范晉偉，雒 駝，李 云，蒙順政，李 偉，羅建平

(北京工業(yè)大學機電學院，北京 100124）

0 引言

四軸臥式加工中心由于可進行多面加工，其剛度和穩(wěn)定性又優(yōu)于普通的五軸機床，在加工精度與加工效率的平衡上，臥式精密加工中心具備三軸與五軸機床都不具備的優(yōu)勢。但是在零件的實際加工過程中，由于機床各環(huán)節(jié)都不可避免的存在誤差，通過運動鏈最終都會影響機床的加工精度，直接影響汽車、微電子、航空航天、武器制造等工業(yè)領域中最終產(chǎn)品的質量，影響著行業(yè)的整體發(fā)展。所以在保證加工效率的基礎上如何有效的提高加工精度是當前亟待解決的問題。

提高機床的精度有兩種方法，誤差防止法和誤差補償法。其中誤差補償法通過誤差補償軟件預先修正機床加工指令，進行誤差補償，使刀具軌跡滿足精度要求。為機床建立合適的誤差模型，是誤差補償法的關鍵步驟之一。

機床誤差中，幾何誤差、熱變形誤差、載荷誤差和刀具誤差占總誤差的70% ～90%［1］。其中幾何誤差及在穩(wěn)定工作狀態(tài)下的熱變形誤差都屬于穩(wěn)定的系統(tǒng)誤差，最高可占總誤差的65%［1］，幾何誤差模型就是將這部分誤差產(chǎn)生的幾何變形映射到幾何誤差上來分析。因此，幾何誤差建模實際上并不限于分析幾何誤差，是一種綜合空間誤差建模，具有誤差補償效果好，補償效果穩(wěn)定，不受誤差形式局限的優(yōu)點。本文誤差建模的主要目標是以多體系統(tǒng)理論為基礎，建立綜合空間誤差模型與刀具姿態(tài)誤差模型，為誤差補償打下理論基礎。

在建立綜合空間誤差模型的基礎上，還要有合適的誤差補償方法才能對機床數(shù)控指令進行修正。本文分析了刀具軌跡與數(shù)控指令映射關系，選擇采用迭代法添加判定條件的手段修正數(shù)控指令。

最后，本文針對四軸臥式加工中心的機床結構與誤差形式，以多體系統(tǒng)理論為基礎，為加工中心建立了綜合空間誤差模型以及刀具姿態(tài)誤差模型，以誤差模型和刀具軌跡與數(shù)控指令的映射為指導，編寫了基于C++的刀具軌跡仿真軟件。并對理想刀具軌跡、實際包含誤差的刀具軌跡以及補償后的實際刀具軌跡都進行了仿真，驗證了誤差建模環(huán)節(jié)的正確性以及誤差補償?shù)挠行浴?/p>

1 臥式加工中心的幾何誤差模型

1.1 基于多體系統(tǒng)理論的機床結構描述

四軸臥式加工中心是由床身、X軸導軌、Y軸導軌、主軸、刀具、Z軸導軌、工作臺、工件所組成的多體系統(tǒng)。其結構簡圖如圖1所示，圖2為根據(jù)結構簡圖提煉出的拓撲結構。根據(jù)多體系統(tǒng)基本理論，以其特有的低序體陣列描述多體系統(tǒng)的拓撲結構，任意物體的較低序號的物體，用L(K）表示，L表示低序體算子，K表示物體的序號，它滿足:

且補充定義L(K）=K，L(0）=0。則車銑中心的拓撲結構各體的各階低序體序號，如表1所示。表2為其自由度，它表示機床各單元之間的約束情況，其中“0”表示不能自由運動，“1”表示能自由運動。

