成凱歌 (浙江旅游職業(yè)學(xué)院社科部,浙江 杭州 311231)

幾種非正常積分與極限的關(guān)系探討

成凱歌 (浙江旅游職業(yè)學(xué)院社科部,浙江 杭州 311231)

非正常積分與極限的關(guān)系一直是數(shù)學(xué)分析這個領(lǐng)域的重要內(nèi)容。在已有的研究成果基礎(chǔ)上討論了無窮限非正常積分斂散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系、非正常積分與積分和的極限的關(guān)系、非正常積分與函數(shù)項級數(shù)和的極限的關(guān)系。

非正常積分；積分和；極限；函數(shù)項級數(shù)

無窮限非正常積分斂散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系、非正常積分與積分和的極限的關(guān)系、非正常積分與函數(shù)項級數(shù)和的極限的關(guān)系是數(shù)學(xué)分析的重要課題之一，這一關(guān)系不僅進一步揭示了非正常積分的本質(zhì)，同時為非正常積分的應(yīng)用提供了更多的可能。關(guān)于它的研究已經(jīng)得到了許多重要成果[1-7]。下面，筆者在已有的研究成果基礎(chǔ)上進一步討論了無窮限非正常積分斂散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系、非正常積分與積分和的極限的關(guān)系、非正常積分與函數(shù)項級數(shù)和的極限的關(guān)系。

1 非正常積分的斂散性與被積函數(shù)在無窮大處極限的關(guān)系

如果f′(x)在[a,+∞]上有界,那么f(x)在[a,+∞)上必滿足Lipschitz條件,因此由文獻[2]可得如下結(jié)論。

由定理2可得：

2 非正常積分與積分和極限的關(guān)系

由文獻[2]可得:

(1)

對?n∈N+,根據(jù)積分的區(qū)間可加性有:

(2)

根據(jù)積分第二中值定理得到:

(3)

由式(2)和式(3)得:

因此：

(4)

由式(1)得:

所以:

結(jié)合式(2)即有:

于是：

3 積分與函數(shù)項級數(shù)和的極限關(guān)系

定理7和文獻[6-7]的結(jié)論類似,它們在求某些函數(shù)項級數(shù)和的極限過程中很有用。

由定理7得:

[1]Apostol T M.Mathematical Analysis [M]. 2nd Ed.北京: 機械工業(yè)出版社, 2004:112-124.

[2] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 北京: 高等教育出版社,1993:310-330.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M].北京: 高等教育出版社, 1991:50-56,310-325.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].北京: 高等教育出版社, 2001: 2-11.

[5] 肖良渠,楊紫彥.論廣義積分的定義[J].數(shù)學(xué)通訊,1996(5):30-32.

[6] 孫 濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M]. 北京: 高等教育出版社,2004:342-355.

[7] 郭森林.矩陣域上非正常積分的一種數(shù)值算法[J].鄭州工業(yè)大學(xué)學(xué)報,1999(4):101-102.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.006

O171.2

A

1673-1409(2012)03-N015-04

2012-01-26

成凱歌(1968-),男,1993年大學(xué)畢業(yè)，講師，現(xiàn)主要從事函數(shù)論方面的教學(xué)與研究工作。