夏方超，姚 忠，王 雷

(1.西北機(jī)電工程研究所，陜西 咸陽 712099;2.海軍駐西安地區(qū)軍事代表室，陜西 西安 710043)

采用跟蹤集火射擊體制的傳統(tǒng)高炮(艦炮)，在攔截末端高速機(jī)動目標(biāo)時，因射擊時間短，造成命中概率下降，同時要求火炮隨動系統(tǒng)功率更大，以實現(xiàn)高速調(diào)炮。能在短時間內(nèi)發(fā)射大量彈丸的超高射速彈幕武器，采用空域窗攔阻射擊體制，可攔截末端高速機(jī)動目標(biāo)[1]?？沼虼皵r阻射擊體制的前提是對目標(biāo)未來域的解算，筆者提出了一種基于概率分布的未來域解算方法。

1 未來域解算方法

目標(biāo)未來點的解算誤差是由觀測設(shè)備的測量誤差和火控系統(tǒng)的解算誤差等諸多因素引起的，其中，火控解算誤差主要為目標(biāo)運動假設(shè)誤差。本文主要研究觀測設(shè)備為雷達(dá)時的測量誤差。

1.1 雷達(dá)測量誤差

雷達(dá)測量誤差可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類。理論上，系統(tǒng)誤差在校準(zhǔn)雷達(dá)時可以消除。隨機(jī)誤差系指因某種偶然因素引起的測量誤差，又稱偶然誤差，一般不能消除。隨機(jī)誤差是影響雷達(dá)測量精度的主要因素[2]。

設(shè)t時刻雷達(dá)對空中某一目標(biāo)進(jìn)行測量時，目標(biāo)視在位置為M(D,β,ε)，雷達(dá)測量誤差的存在使得目標(biāo)真實位置有以下情形：

1) 距離誤差：目標(biāo)斜距離的測量值為D，雷達(dá)的測距精度為±σD，則目標(biāo)斜距離的真實值位于距離區(qū)間[D-σD,D+σD]內(nèi)。

2) 方位角誤差：目標(biāo)方位角的測量值為β，雷達(dá)的方位角測量精度為±σβ，則目標(biāo)方位角的真實值位于角度區(qū)間[β-σβ,β+σβ]內(nèi)。

3) 高低角誤差：目標(biāo)高低角的測量值為ε，雷達(dá)的高低角測量精度為±σε，則目標(biāo)高低角的真實值位于角度區(qū)間[ε-σε,ε+σε]內(nèi)。

因此，t時刻雷達(dá)所給出的某被測目標(biāo)的視在位置為點M，目標(biāo)的真實位置則位于以M為中心，橫截面為橢圓的圓臺空域內(nèi)，如圖 1所示。

1.2 目標(biāo)運動假設(shè)誤差

目標(biāo)未來點的預(yù)測與目標(biāo)未來的運動規(guī)律有著極大關(guān)系。跟蹤集火射擊體制下，一般將目標(biāo)運動規(guī)律假設(shè)為：等速直線運動或等加速運動[3]。跟蹤射擊的預(yù)測時間主要為彈丸飛行時間，預(yù)測時間較短；攔阻射擊體制下的預(yù)測時間包括火控解算時間、調(diào)炮時間和彈丸飛行時間等，預(yù)測時間較長。針對上述問題，本文提出了一種多航路目標(biāo)未來域解算方法：

1) 根據(jù)所要攔截目標(biāo)的類型和所掌握的目標(biāo)機(jī)動先驗知識，確定目標(biāo)最可能的攻擊方式，將系統(tǒng)對目標(biāo)位置、速度和加速度的預(yù)測誤差轉(zhuǎn)化為目標(biāo)以一定概率飛行的多條航路。

2) 在不能確切獲取目標(biāo)特殊戰(zhàn)術(shù)動作的情況下，建立能在一段時間內(nèi)提供適當(dāng)精度的目標(biāo)運動描述。威爾斯特拉斯近似定理表明，多項式可在一個有限區(qū)間內(nèi)以任何所需精度來近似一個連續(xù)函數(shù)。因此，本文提出采用多項式運動假設(shè)擬合目標(biāo)未來航路。

