萬 波，楊 超，黃 松，董 鵬

（1.華中科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.江漢大學(xué) 檔案館，湖北 武漢 430056）

城市公共服務(wù)設(shè)施布局狀況直接關(guān)系著城市公共服務(wù)供給的效率和質(zhì)量，對(duì)于推進(jìn)城市和諧社會(huì)建設(shè)起著基礎(chǔ)性的作用，因而公共服務(wù)設(shè)施選址問題引起了各國學(xué)者們的廣泛關(guān)注［1］。

TOREGAS等最早將集覆蓋選址模型應(yīng)用于解決消防中心和救護(hù)車等的應(yīng)急服務(wù)設(shè)施的選址問題［2］。MOORE等提出基于分級(jí)的帶容量限制的覆蓋選址模型，使各級(jí)服務(wù)設(shè)施覆蓋人口最大化［3］。PIZZOLATO等利用無容量約束的 P－中位模型，以所有居民到學(xué)校的總的行走距離最小化為目標(biāo)，對(duì)巴西的學(xué)校選址問題進(jìn)行了研究［4］。TEIXEIRA等將層級(jí)選址模型運(yùn)用于公共服務(wù)設(shè)施領(lǐng)域，對(duì)學(xué)校選址問題進(jìn)行了研究［5］。MARIANOV等考慮了擁塞情況下公立服務(wù)設(shè)施與私立服務(wù)設(shè)施的競(jìng)爭選址問題［6］。PLASTRIA等假設(shè)消費(fèi)者將全部需求分配給最有吸引力的設(shè)施，研究了同時(shí)優(yōu)化選址和設(shè)計(jì)決策的多設(shè)施選址問題［7］。EISELT等考慮了單個(gè)設(shè)施、一個(gè)設(shè)計(jì)屬性（即質(zhì)量）和需求非彈性的基于空間交互模型的競(jìng)爭選址問題［8］。ABOOLIAN等提出了一類離散情形下的競(jìng)爭選址設(shè)計(jì)問題，對(duì)選址和設(shè)施有限的設(shè)計(jì)情形進(jìn)行優(yōu)化［9］。

然而上述文獻(xiàn)中均未考慮需求點(diǎn)的消費(fèi)水平對(duì)于設(shè)施選址與設(shè)計(jì)的影響。此外，目前的選址問題對(duì)設(shè)施屬性設(shè)計(jì)主要限于容量設(shè)計(jì)，而對(duì)其他屬性設(shè)計(jì)研究得較少。

基于此，筆者通過定義消費(fèi)水平函數(shù)來反映顧客的消費(fèi)水平，通過重力模型來反映顧客對(duì)于公共設(shè)施的選擇概率，在預(yù)算有限制的條件下，建立了基于消費(fèi)水平的公共設(shè)施選址與設(shè)計(jì)模型。該模型不僅考慮了應(yīng)該在哪些備選設(shè)施節(jié)點(diǎn)處建立免費(fèi)設(shè)施或者收費(fèi)設(shè)施，同時(shí)也考慮了如何確定建立的每個(gè)收費(fèi)設(shè)施的屬性，由于該模型是一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問題，筆者設(shè)計(jì)了相應(yīng)的遺傳算法對(duì)該模型進(jìn)行求解。

1 模型背景與相關(guān)理論

1.1 問題背景

為了滿足各種需求層次的居民對(duì)公共服務(wù)的需求，需要考慮消費(fèi)水平與設(shè)施服務(wù)效用的差異性。各個(gè)需求點(diǎn)的人員組成結(jié)構(gòu)不同，收入水平也不同，導(dǎo)致其消費(fèi)水平存在差異性。在進(jìn)行收費(fèi)設(shè)施選址時(shí)，需考慮需求點(diǎn)的消費(fèi)水平，以保證在現(xiàn)有財(cái)政預(yù)算條件下，讓盡可能多的具有消費(fèi)能力的需求者能夠享受到優(yōu)質(zhì)資源。

