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(余姚市第七中學(xué) 浙江余姚 315450)

似曾相識(shí)揭本質(zhì)由此及彼促發(fā)展
——探求2類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

●吳建洪

(余姚市第七中學(xué) 浙江余姚 315450)

在眾多的高三數(shù)學(xué)模擬試卷中，經(jīng)常會(huì)碰到一些數(shù)列求通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn的試題．盡管這些試題的已知條件形式各異，但究其本質(zhì)，最終都可歸納為最基本的遞推數(shù)列求通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn的問題，如：

例1在數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足Sn=kan+n2-n(k∈R,n∈N*)．若數(shù)列{an-2n-1}為公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn．

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=5，a2=2an+1+2n-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn．

盡管學(xué)生對(duì)形如

(1)

(其中A,C,a1是非零常數(shù)，且A≠1)和

(2)

(其中A,B,C,a1是非零常數(shù))的基本遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題掌握得比較扎實(shí)，但由于對(duì)問題的本質(zhì)不是很清楚，使得當(dāng)學(xué)生碰到形如

(3)

(其中A，B，C，a1是非零常數(shù)，且A≠1)和

(4)

(其中A,B,C,D，a1是非零常數(shù))等情形時(shí)(注意到：式(3)與式(1)相似，式(4)與式(2)相似)，常常會(huì)感到束手無策，難以為繼．

事實(shí)上，遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題，一般情況下只需將不同形式的數(shù)列遞推關(guān)系式，運(yùn)用化歸思想，轉(zhuǎn)化為特殊的等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解即可．若能清楚地知道這一本質(zhì)特征，再加上一定的變式技巧，不僅能很快地解決一般遞推數(shù)列求通項(xiàng)的問題，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力有較大幫助．本文將圍繞2種類型的遞推數(shù)列問題展開探討．

類型1已知數(shù)列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數(shù)，且p≠1，求通項(xiàng)公式an．

分析對(duì)于眾多的遞推數(shù)列問題，這是一種最基礎(chǔ)、最重要的題型．熟練掌握本題最具本質(zhì)的解法，可為其他遞推數(shù)列問題的解決奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

當(dāng)n≥2時(shí)，由待定系數(shù)法得

變式1已知數(shù)列{an}滿足

其中p,r,a1是非零常數(shù)，求通項(xiàng)公式an．

分析變式1將類型1中的常數(shù)r變?yōu)閞n，一種自然而樸素的想法是，將指數(shù)rn通過變形轉(zhuǎn)化成常數(shù).

方法1當(dāng)n≥2時(shí)，等式an=pan-1+rn兩邊同除以rn，得

即轉(zhuǎn)化為類型1.

當(dāng)然，變式1還有一種更妙的解法.

方法2當(dāng)n≥2時(shí)，等式an=pan-1+rn兩邊同除以pn，得

變式2已知數(shù)列{an}滿足

其中p,r,q,a1是非零常數(shù)，求通項(xiàng)公式an．

分析對(duì)于遞推關(guān)系式an=pan-1+rn+q，可先轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列

bn=pbn-1+rn，

即為變式1．

如例2，當(dāng)n≥2時(shí)，由an=2an-1+2n-1得

an-1=2(an-1-1)+2n，

令bn=an-1，得

bn=2bn-1+2n，

即為變式1．進(jìn)一步計(jì)算可得

an=(n+1)2n+1，

Sn=n·2n+1+n．

變式3已知數(shù)列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數(shù)，且A≠1,求通項(xiàng)公式an．

分析變式3將類型1中的常數(shù)r變?yōu)殛P(guān)于n的一次式Bn+C，仿變式2，運(yùn)用待定系數(shù)法將該一次式轉(zhuǎn)化成常數(shù)．

當(dāng)n≥2時(shí)，由an=Aan-1+Bn+C得

an+λn+μ=Aan-1+Bn+C+λn+μ=

Aan-1+(B+λ)(n-1)+C+μ-B-λ=

不妨設(shè)

則當(dāng)n≥2時(shí)，

an+λ0n+μ0=A[an-1+λ0(n-1)+μ0]，

從而將數(shù)列{an}化歸為以a1+λ0+μ0為首項(xiàng)，以A為公比的等比數(shù)列{a0+λ0n+μ0}．

變式4數(shù)列{an}滿足

求通項(xiàng)公式an．

分析相鄰3項(xiàng)間的遞推數(shù)列問題比相鄰2項(xiàng)間的遞推數(shù)列問題麻煩，但只要抓住解決此類問題的本質(zhì)，變式4的解決便水到渠成．為了敘述方便，變式4以人教版必修5“數(shù)列”復(fù)習(xí)參考題B組中的習(xí)題為例．