2 目標(biāo)未來域數(shù)學(xué)模型

本文的重點在于討論目標(biāo)未來域的解算方法，為簡化數(shù)學(xué)模型，假設(shè)目標(biāo)飛行方向朝向雷達(dá)。

2.1 飛行時間預(yù)測誤差

以等加速運動模型為預(yù)測模型，將該運動模型下解算得到的目標(biāo)未來點定義為理想未來點O，目標(biāo)到達(dá)理想未來點O所用的飛行時間定義為理想飛行時間tO。目標(biāo)提前或滯后到達(dá)理想未來點O的時間誤差稱為飛行時間預(yù)測誤差。對目標(biāo)飛行時間產(chǎn)生影響的主要因素有以下兩方面：

1) 測量誤差

在上述假設(shè)條件下，雷達(dá)測量誤差中影響目標(biāo)飛行時間的為測距誤差±σD，該誤差主要為隨機(jī)誤差[2]，測距誤差近似地服從正態(tài)分布[3]，其引起的目標(biāo)飛行時間預(yù)測誤差ΔtL也近似服從正態(tài)分布，ΔtL可表達(dá)為:

(1)

式中:vT為目標(biāo)速度;±表示目標(biāo)提前或滯后到達(dá)理想未來點。

對于一維正態(tài)隨機(jī)變量，其值落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率為0.997 4，可認(rèn)為是肯定事件[3]，所以可確定目標(biāo)飛行時間預(yù)測誤差的數(shù)字特征為:

(2)

2) 運動假設(shè)誤差

采用不同的目標(biāo)運動假設(shè)，目標(biāo)到達(dá)理想未來點的時間也不同。目標(biāo)真實航路是由自動駕駛儀產(chǎn)生，末端航跡存在隨機(jī)性[4]，該過程中的目標(biāo)飛行時間預(yù)測誤差可近似視為正態(tài)隨機(jī)變量[3]，數(shù)字特征為:

(3)

ΔtH=|tO-max(ti)|

(4)

3) 飛行時間綜合預(yù)測誤差

測量誤差和運動假設(shè)誤差引起的目標(biāo)飛行時間預(yù)測誤差相互疊加。有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布[3]，因此，目標(biāo)飛行時間綜合預(yù)測誤差仍為正態(tài)隨機(jī)變量，數(shù)字特征為:

(5)

2.2 位置預(yù)測誤差

目標(biāo)到達(dá)預(yù)測迎彈面時的實際位置與預(yù)測位置存在偏差，稱為目標(biāo)位置預(yù)測誤差，其影響因素如下：

1) 測量誤差

測量誤差中影響目標(biāo)位置預(yù)測誤差的為角測量誤差，該誤差為正態(tài)隨機(jī)變量[2-3]，使目標(biāo)真實位置分布在一橢圓區(qū)域內(nèi)。設(shè)(xM,yM)為x坐標(biāo)系下的目標(biāo)視在位置，Sε、Sβ分別為散布橢圓的半軸長。目標(biāo)位置預(yù)測誤差為二維正態(tài)隨機(jī)變量，數(shù)字特征為:

E(x)=xM,E(y)=yM

(6)

(7)

坐標(biāo)變換對線段長度無影響，測量誤差在目標(biāo)視在位置處的線誤差可投影到x坐標(biāo)系內(nèi)，故Sε、Sβ仍可表示為:

Sε=CmDσε，Sβ=CmDσβ

(8)

Cm=1.047 197×10-3(rad/mil)