圖1 四軸臥式加工中心的結構簡圖

圖2 四軸臥式加工中心的拓撲結構圖

表1 四軸臥式加工中心的低序體陣列

表2 加工中心運動軸的自由度

1.2 四軸臥式加工中心的誤差分析

四軸臥式加工中心共有47項幾何誤差，首先X、Y、Z三個平動軸各有6個，共計18項誤差項，以X軸為例，有定位誤差、Y方向直線度誤差、Z方向直線度誤差、滾擺誤差、顛擺誤差、偏擺誤差:Δxx、Δyx、Δzx、Δαx、Δβx、Δγx;其次轉動軸 B 有 6 項誤差，X 方向跳動誤差、Y方向跳動誤差、軸向竄動誤差、繞X軸轉角誤差、繞Y軸轉角誤差、繞Z軸轉角誤差:ΔxB、ΔyB、ΔzB、ΔαB、ΔβB、ΔγB;主軸有 6 項誤差，X 方向跳動誤差、Y方向跳動誤差、軸向竄動誤差、繞X軸轉角誤差、繞 Y 軸轉角誤差、繞 Z 軸轉角誤差:Δxφ、Δyφ、Δzφ、Δαφ、Δβφ、Δγφ;工件及刀具裝夾各有 6 個總共12項誤差，以工件為例:X方向直線度誤差、Y方向直線度誤差、Z方向直線度誤差、繞X軸轉角誤差、繞Y軸轉角誤差、繞 Z 軸轉角誤差:Δxwd、Δywd、Δzwd、Δαwd、Δβwd、Δγwd;另有5 項單元間姿態(tài)誤差:X、Y 軸垂直度誤差、X、Z軸垂直度誤差、Y、Z軸垂直度誤差、B 軸與 X、Z 軸間的垂直度誤差 2 項:Δγxy、Δβxz、Δαyz、ΔγxB與 ΔαzB。需要注意的是，由于研究初衷是為了補償機床在測量后一段有效時間內(nèi)的穩(wěn)定誤差，我們忽略了與裝夾及更換刀具有關的易變誤差、可以隨時測量調(diào)整的B軸與X、Z軸肩的垂直度誤差，以及與刀具具體形態(tài)有關的主軸誤差，只留下機床中不輕易改變的27項固有幾何誤差進行建模。

1.3 基于多體系統(tǒng)理論的四軸臥式加工中心誤差建模

空間綜合誤差及姿態(tài)誤差推導所使用的四軸臥式加工中心的體間理想靜止(運動）特征矩陣Tijp(a）、體間靜止(運動）角誤差矩陣Tijp(a）(R）及體間靜止(運動）誤差特征矩陣ΔTijp(a），均可由多體系統(tǒng)特征矩陣表［3］推出。

設刀具成形點在共建坐標系內(nèi)的坐標是:

那么刀具成形點在工件坐標系內(nèi)的理想成形函數(shù)為:

在四軸臥式加工中心上，由于進給系統(tǒng)中有一個回轉運動，為成形過程中調(diào)整刀具與工件間的相對姿態(tài)提供了一定條件，在加工工件的復雜曲面時能在一定程度上提高精度，為此也需要控制成形過程中的刀具姿態(tài)。為了描述刀具的位姿變化，我們在刀具上固定一矢量，使其隨刀具一起運動，然后考察該矢量的轉動情況。設刀具上刀柄至刀尖兩點之間的矢量V在刀具坐標系中的表達式為:

那么理想運動條件下，矢量V在工件坐標系中的表達式為:

在機床的實際加工過程中，由于存在各種誤差，所以刀具成形點在工件坐標系內(nèi)的實際成形函數(shù)和無誤差的理想加工過程不同，其實際成形函數(shù)為:

同理，在實際加工過程中刀具的姿態(tài)與理想加工過程中刀具的姿態(tài)也不相同，實際加工運動矢量V在工件坐標系中的表達式為:

在實際加工過程中，刀具成形點的實際位置由于各誤差項的影響會偏離理想位置，產(chǎn)生綜合空間位置誤差。根據(jù)上文所述的坐標系間變換矩陣，即式(2）、(3）、(6）可對理想的成形空間點和實際刀具成形空間點進行坐標變換，以求解出刀具成形點的綜合空間誤差，其為:

加工過程中，刀具相對于工件的實際姿態(tài)與理論姿態(tài)間，由于受到旋轉軸及平動軸誤差的疊加影響，也會存在偏差，這里用E表示，根據(jù)式(4）、(5）、(7），可得刀具的空間姿態(tài)誤差為:

根據(jù)多體系統(tǒng)理論，經(jīng)過運動誤差分析，式(8）、(9）就是四軸臥式加工中心刀具成型點的綜合空間運動誤差模型及刀具空間姿態(tài)模型。該模型為進行誤差補償和編寫誤差補償仿真軟件提供了理論基礎。

2 數(shù)控指令修正值求解

2.1 刀具軌跡的表達

刀具軌跡指的是機床刀具中心在工件坐標系內(nèi)的運動軌跡，它有理想刀具軌跡和實際刀具軌跡之分，理想刀具軌跡指的是根據(jù)理想的機床運動模型，經(jīng)理論計算而得的刀具軌跡;實際刀具軌跡指的則是機床刀具在相對于工件坐標系運動過程中實際產(chǎn)生的軌跡。

在理想條件下以及實際條件下，建立起數(shù)控指令及刀具軌跡二者間的相互映射關系，是軟件誤差補償?shù)年P鍵環(huán)節(jié)之一。通過這些映射關系，不僅可以獲得修正后的數(shù)控指令，而且還可以進行仿真和分析。

