管宇，趙石磊，張迎春，賈慶賢

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150001；2.哈爾濱理工大學(xué)軟件學(xué)院，哈爾濱150040)

隨著以完成高精度和高穩(wěn)定度為航天任務(wù)的小衛(wèi)星概念的提出和應(yīng)用，對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可靠性和安全性提出了更高的要求.由于在軌衛(wèi)星長(zhǎng)期工作在失重、高低溫等惡劣環(huán)境下，而且衛(wèi)星部件故障具有不可修復(fù)性，因此，研究衛(wèi)星姿控系統(tǒng)的容錯(cuò)控制對(duì)提高衛(wèi)星在軌自主運(yùn)行可靠性有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

目前，針對(duì)衛(wèi)星容錯(cuò)控制方法的研究在理論和應(yīng)用上都取得了一定的研究成果［1-4］.例如，Cai［5］針對(duì)受外部干擾作用以及推力器失效故障的航天器姿態(tài)跟蹤問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)姿態(tài)容錯(cuò)控制器.Hou［6］基于控制有效因子設(shè)計(jì)了兩級(jí)Kalman濾波器的故障診斷系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)傳感器和執(zhí)行器故障的有效估計(jì).現(xiàn)有智能容錯(cuò)控制方法大多利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法［7-8］，通過對(duì)權(quán)值的自動(dòng)調(diào)節(jié)來實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)容錯(cuò)控制，但由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在權(quán)值在線調(diào)節(jié)復(fù)雜，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難于確定等缺點(diǎn)，在很大程度上限制了其應(yīng)用.核學(xué)習(xí)方法［9-10］能逼近任意非線性函數(shù)，且能夠利用所謂的“核技巧”通過內(nèi)積運(yùn)算來越過非線性映射，從而避免了維數(shù)災(zāi)難以及因“降維”所導(dǎo)致的性能下降問題，已被廣泛地應(yīng)用于非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)、控制等領(lǐng)域，也為非線性故障的診斷及容錯(cuò)控制提供了新的途徑.

文獻(xiàn)［11］采用內(nèi)?？刂圃恚o出了多狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)的容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)方法，但沒有考慮非線性情況下的容錯(cuò)控制問題.文獻(xiàn)［9］將多核學(xué)習(xí)支持向量機(jī)方法應(yīng)用于變壓器故障診斷，但沒有進(jìn)一步考慮故障的補(bǔ)償.本文針對(duì)衛(wèi)星模型存在的非線性和外部干擾特性，考慮傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在故障的姿態(tài)控制問題，在充分利用星上硬件冗余條件基礎(chǔ)上，提出一種將在線核學(xué)習(xí)方法與自適應(yīng)內(nèi)?？刂葡嘟Y(jié)合的容錯(cuò)控制方法.該方法在繼承自適應(yīng)內(nèi)?？刂苾?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，引入了一種基于正交匹配追蹤思想的在線核學(xué)習(xí)算法，利用所提出的在線學(xué)習(xí)算法來補(bǔ)償原系統(tǒng)的逆模型，有效地保證了故障后原系統(tǒng)與補(bǔ)償后的逆模型保持逆的關(guān)系，使得故障后系統(tǒng)能夠有效地跟蹤輸入信號(hào)，達(dá)到自適應(yīng)容錯(cuò)控制的目標(biāo).最后，將該方法應(yīng)用于衛(wèi)星的姿態(tài)控制.

1 自適應(yīng)容錯(cuò)控制策略

衛(wèi)星非線性動(dòng)力學(xué)模型方程為

式中:φ、θ、ψ分別為參考坐標(biāo)系的3個(gè)姿態(tài)角:滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角，ωo為軌道角速度，Ix、Iy、Iz為各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tx、Ty、Tz分別為3個(gè)軸上的控制量，即執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的控制力矩，Tdx、Tdy、Tdz分別為3個(gè)軸上的外部干擾力矩.

考慮非線性系統(tǒng)u(t)=［TxTyTz］T∈R為系統(tǒng)輸入，y(t)=［φ θ ψ］T∈R為系統(tǒng)輸出，R為有界緊集，系統(tǒng)輸入輸出階次分別為m和n(m≤n).則動(dòng)力學(xué)模型可描述為

式中:F(g)是定義在R上關(guān)于各變量連續(xù)的非線性函數(shù)，且滿足線性增長(zhǎng)性條件，即存在正常數(shù)ηi(1≤i≤m+n)使下式成立.

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

針對(duì)由微分方程描述的衛(wèi)星非線性系統(tǒng)，先利用在線核學(xué)習(xí)算法求得其逆系統(tǒng)，再將逆系統(tǒng)與原非線性系統(tǒng)復(fù)合成偽線性系統(tǒng)引入內(nèi)?？刂浦?，實(shí)現(xiàn)故障后系統(tǒng)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中內(nèi)?？刂浦袃?nèi)部模型為理想的α階積分環(huán)節(jié)，內(nèi)模控制器為濾波器與模型逆的乘積，偽線性系統(tǒng)的輸入為u，輸出為y*，閉環(huán)系統(tǒng)的參考輸入為r，輸出為y，d為干擾力矩.基于核學(xué)習(xí)算法的在線補(bǔ)償模塊用于辨識(shí)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)產(chǎn)生的變化:無故障時(shí)，誤差值小于算法所設(shè)定的門限，辨識(shí)算法不啟動(dòng).故障發(fā)生時(shí)，逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)輸出之間的誤差變大，核學(xué)習(xí)算法利用力矩差值作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，對(duì)故障狀況下的系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償.