2) 運動假設(shè)誤差

3) 位置綜合預(yù)測誤差

如圖 2所示，預(yù)測未來點Mi分布在以理想未來點O為中心的橢圓區(qū)域內(nèi)，而目標(biāo)真實位置又分布在以Mi為中心的橢圓區(qū)域內(nèi)。加入測量誤差，擬合預(yù)測迎彈面內(nèi)目標(biāo)可能出現(xiàn)的區(qū)域時，應(yīng)主要考慮邊緣未來點的測量誤差[5]。

x坐標(biāo)系中[5]，坐標(biāo)原點為理想未來點O；x3軸為彈目相對速度方向；x1軸在彈目相對速度的鉛垂面內(nèi)，垂直于x3軸，方向向上；x2軸垂直于x1Ox3平面，方向取右手系，x1Ox2平面即為預(yù)測迎彈面。雷達(dá)測量誤差在目標(biāo)視在位置處的線誤差，可直接與x坐標(biāo)系下的未來點散布誤差疊加。綜合考慮所有情形，得到目標(biāo)未來點最大散布區(qū)域：

(9)

目標(biāo)未來點在該區(qū)域內(nèi)的散布模型較復(fù)雜，為簡化計算模型，本文將其等效為正態(tài)隨機(jī)分布。

綜上所述，目標(biāo)未來域為被測目標(biāo)所有未來點的集合。如圖 3所示，目標(biāo)未來點在時間上服從一維正態(tài)分布，主要分布在x3軸上；在空間位置上服從二維正態(tài)分布，主要分布在預(yù)測迎彈面x1Ox2內(nèi)。因此，目標(biāo)未來域為服從三維正態(tài)分布的時空域，可用三維正態(tài)分布的3σ等概率曲面所包含的空域描述，該空域為橢球域。

未來域數(shù)學(xué)模型可表示為：

(10)

目標(biāo)未來點在未來域內(nèi)出現(xiàn)的概率密度函數(shù)：

X∈[μ-3σ,μ+3σ]

(11)

目標(biāo)未來點落在未來域內(nèi)的概率：

3 仿真實例

本文以某大口徑火炮彈道為仿真目標(biāo)，進(jìn)行目標(biāo)未來域的解算。設(shè)雷達(dá)在目標(biāo)距離5.2 km處發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，并開始跟蹤，攔截位置為目標(biāo)距離1.026 km處，如圖 4所示。以雷達(dá)開始跟蹤時刻為仿真起始時刻，6 s后火控系統(tǒng)可解算出目標(biāo)在攔截位置處的未來域參數(shù)，并將射擊諸元發(fā)送到武器系統(tǒng)，指揮武器系統(tǒng)完成調(diào)炮和射擊。

某雷達(dá)測量精度為[6]：距離±13.7 m；角度±1 mil。按照上述測量誤差處理方法，可得到雷達(dá)測量誤差引起的目標(biāo)未來點散布誤差，如表 1所示。

表1 雷達(dá)測量誤差引起的未來點散布誤差

雷達(dá)跟蹤目標(biāo)后，火控系統(tǒng)通過濾波和狀態(tài)參數(shù)估值器獲取目標(biāo)運動參數(shù)，結(jié)合表 1中的方位誤差和高低誤差數(shù)據(jù)，可解算出目標(biāo)在預(yù)測迎彈面內(nèi)的位置綜合預(yù)測誤差，如圖 5所示。

加入時間預(yù)測誤差，即可得到攔截位置處的目標(biāo)未來域參數(shù)，如表 2所示。

表 2 目標(biāo)未來域參數(shù)

彈丸的未來域如圖 6所示。

由圖 5和圖 6可以看出，非制導(dǎo)的射彈類目標(biāo)末端彈道平滑，目標(biāo)運動假設(shè)誤差較小，未來點的散布誤差主要為雷達(dá)測量誤差。以上分析表明，目標(biāo)未來域的大小與雷達(dá)的測量精度、目標(biāo)的類型密切相關(guān)，雷達(dá)測量精度越高，目標(biāo)機(jī)動性越差，火控系統(tǒng)對目標(biāo)未來點的預(yù)測精度就越高，目標(biāo)未來域也就越小。

4 結(jié)束語

本文提出了目標(biāo)未來域的概念，基于概率分布的方法，分析了目標(biāo)未來域的主要影響因素，給出了目標(biāo)未來域的解算方法，建立了目標(biāo)未來域的數(shù)學(xué)模型。以現(xiàn)有雷達(dá)測量精度為依據(jù)，得到了某大口徑火炮彈丸的未來域模型。

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