由于一條刀具軌跡上有無限個點，再考慮到數(shù)控指令的長度要求等問題，不可能去逐點控制刀具軌跡，只能通過修正映射關系的方法來控制刀具軌跡。

在理想條件下，不存在加工誤差。數(shù)控指令到刀具軌跡的映射關系不受誤差影響。而在實際條件下，映射關系則由誤差參數(shù)確定。

2.2 采用迭代法修正數(shù)控指令

為求得修正后的數(shù)控指令，誤差補償軟件采用迭代計算法直接修正數(shù)控指令。其計算步驟是:首先根據(jù)刀具軌跡與數(shù)控指令的關系求出迭代初值(x0，y0，z0）;其次將初值代入刀具軌跡與數(shù)控指令實際的映射關系，得到一次迭代后修正的數(shù)控指令值(x1，y1，z1）;然后判斷所得的修正數(shù)控指令所驅動的實際刀具軌跡與理想刀具軌跡上相應點的位置偏差是否小于給定值，如果滿足判別條件則迭代完畢;如果不滿足判別條件，則以(x1，y1，z1）為初始值繼續(xù)迭代，直到滿足條件位置。設第i次迭代終止，則得到滿足條件的修正后數(shù)控指令值為(xj，yj，zj），迭代的終止條件為:

式中 Δx、Δy、Δz分別為機床 X、Y、Z 軸的平移分辨率;Δα、Δβ、Δγ分別為機床繞 X、Y、Z 軸轉動的分辨率。

3 仿真結果

依據(jù)四軸臥式加工中心的綜合空間誤差模型、刀具姿態(tài)誤差模型與迭代法修正數(shù)控指令的方法，我們開發(fā)了基于C++的誤差補償仿真軟件。該軟件可以以綜合空間誤差模型為基礎，生成加工中心的運動誤差模型。該仿真軟件的輸入包括選取四軸臥式加工中心的結構參數(shù)、人工設定或導入誤差參數(shù)、導入理想數(shù)控指令G代碼文件;輸出則包括生成理想刀具軌跡、生成實際刀具軌跡以及生成補償后的實際刀具軌跡，同時也可以導出修正后的數(shù)控指令G代碼(圖3）。

圖3 數(shù)控指令修正前后的G代碼對比

通過導入項目組實驗測定的機床誤差數(shù)據(jù)文件，依據(jù)給定的理想數(shù)控指令，仿真軟件即可顯示理想刀具軌跡與實際刀具軌跡在補償前后的圖形對比(圖4）。

圖4 理想刀具路線與實際刀具路線在補償前后的對比

圖中，藍色線條表示的是理想刀具軌跡，綠色線條表示實際刀具軌跡，可以觀察到補償前圖形中兩軌跡不重合，而經(jīng)過誤差補償后，實際刀具軌跡與理想刀具軌跡是重合的。這首先說明，在本次誤差建?；A上編寫的誤差補償軟件確實生成了可行的刀具軌跡;其次說明引入的誤差確實起到了改變實際刀具軌跡的作用;最后也證明了補償算法確實對實際刀具軌跡進行了補償。

4 結束語

(1）基于多體系統(tǒng)理論，以考慮位置誤差與姿態(tài)誤差的約束條件方程為前提，建立的四軸臥式加工中心的綜合空間幾何誤差模型及綜合空間姿態(tài)誤差模型是正確的。且建模過程具有程式化，模塊化，易于快速建模的特點。

(2）在數(shù)控指令和刀具軌跡的相互映射關系的基礎上進行修正數(shù)控指令求解的補償算法是可行的。補償前后的刀具軌跡對比圖表明，以此算法為基礎的仿真補償軟件確實對實際刀具軌跡進行了有效的補償。且具有低成本、效果好，準確快捷的優(yōu)勢。

［1］盛伯浩.數(shù)控機床誤差的綜合動態(tài)補償技術［J］.制造技術與機床，1997(6）:19-21.

［2］范晉偉.基于多體系統(tǒng)運動學的數(shù)控機床運動建模及軟件誤差補償技術的研究［D］.天津:天津大學，1996.

［3］李圣怡，戴一凡.精密和超精密機床精度建模技術［M］.北京:國防科技大學出版社，2007.

［4］粟時平.多軸數(shù)控機床精度建模與誤差補償方法研究［D］.長沙:國防科學技術大學，2002.

［5］劉又午，劉麗冰，趙小松，等.數(shù)控機床誤差償技術研究［J］. 中國機械工程，1998，9(12）:48-52.

［6］李小彭，劉春時，馬曉波，等.數(shù)控機床加工精度提高技術的進展及其存在的問題［J］.組合機床與自動化加工技術，2010(11）:1-4.

［7］范晉偉.運用多體系統(tǒng)運動學理論建立數(shù)控機床空間誤差模型［J］.北京工業(yè)大學學報，1999(2）:38-44.

［8］粟時平，李圣怡.多體系統(tǒng)理論在數(shù)控加工精度軟件預測中的應用［J］.組合機床與自動化加工技術，2004(3）:26-30.

［9］任永強，楊建國，基里維斯，等.四軸數(shù)控機床誤差綜合建模原理及分析［J］.機械工程師，2003(8）:18-22.

［10］劉新宇.五軸數(shù)控機床回轉工作臺的設計［J］.組合機床與自動化加工技術，2009(6）:100-101.