圖1 基于在線補(bǔ)償?shù)腎MCFig.1 IMC based on online compensation

1.2 魯棒穩(wěn)定性研究

設(shè)圖1中偽線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)，內(nèi)部模型為Gm(s)，內(nèi)模控制器為GIMC(s).由于非線性建模誤差的存在，G(s)可看成若干線性定常系統(tǒng)組成的模型集合π，在頻域中可描述為

引理1 對(duì)于單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，具有建模誤差的被控對(duì)象傳遞函數(shù)為 Gp(s)，其模型為Gm(s)，控制器傳遞函數(shù)為Gc(s)，則保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

定理1 對(duì)于圖1所描述的內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)，保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為

證明:由圖1可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

從而，可以得到單位負(fù)反饋系統(tǒng)控制器的傳函:

式(1)由引理1可得

顯然可得

證畢.

本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)容錯(cuò)控制系統(tǒng)中的內(nèi)?？刂破鳛镚IMC(s)=F(s)(s)，代式(2)有

2 基于在線補(bǔ)償算法的偽線性系統(tǒng)

當(dāng)衛(wèi)星系統(tǒng)出現(xiàn)故障后，系統(tǒng)模型發(fā)生未知變化，要精確求得系統(tǒng)的逆模型難以實(shí)現(xiàn).本文提出了一種基于正交匹配追蹤的在線核學(xué)習(xí)算法，通過輸入輸出樣本辨識(shí)出逆系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，對(duì)故障后逆系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償.

圖2 基于在線補(bǔ)償?shù)谋孀R(shí)結(jié)構(gòu)Fig.2 Identification structure based on online compensation

2.1 α階積分逆系統(tǒng)

假設(shè)非線性系統(tǒng)Σ:u→y的動(dòng)力學(xué)模型可用一個(gè)輸入到輸出的非線性映射算子θ表示為

式中:yinv為可微函數(shù)為逆映射算子.

本文采用基于正交匹配追蹤的在線核學(xué)習(xí)算法補(bǔ)償故障后偽線性系統(tǒng)的α階積分逆系統(tǒng).

2.2 正交匹配追蹤算法

假設(shè)H為信號(hào)空間，集合D為N維希爾伯特空間中的向量集合，定義目標(biāo)函數(shù)f∈H的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)為［，通過參數(shù) αn，gγn∈D 的選擇使殘差函數(shù)‖f－~f‖最小化.匹配追蹤就是在集合D中尋找最能準(zhǔn)確表示f內(nèi)積結(jié)構(gòu)的子集來線性表示f函數(shù)，利用D在空間上的正交映射來連續(xù)估計(jì)f函數(shù).對(duì)于f的k階模型可分解為

式中:Rkf表示第k次估計(jì)后的殘差.

由k階估計(jì)模型更新到k+1階時(shí)，表示為

式中:＜γk，xn＞ =0，n=1，2，…，k.

利用輔助模型方程(5)，可以表示由k階模型，更新到k+1階估計(jì)模型的形式，且表示為

匹配追蹤算法的思想是尋找xnk+1∈D/Dk，使得

如果|＜Rkf，xnk+1＞ |＜δ，δ＞0，則算法終止.輔助方程中bk可以通過求解方程Vk=Akbk獲得，δ＞0確保了Ak的非奇異性，可得bk=(Ak)－1Vk，其中

2.3 基于正交匹配追蹤的在線核學(xué)習(xí)補(bǔ)償算法

將在線核學(xué)習(xí)方法引入正交匹配追蹤算法可以分解成以下3個(gè)問題:

2)基向量的取舍:使新樣本加入集合Dk中的計(jì)算的問題.當(dāng)一個(gè)新的樣本被觀測(cè)到后，由于在線算法在每個(gè)時(shí)刻獲得的觀測(cè)量不可能都與集合Dk中的向量正交，因此這里分2種情況來求解

情況1 新觀測(cè)樣本xk+1經(jīng)映射后不能被集合Dk中的映射樣本{φ(x1)，φ(x2)，…，φ(xs)}線性表示，即 ＜ γk，φ(xn)＞ ，γk≠0 時(shí).式中:表示系數(shù)向量n=1，2，…，k.

情況2 新觀測(cè)樣本xk+1經(jīng)映射后的φ(xk+1)能夠被集合Dk中映射樣本{φ(x1)，φ(x2)，…，φ(xs)}線性表示，即 γk≈0 時(shí)，根據(jù) Backfitting 算法［13］，需要對(duì)整個(gè)表達(dá)式進(jìn)行更新，更新式可以寫成:

3)核矩陣的遞歸計(jì)算:為了能夠減少在線計(jì)算量，這里給出2種情況下核矩陣的迭代方程，以減少在線計(jì)算量.根據(jù)上述的2種情況:

情況1 新觀測(cè)量xk+1映射后的φ(xk+1)能線性表示，不需要更新集合 Dk時(shí)，(Ak+1)－1=(Ak)－1.