1.2 符號(hào)含義與相關(guān)理論

1.2.1 符號(hào)含義

同時(shí)定義如下的決策變量:xij為源于需求點(diǎn)i的需求分配給j點(diǎn)收費(fèi)設(shè)施的份額；yj表示如果服務(wù)設(shè)施定位于j點(diǎn)，yj=1，否則為零；就屬性l而言，yjl為服務(wù)設(shè)施j相對(duì)于基本水平的改善水平。

1.2.2 Huff重力模型

引入Huff重力模型，對(duì)需求點(diǎn)的客戶進(jìn)行分配。同一個(gè)需求點(diǎn)的顧客按照設(shè)施的效用根據(jù)一定的概率來選擇各個(gè)設(shè)施。設(shè)施效用由距離與設(shè)施吸引力決定，其中吸引力由硬件與軟件等多種屬性決定。

對(duì)于收費(fèi)設(shè)施而言，位于j點(diǎn)設(shè)施的吸引力可定義為:

對(duì)于免費(fèi)設(shè)施而言，Aj=αj，即免費(fèi)設(shè)施的吸引力為基準(zhǔn)吸引力。位于j點(diǎn)的設(shè)施對(duì)于需求點(diǎn)i上顧客的效用為:

對(duì)于收費(fèi)設(shè)施而言，其效用與設(shè)施的吸引力成正比，與設(shè)施和需求點(diǎn)的距離成反比。對(duì)于免費(fèi)設(shè)施而言，因其吸引力為常量，故其效用僅與距離成反比［10］。對(duì)于收費(fèi)設(shè)施而言，需求點(diǎn)i上的客戶分配給設(shè)施j的比例為:

其中，分母表示需求點(diǎn)i分配給其所有收費(fèi)設(shè)施的效用與分配給其最近的一個(gè)免費(fèi)設(shè)施的效用之和，也就是說需求點(diǎn)的需求要么分配給最近的免費(fèi)設(shè)施，要么分配給收費(fèi)設(shè)施。

1.2.3 消費(fèi)水平函數(shù)

為了保證收費(fèi)設(shè)施服務(wù)效用最大化，即在目前財(cái)政預(yù)算限制條件下，盡可能充分發(fā)揮優(yōu)質(zhì)資源的使用效率，需要定義滿足如下性質(zhì)的消費(fèi)水平函數(shù):單調(diào)遞增的凹函數(shù)，且二階可微。這類函數(shù)很多，可選取如下函數(shù)作為消費(fèi)水平函數(shù):

當(dāng)Ri→∞時(shí)，g（Ri）→1，說明需求點(diǎn)i的需求分配給優(yōu)質(zhì)資源的比例趨近于1；當(dāng)Ri→0時(shí)，g（Ri）→0，說明需求點(diǎn)i的需求分配給優(yōu)質(zhì)資源的比例趨近于0，消費(fèi)水平函數(shù)圖如圖1所示［11］。

圖1 消費(fèi)水平函數(shù)圖

2 模型建立與求解算法

2.1 基于消費(fèi)水平的公共設(shè)施選址與設(shè)計(jì)模型

在進(jìn)行設(shè)施選址時(shí)，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的約束，需考慮的經(jīng)費(fèi)預(yù)算約束為:

上式左邊第一項(xiàng)為免費(fèi)設(shè)施的基本建設(shè)成本，第二項(xiàng)為收費(fèi)設(shè)施建設(shè)成本，包括基本建設(shè)成本與設(shè)施改善成本。式中cl（yjl）表示對(duì)于設(shè)施j而言，將屬性l由基本水平提高到y(tǒng)jl水平的成本，yj∈Vl，?j∈C。

