李亞麗，于懷昌，劉漢東

（華北水利水電學(xué)院 資源與環(huán)境學(xué)院，鄭州 450011）

1 引 言

巖石蠕變本構(gòu)模型與參數(shù)辨識(shí)選取是巖石流變力學(xué)理論和實(shí)踐中的重要研究課題，也是構(gòu)架理論聯(lián)系實(shí)際的橋梁。根據(jù)巖石蠕變?cè)囼?yàn)資料，建立符合實(shí)際的蠕變本構(gòu)模型并確定相應(yīng)的模型參數(shù)是巖石流變力學(xué)研究中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

研究人員已開(kāi)展了大量的巖石蠕變本構(gòu)模型研究工作，取得了許多研究成果[1－10]。由于元件組合模型可以用直觀的方法反映巖石復(fù)雜的蠕變力學(xué)特性，該模型應(yīng)用較為廣泛。常用的元件模型只能描述巖石的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變特性，無(wú)法反映巖石的加速蠕變特性。針對(duì)這一問(wèn)題，研究人員已提出一些可以描述巖石加速蠕變特性的非線性元件模型[7－10]，但總體來(lái)說(shuō)，目前這方面的研究仍有待于進(jìn)一步豐富和完善。另一方面，在巖石蠕變模型參數(shù)辨識(shí)研究中，一般依據(jù)分級(jí)加載或分別加載條件下巖石的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果建立相應(yīng)的蠕變本構(gòu)模型，并在此基礎(chǔ)上辨識(shí)得出各級(jí)應(yīng)力水平下巖石軸向與徑向的蠕變模型參數(shù)。然而，對(duì)于各級(jí)應(yīng)力水平下巖石蠕變模型參數(shù)的選取問(wèn)題，即各級(jí)應(yīng)力水平下蠕變模型參數(shù)是取以軸向應(yīng)變辨識(shí)得到的模型參數(shù)，還是取以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的模型參數(shù)問(wèn)題，目前還沒(méi)有開(kāi)展這一方面的研究工作。實(shí)際上，由于巖石材料的非均勻性以及離散性等特點(diǎn)，各級(jí)應(yīng)力水平下巖石軸向與徑向的蠕變模型參數(shù)各自獨(dú)立并不統(tǒng)一，模型參數(shù)取值時(shí)應(yīng)考慮巖石蠕變的各向異性以及巖石軸向與徑向蠕變力學(xué)特性的差異，這對(duì)于巖石工程的長(zhǎng)期安全與穩(wěn)定評(píng)價(jià)是更合理的。

基于此，本文依據(jù)粉砂質(zhì)泥巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果，選取線性黏彈性 Burgers模型來(lái)描述巖石的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變特性，構(gòu)建非線性 Burgers模型來(lái)描述巖石的加速蠕變特性。采用 Levenberg-Marquardt算法辨識(shí)得出各級(jí)應(yīng)力水平下巖石軸向與徑向的蠕變模型參數(shù)?？紤]巖石蠕變的各向異性以及軸向與徑向蠕變量、蠕變速率大小的差異，對(duì)各級(jí)應(yīng)力水平下巖石的蠕變模型參數(shù)進(jìn)行選取。研究成果可為今后開(kāi)展此方面的研究提供一定的參考依據(jù)。

2 巖石三軸蠕變?cè)囼?yàn)與成果

采用RLJW-2000巖石流變伺服儀，對(duì)三峽地區(qū)巴東組二段飽和粉砂質(zhì)泥巖進(jìn)行三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)。飽和粉砂質(zhì)泥巖的單軸抗壓強(qiáng)度為11.96 MPa，彈性模量為1.75 GPa，泊松比為0.28。巖石蠕變?cè)囼?yàn)在分級(jí)加載條件下進(jìn)行，試驗(yàn)圍壓為1 MPa。文獻(xiàn)[11]中對(duì)粉砂質(zhì)泥巖三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)方法、試驗(yàn)結(jié)果及巖石蠕變規(guī)律分析等內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)論述，這里不再重復(fù)。由試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以做出粉砂質(zhì)泥巖軸向應(yīng)變與徑向應(yīng)變的等時(shí)曲線，如圖1所示。從等時(shí)曲線中可以看出以下特點(diǎn)：

圖1 應(yīng)力-應(yīng)變等時(shí)曲線Fig.1 Stress-strain isochrones

（1）應(yīng)力-應(yīng)變等時(shí)曲線為一簇曲線，隨應(yīng)力和時(shí)間的增加，曲線逐漸凹向應(yīng)變軸，說(shuō)明應(yīng)變隨時(shí)間的增加而逐漸增大，變形模量隨時(shí)間的增加而逐漸減小，表明粉砂質(zhì)泥巖的蠕變具有明顯的非線性特征，且隨著應(yīng)力水平的提高，非線性的特征越明顯。

