：99－101.

［4］ 喻開安.單牙輪鉆頭動力學研究［J］.石油礦場機械，2009，38（2）：11－14.

［5］ 鄧 嶸，王 方，熊長武.單牙輪鉆頭的設計與分析［J］.四川大學學報：工程科學版，2001，33（5）：51－54.

［6］ 吳修國，劉 暢.提高小眼井鉆井速度初探［J］.石油鉆探技術，2000，28（1）：17－19.

［7］ 李劍波，潭安萍.老井重鉆小井眼技術特點及問題分析［J］.石油鉆采工藝，2000，23（1）：9－13.

Research of Teeth of Single Cone Bit

LI Si－tao1，MA De－kun2，XIA Yu－wen2
（1.Shengli Oilfield Highland Petroleum Equipment Co.，Ltd.，Dongying257091，China；2.College of Mechanical and Electrical，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

The single cone bit has potential prosperity that differentiated withtri conebitandPDC bit.However，the teeth of the single cone bit were same with those of tri－cone bit.Thus，the efficiency and advantages was seriously confined because the single cone bit was differentiated with tri－cone bit in structure，moving pattern and cutting rocks.The teeth of the single cone bit were studied geometrically based on the calculation of the contacting percentage of each point of the teeth using the mathematical principle of directional distance.The conclusion was made that a kind of teeth with new shape were fit for the single cone bit suitable for the structure and moving pattern to maintain similar life for different teeth.A new plan to arrange the teeth of the single cone bit was put forward that the axial－symmetry teeth should be set in the continuous－contacting area of the cone and the new teeth should be set on the discontinuous－contacting area of the cone.

single cone bit；teeth；teeth shape；directional distance

1001－3482（2012）06－0005－05

TE921.102

A

2011－12－20

李思濤（1975－），男，山東臨沂人，碩士，1999年畢業(yè)于西南石油學院機械設計及理論專業(yè)，從事鉆采機械的設計、研究和生產工作，E－mail：lisitao01＠126.com。