趙曉蘇，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

任意階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界

趙曉蘇，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部，江蘇 蘇州 215104)

考慮任意階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界估計(jì)。利用試驗(yàn)函數(shù)，Rayleigh定理，分部積分和Schwartz不等式等估計(jì)方法與技巧，獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用。

任意階微分系統(tǒng);特征值;特征向量;上界

1 主要結(jié)果

設(shè)(a，b)?R是一個(gè)有界區(qū)間，考慮如下微分系統(tǒng)

其中 μ1，μ2，v1，v2為正實(shí)數(shù)。

把問(wèn)題(1)寫(xiě)成矩陣形式，設(shè)

六階微分系統(tǒng)方程問(wèn)題(1)的特征值估計(jì)已獲得一些結(jié)果［1］。在本文中，考慮任意階微分系統(tǒng)并且左端的導(dǎo)數(shù)比右端的導(dǎo)數(shù)階數(shù)恰好高2t－2階的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題將 ［1］推廣到任意階微分系統(tǒng)的情形，當(dāng)t=3時(shí)，恰是文［1］中的結(jié)果。運(yùn)用文［2］中的方法，并且對(duì)其方法加以改進(jìn)，對(duì)于問(wèn)題(1)獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用［3］。

定理設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的兩個(gè)第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，則有

2 定理的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(4)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u1，簡(jiǎn)記u=u1，且滿(mǎn)足

［1］ 趙曉蘇，錢(qián)椿林.六階微分系統(tǒng)帶權(quán)第二特征值的上界［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(8):10－13.

［2］ G N Hile，R Z Yen.Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator［J］.Pacific J.Math，1984(1):115 －133.

［3］ M H Protter.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev，1987(2):185 －197.

Upper Bound of Weighted Second Eigenvalue for Differential Systems with Arbitrary Orders

ZHAO Xiao-su，QIAN Chun-lin

(Fundamental Department，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Considering the estimate of the upper bound of weighted second eigenvalue for differential systems with arbitrary orders，this paper，using test functions，Rayleigh Theorem，integration by part，Schwartz inequality estimation，obtains the inequality for the estimate of upper bound of the second eigenvalue by the first eigenvalue and the estimation coefficients do not depend on the measure of the domain.The result is widely used in physics and mechanics，which plays an important role in the study of ordinary differential equation.

differential system with arbitrary orders;eigenvalue;eigenvector;upper bound

O175.1

A

1009－3907(2012)08－0975－05

2012-04-20

蘇州市職業(yè)大學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010SZDQ12)

趙曉蘇(1962-)，女，江蘇蘇州人，講師，主要從事算子特征值估計(jì)方面的研究;錢(qián)椿林(1943-)，男，江蘇蘇州人，教授，主要從事算子特征值估計(jì)方面的研究。

責(zé)任編輯:程艷艷