（2）在應(yīng)力-應(yīng)變等時(shí)曲線上有比較明顯的近似直線變到曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)前、后曲線斜率有明顯變化，表明粉砂質(zhì)泥巖可視為彈、黏、塑性體。在前8級(jí)應(yīng)力水平下，軸向應(yīng)變與徑向應(yīng)變等時(shí)曲線近似為一族直線，表明粉砂質(zhì)泥巖在低于破裂應(yīng)力水平下可視為線性黏彈性體，當(dāng)達(dá)到破裂應(yīng)力水平時(shí)，軸向應(yīng)變與徑向應(yīng)變等時(shí)曲線為一族曲線，表明粉砂質(zhì)泥巖在破裂應(yīng)力水平下可視為黏彈塑性體。因此，可以用一個(gè)線性黏彈性模型與一個(gè)非線性黏塑性模型串聯(lián)而成的組合模型來(lái)描述巖石的蠕變力學(xué)特性。

3 線性黏彈性蠕變模型

當(dāng)?shù)陀谄屏褢?yīng)力水平時(shí)，粉砂質(zhì)泥巖的蠕變具有明顯的黏彈性特征。元件模型中的 Burgers模型是一種黏彈性體，可以較好地描述具有衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變特征的蠕變曲線，并且模型簡(jiǎn)單實(shí)用[12－14]。因此，采用 Burgers模型來(lái)描述巖石的衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變特性，并確定模型參數(shù)。

3.1 Burgers模型

Burgers模型由Maxwell體與Kelvin體串聯(lián)而成，如圖2所示。

假定巖石體積變化是彈性的，流變性質(zhì)主要由偏差應(yīng)力引起的，則三維應(yīng)力狀態(tài)下 Burgers模型的蠕變方程為[15]

圖2 Burgers模型Fig.2 Burgers model

式中：Sij、eij分別為三維應(yīng)力狀態(tài)下巖體內(nèi)部的偏應(yīng)力張量與偏應(yīng)變張量；G1為瞬時(shí)剪切模量；G2為黏彈性剪切模量；η1、η2為黏滯系數(shù)。

3.2 Burgers模型參數(shù)辨識(shí)與驗(yàn)證

依據(jù)式（1），采用Levenberg-Marquardt（L-M）[16]算法分別對(duì)粉砂質(zhì)泥巖軸向以及徑向蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)得到的模型參數(shù)如表1所示。

將模型參數(shù)代入式（1），得到軸向蠕變擬合曲線與徑向蠕變擬合曲線。對(duì)比模型擬合曲線和試驗(yàn)曲線，可以看出二者吻合較好，如圖3所示。模型擬合曲線既反映了巖石加載后的瞬時(shí)彈性變形，又反映了第1階段的衰減蠕變和第2階段的等速黏滯流動(dòng)過(guò)程。由此可見(jiàn)，Burgers蠕變模型可以準(zhǔn)確地描述粉砂質(zhì)泥巖的衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變特性。

表1 以軸向應(yīng)變和徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的Burgers模型參數(shù)Table1 Parameter values of Burgers model identified by axial strain and radial strain

圖3 前8級(jí)應(yīng)力水平下巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線與擬合曲線Fig.3 Comparisons between creep curves and theoretical curves under first eight stress levels

從更完善的角度來(lái)看，用 Burgers模型來(lái)擬合試驗(yàn)曲線，在第1級(jí)應(yīng)力水平下，衰減蠕變階段模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線相差較大，而在其他較高的應(yīng)力水平下，衰減蠕變階段與穩(wěn)定蠕變階段模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線較吻合，擬合效果較好，如圖 3所示。從表1中也可以看出，第1級(jí)應(yīng)力水平下模型參數(shù)值與其他應(yīng)力水平下的模型參數(shù)值相差較大。因此，用 Burgers模型來(lái)描述較高應(yīng)力水平下粉砂質(zhì)泥巖的衰減蠕變特性與穩(wěn)定蠕變特性較為準(zhǔn)確，而描述較低應(yīng)力水平下粉砂質(zhì)泥巖的衰減蠕變特性稍有不足。

3.3 Burgers模型參數(shù)意義

對(duì)比以軸向應(yīng)變和以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的兩組Burgers模型參數(shù)，結(jié)合模型參數(shù)所反映的物理意義，如表2所示，可以得出如下認(rèn)識(shí)：