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

(2)2005～2009年城市化與生態(tài)環(huán)境耦合協(xié)調(diào)度增長速率有所提高，表明城市化子系統(tǒng)和生態(tài)環(huán)境子系統(tǒng)進(jìn)一步協(xié)調(diào)，協(xié)調(diào)類型逐步過渡為低水平協(xié)調(diào)階段。這一時(shí)期的城市化綜合水平持續(xù)增加，城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展保持穩(wěn)定速率，而這一時(shí)期的生態(tài)環(huán)境綜合水平從2005年開始回升。通過查看各項(xiàng)指標(biāo)情況可以發(fā)現(xiàn)，這一時(shí)期在環(huán)保等投資與GDP的比值，生活垃圾無害化處理率，人均公共綠地面積，工業(yè)固體廢棄物綜合利用率這部分生態(tài)環(huán)境響應(yīng)指標(biāo)的帶動(dòng)下，生態(tài)環(huán)境質(zhì)量有較明顯的改善，這些變化與湖南省的工作計(jì)劃也密切相關(guān)，計(jì)劃中提出發(fā)展循環(huán)經(jīng)濟(jì)，倡導(dǎo)生態(tài)文明，在發(fā)展中保護(hù)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)速度與質(zhì)量、效益的有機(jī)統(tǒng)一。

教參上的參考答案如下：

通過觀察得

(5)

(6)

由式(5)，式(6)得到2個(gè)等比數(shù)列

從而

分析從參考答案看，要求學(xué)生觀察得出式(5)比較容易，但要求學(xué)生同時(shí)得到式(6)則有點(diǎn)困難．事實(shí)上，運(yùn)用待定系數(shù)法，可以用以下2種方法求解．

方法1由an=2an-1+3an-2得

an+an-1=3(an-1+an-2).

令bn=an+1+an，則數(shù)列{bn}是以3為公比，以b1=a2+a1=7為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而

an+1+an=bn=7·3n-1，

即

an+1=-an+7·3n-1，

即轉(zhuǎn)化為變式1．

方法2由an=2an-1+3an-2，運(yùn)用待定系數(shù)法得

下與參考答案同．

解決數(shù)列問題不僅僅只是待定系數(shù)法的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想，將不具有規(guī)律的原數(shù)列遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為具有特殊規(guī)律的遞推關(guān)系式．因此，在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重突出通性通法，滲透數(shù)學(xué)思想，理清思維的本原，抓住問題解決的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

類型2已知數(shù)列{an}滿足

其中A,B,C,a1是非零常數(shù),求通項(xiàng)公式an．

分析從形式上看類型2是一次分式結(jié)構(gòu)，對(duì)于分式結(jié)構(gòu)，一種行之有效的方法是取倒數(shù)．

即轉(zhuǎn)化為類型1．

即為類型1.進(jìn)一步計(jì)算可得

變式1若數(shù)列{an}滿足Aan-Ban-1=Canan-1(n≥2),其中A,B,C是非零常數(shù)，求通項(xiàng)公式an．

即轉(zhuǎn)化為類型1．

變式2已知數(shù)列{an}滿足

其中A,B,C,D,a1是非零常數(shù)，求通項(xiàng)公式an．

分析前面多次運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合待定系數(shù)法順利解決多種變式的遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題，對(duì)此變式仍可繼續(xù)為之，以例5為例加以說明．

例5已知數(shù)列{an}滿足

求通項(xiàng)公式an．

令 -3λ2-13λ-14=0,

(7)

得

不妨取λ=-2，得

由于式(7)是關(guān)于λ的二次方程，相對(duì)于類型1，運(yùn)用待定系數(shù)法求解相對(duì)復(fù)雜．但只要設(shè)計(jì)合理，還是可以順利解決的．

數(shù)學(xué)問題的解決過程，其根本是從未知逐步向已知轉(zhuǎn)化的過程，特別是對(duì)似曾相識(shí)的問題，往往需要透過表面研究本質(zhì)，揭示規(guī)律，清楚推理，從而達(dá)到理想的教學(xué)效果．在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，注重通性通法，這對(duì)于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要．