情況2 新觀測(cè)量xk+1映射后的φ(xk+1)不能線性表示時(shí)，即Ak+1≠Ak，可通過下面的公式迭代計(jì)算得到(Ak+1)－1:

綜合上述分析，基于正交匹配追蹤的在線核學(xué)習(xí)算法可表述為:

初始化:選取參數(shù) v，δ(v，δ＞0)，令

1)獲得新樣本(xk+1，yk+1);

2)如果|＜Rkf，xk+1＞ |＜δ，返回1)，獲取新本;否則，計(jì)算 bk+1=(Ak)－1kk+1，δk+1=~kk+1－

若 δk+1＜ v，則按照式 (7)計(jì)算 αk+1，且(Ak+1)－1=(Ak)－1，Dk+1=Dk;

否則，按照式(8)計(jì)算 αk+1，并更新(Ak+1)－1，Dk+1=Dk∪{xk+1}.

3)返回1)，獲取新樣本.

3 容錯(cuò)控制仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文中提出的自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法的有效性，將在線補(bǔ)償?shù)膫尉€性系統(tǒng)引入到內(nèi)模控制中，并應(yīng)用Matlab/Simulink軟件分別對(duì)系統(tǒng)傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障進(jìn)行了仿真分析，衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Ib=diag(1.977，2.466，2.577)，kg·m2.衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)選為反作用飛輪，且外部干擾力矩分別為Tdx=A0(3cosω0+1)，Tdy=A0(1.5sin ω0t+3cosω0t)，Tdz=A0(3sin ω0t+1)，其中，A0=1.5 ×10－5N·m為干擾力矩幅值.衛(wèi)星初始值設(shè)定為ω0=0.001 105 8，rad/s初始角度誤差為［－0.18，－0.74，0.22］，rad; 初 始 角 速 度 誤 差 為［0.008 727 8，－0.009 831 3，－0.004 362 2］，rad/s.

由于涉及的故障為時(shí)間t的函數(shù)，因此輸入中加入了時(shí)間因素并對(duì)輸入輸出進(jìn)行歸一化處理，且選取高斯核函數(shù)的寬度取為σ=1，在線辨識(shí)方法參數(shù)選為 δ=0.001，v=0.001.另外，內(nèi)模控制中的濾波器選取二型濾波器，為了減小控制量，濾波器參數(shù)設(shè)置為λf=1，使系統(tǒng)能夠完全抑制階躍和斜坡擾動(dòng).

3.1 傳感器故障下容錯(cuò)控制仿真結(jié)果

假設(shè)x軸傳感器在t=100 s時(shí)姿態(tài)角發(fā)生大小為1 rad階躍型故障，而其他傳感器正常工作，仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 傳感器故障下容錯(cuò)控制仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of fault-tolerant control system with sensor failure

可見，x軸傳感器發(fā)生故障時(shí)，由于采用內(nèi)?？刂品椒?，系統(tǒng)能夠自適應(yīng)地調(diào)節(jié)傳感器故障，故障消失后，系統(tǒng)仍能有效跟蹤輸入，故障并不影響輸出，因此不需要在線補(bǔ)償調(diào)整.

3.2 執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障下容錯(cuò)控制仿真結(jié)果

假設(shè)x軸反作用飛輪在t=50∶150 s時(shí)發(fā)生大小為0.5 sin t(N·m)的故障，而其他反作用飛輪正常工作.由于考慮的執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障為非線性故障且為時(shí)間t的函數(shù)，因此，仿真中在線辨識(shí)模型的輸入部分加入了時(shí)間因素，仿真結(jié)果如圖4所示.可見，執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，逆模型已不能正確表示故障后的系統(tǒng)逆模，造成輸出偏差較大，在線補(bǔ)償算法啟動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)逆模型誤差進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后的系統(tǒng)能夠有效跟蹤輸入，衛(wèi)星的指向精度降低于0.2°.

圖4 執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障下容錯(cuò)控制仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of fault-tolerant control system with actuator failure

4 結(jié)束語

針對(duì)衛(wèi)星存在外部干擾力矩影響和傳感器、執(zhí)行機(jī)構(gòu)存在失效故障的問題，本文提出了一種基于在線核學(xué)習(xí)算法補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)容錯(cuò)控制方法.該方法通過辨識(shí)干擾所造成的模外動(dòng)態(tài)誤差，可有效補(bǔ)償故障后系統(tǒng)的逆模型，使之能夠準(zhǔn)確地表達(dá)故障系統(tǒng)的逆.并且，將故障后逆模型與原系統(tǒng)組成的偽線性系統(tǒng)引入衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)?？刂七M(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明該方法在保證系統(tǒng)一定性能品質(zhì)的情況下，能夠?qū)崿F(xiàn)故障的容錯(cuò)控制，具有一定的應(yīng)用前景.

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