（1）G1反映了試樣的瞬時(shí)彈性變形模量。試樣軸向與徑向的瞬時(shí)彈性變形模量并不一致，徑向的瞬時(shí)彈性變形模量較軸向大，即巖石在一定應(yīng)力水平下徑向產(chǎn)生的瞬時(shí)應(yīng)變小于軸向產(chǎn)生的瞬時(shí)應(yīng)變，這與文獻(xiàn)[11]中的分析結(jié)論是一致的。

（2）td=η2/G1，反映了試樣達(dá)到穩(wěn)定蠕變階段所需的時(shí)間。由表2可知，軸向蠕變與徑向蠕變達(dá)到穩(wěn)定蠕變階段所需的時(shí)間均隨應(yīng)力水平的增加而增大。除第1級(jí)應(yīng)力水平外，在其他各級(jí)應(yīng)力水平下，軸向蠕變達(dá)到穩(wěn)定蠕變階段所需的時(shí)間要較徑向蠕變所需的時(shí)間長(zhǎng)。

表3 粉砂質(zhì)泥巖軸向模型參數(shù)與徑向模型參數(shù)的變化規(guī)律Table3 Variance laws between axial and radial model parameters of silty mudstone

4 非線性黏彈塑性蠕變模型

線性元件模型無(wú)法描述巖石加速蠕變階段的變化規(guī)律，而加速蠕變是巖石破壞失穩(wěn)的關(guān)鍵階段。因此，有必要進(jìn)一步研究粉砂質(zhì)泥巖加速蠕變階段的應(yīng)力-應(yīng)變-時(shí)間特征。

4.1 非線性蠕變模型的建立

在加速蠕變階段，應(yīng)力保持恒定不變，非線性蠕變實(shí)質(zhì)上是應(yīng)變-時(shí)間的非線性關(guān)系，元件模型中，用來(lái)表示應(yīng)變-時(shí)間關(guān)系的為黏性元件，因而可以用非線性黏性元件替換模型中的線性黏性元件，或在元件模型中增加一個(gè)非線性黏性元件?；诖?，提出一個(gè)非線性黏性元件，采用應(yīng)力觸發(fā)方式，將其與塑性元件并聯(lián)，組成一個(gè)新的非線性黏塑性元件，如圖4所示。

在恒定應(yīng)力S0作用下，非線性黏塑性元件的蠕變方程為

圖4 非線性黏塑性元件Fig.4 Nonlinear viscoplastic body model

式中：Sf為應(yīng)力閾值；a、b、η3為蠕變參數(shù)，由試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定；H(S0-Sf)為對(duì)應(yīng)的屈服準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

考慮到 Burgers模型可以準(zhǔn)確地描述粉砂質(zhì)泥巖的衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變特性，因此，可以將非線性黏塑性元件與 Burgers模型串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建一個(gè)新的六元件非線性黏彈塑性Burgers蠕變本構(gòu)模型，如圖5所示。

圖5 六元件非線性黏彈塑性Burgers蠕變本構(gòu)模型Fig.5 Six-component nonlinear viscoelasto-plastic Burgers creep constitutive model

在恒定應(yīng)力S0作用下，非線性Burgers模型滿足下述關(guān)系：

（1）當(dāng) S0＜Sf時(shí)，巖石未進(jìn)入加速蠕變階段，非線性黏塑性元件不發(fā)揮作用，非線性 Burgers模型退化為Burgers模型，其蠕變方程如式（1）所示。

（2）當(dāng) S0≥Sf時(shí)，巖石進(jìn)入加速蠕變階段，非線性 Burgers模型各部分元件均發(fā)揮作用，模型方程為

4.2 非線性Burgers模型參數(shù)辨識(shí)與驗(yàn)證

采用 L-M 算法對(duì)粉砂質(zhì)泥巖的加速蠕變?nèi)糖€進(jìn)行辨識(shí)，以軸向應(yīng)變和以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的非線性Burgers蠕變模型參數(shù)，分別如表3所示。

圖6分別為軸向與徑向蠕變的模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比圖，從圖中可以看出，模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線吻合較好，模型擬合曲線既反映了粉砂質(zhì)泥巖第1階段的衰減蠕變特性以及第2階段的穩(wěn)定蠕變特性，又反映了第3階段的加速蠕變特性。由此可見(jiàn)，非線性 Burgers模型可以準(zhǔn)確地描述粉砂質(zhì)泥巖在破裂應(yīng)力水平下的蠕變力學(xué)特性。

表3 以軸向應(yīng)變和徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的非線性Burgers模型參數(shù) (σ1-σ3= 19.8 MPa)Table3 Parameter values of nonlinear Burgers creep model identified by axial and radial strains

圖6 破裂應(yīng)力水平下巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線與模型擬合曲線Fig.6 Comparisons between creep curve and theoretical curve under failure stress level

5 巖石蠕變模型參數(shù)選取研究

粉砂質(zhì)泥巖蠕變模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果表明，在同一級(jí)應(yīng)力水平下試樣軸向與徑向的模型參數(shù)各自獨(dú)立并不統(tǒng)一，如表1、3所示，模型參數(shù)取值時(shí)應(yīng)考慮巖石蠕變所具有的各向異性特點(diǎn)。

依據(jù)文獻(xiàn)[11]中得出的巖石蠕變規(guī)律，結(jié)合巖石軸向與徑向模型參數(shù)的變化規(guī)律，本次蠕變?cè)囼?yàn)中，在前7級(jí)應(yīng)力水平下，試樣軸向的蠕變量、穩(wěn)態(tài)蠕變速率均大于徑向，模型參數(shù)應(yīng)取以軸向應(yīng)變辨識(shí)得到的Burgers模型參數(shù)；在第8級(jí)應(yīng)力水平下，即破壞前一級(jí)應(yīng)力水平下，試樣徑向的蠕變量、穩(wěn)態(tài)蠕變速率均大于軸向，模型參數(shù)應(yīng)取以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的 Burgers模型參數(shù)；在破裂應(yīng)力水平下，試樣徑向蠕變比軸向蠕變先進(jìn)入加速蠕變階段，且徑向的初始蠕變速率、穩(wěn)態(tài)蠕變速率以及加速蠕變速率均高于軸向相應(yīng)的蠕變速率，模型參數(shù)應(yīng)取以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的非線性 Burgers模型參數(shù)。蠕變模型參數(shù)取值時(shí)考慮巖石蠕變的各向異性以及軸向與徑向蠕變量、蠕變速率大小的差異，這對(duì)于巖石工程的長(zhǎng)期安全與穩(wěn)定評(píng)價(jià)是更合理的。

6 結(jié) 論

（1）選取 Burgers模型來(lái)描述粉砂質(zhì)泥巖的線性黏彈性蠕變特性，對(duì)比模型擬合曲線和試驗(yàn)曲線，二者吻合較好，表明 Burgers模型可以準(zhǔn)確地描述粉砂質(zhì)泥巖的衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變特性。

（2）依據(jù)Burgers模型參數(shù)所反映的物理意義，表明巖石徑向的瞬時(shí)彈性變形模量較軸向大；除第1級(jí)應(yīng)力水平外，在其他各級(jí)應(yīng)力水平下，軸向蠕變達(dá)到穩(wěn)定蠕變階段所需的時(shí)間要較徑向蠕變所需的時(shí)間長(zhǎng)；在前7級(jí)應(yīng)力水平下，軸向穩(wěn)態(tài)蠕變速率大于徑向穩(wěn)態(tài)蠕變速率，而在第8級(jí)應(yīng)力水平下，也即破壞前一級(jí)應(yīng)力水平下，徑向穩(wěn)態(tài)蠕變速率大于軸向穩(wěn)態(tài)蠕變速率。

（3）引入非線性黏塑性元件，將其與 Burgers模型串聯(lián)起來(lái)，建立一個(gè)新的六元件非線性黏彈塑性 Burgers蠕變本構(gòu)模型。模型擬合結(jié)果表明，該模型可以準(zhǔn)確的描述粉砂質(zhì)泥巖在破裂應(yīng)力水平下的蠕變力學(xué)特性。

（4）粉砂質(zhì)泥巖的蠕變具有各向異性的特點(diǎn)，在同一級(jí)應(yīng)力水平下軸向與徑向的蠕變模型參數(shù)各自獨(dú)立并不統(tǒng)一，模型參數(shù)取值時(shí)應(yīng)考慮巖石蠕變的各向異性以及軸向與徑向蠕變量、蠕變速率大小的差異。

（5）在前7級(jí)應(yīng)力水平下，試樣軸向的蠕變量、穩(wěn)態(tài)蠕變速率均大于徑向，模型參數(shù)應(yīng)取以軸向應(yīng)變辨識(shí)得到的Burgers模型參數(shù)；在第8級(jí)應(yīng)力水平下，即破壞前一級(jí)應(yīng)力水平下，試樣徑向的蠕變量、穩(wěn)態(tài)蠕變速率均大于軸向，模型參數(shù)應(yīng)取以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的 Burgers模型參數(shù)；在破裂應(yīng)力水平下，試樣徑向蠕變比軸向蠕變先進(jìn)入加速蠕變階段，且徑向的初始蠕變速率、穩(wěn)態(tài)蠕變速率以及加速蠕變速率均高于軸向相應(yīng)的蠕變速率，模型參數(shù)應(yīng)取以徑向應(yīng)變辨識(shí)得到的非線性 Burgers模型參數(shù)。

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