筆者引入Huff重力模型，在最大覆蓋選址模型（maximum covering location model，MCLM）基礎(chǔ)上提出基于消費(fèi)水平的公共設(shè)施選址與設(shè)計(jì)模型（PFLDMCL），對(duì)公共服務(wù)設(shè)施選址與設(shè)計(jì)問題進(jìn)行求解。該模型以追求優(yōu)質(zhì)資源的效用最大化為目標(biāo)，考慮基本需求全覆蓋及設(shè)施建設(shè)經(jīng)費(fèi)約束等條件。模型目標(biāo)函數(shù)及約束如下:

其中，式（1）表示優(yōu)質(zhì)資源（收費(fèi)設(shè)施）服務(wù)效用最大化；式（2）～式（5）在Huff重力模型及消費(fèi)水平函數(shù)中已經(jīng)解釋；式（6）確保源于所有需求點(diǎn)的需求都能享受基本的免費(fèi)服務(wù)；式（7）表示當(dāng)j點(diǎn)未建立收費(fèi)設(shè)施時(shí)，設(shè)計(jì)變量為零；式（8）表示設(shè)施預(yù)算約束；式（9）和式（10）表示決策變量的取值范圍。

2.2 求解算法

由于最大覆蓋選址問題是 NP－h(huán)ard問題［12］，筆者的模型是在最大覆蓋選址模型基礎(chǔ)上建立的，因此也是NP－h(huán)ard問題，沒有有效的算法。筆者設(shè)計(jì)的算法分成兩部分，第一部分用LINGO軟件求解免費(fèi)設(shè)施的選址問題［13］，第二部分利用遺傳算法求解收費(fèi)設(shè)施的選址與設(shè)計(jì)問題。模型求解算法分成兩個(gè)階段。

第一階段求解如下集覆蓋問題:

第二階段利用遺傳算法求解最大覆蓋問題。

（1）調(diào)用crtbp函數(shù)，創(chuàng)建一個(gè)n位的染色體，種群個(gè)數(shù)為NIND的初始種群，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。染色體的前n0位為備選設(shè)施選址信息（0表示不作為設(shè)施選址點(diǎn)，1表示作為設(shè)施選址點(diǎn)），n1位為相應(yīng)選址點(diǎn)的屬性1的改善水平（0表示屬性為良好，1表示屬性為優(yōu)秀），n2位為屬性2的改善水平，以此類推。

圖2 染色體結(jié)構(gòu)

（2）根據(jù)選擇的初始種群求目標(biāo)函數(shù)值，迭代次數(shù)gen=0；

（3）調(diào)用ranking函數(shù)，分配適應(yīng)度值；

（4）調(diào)用select函數(shù)，使用隨機(jī)遍歷抽樣選擇NIND個(gè)個(gè)體；

（5）調(diào)用recombin函數(shù)和mut函數(shù)，以一定的交叉概率對(duì)種群進(jìn)行重組和變異操作，并檢驗(yàn)是否滿足式（8），對(duì)不滿足約束的變異，要隨機(jī)產(chǎn)生可以滿足約束條件的染色體；

（6）將步驟（4）和步驟（5）得到的種群進(jìn)行合并，選擇最優(yōu)的 NIND個(gè)個(gè)體組成新的種群NewChrom；

（7）將NewChrom作為初始的種群。gen=gen+1，重復(fù)步驟（3）及以下步驟的操作，直到gen達(dá)到最大迭代次數(shù)count時(shí)停止迭代，得出收費(fèi)設(shè)施的最優(yōu)解（j∈C）。

3 實(shí)例分析

以武漢市某區(qū)小學(xué)選址與設(shè)計(jì)為例，根據(jù)該區(qū)的人口分布情況進(jìn)行聚類，可將開發(fā)區(qū)居民點(diǎn)聚類成50 個(gè)需求點(diǎn)，即 I={i1，i2，…，i50}，設(shè)免費(fèi)設(shè)施候選點(diǎn)的集合F和收費(fèi)設(shè)施候選點(diǎn)的集合C與需求點(diǎn)的集合I相同，即F=C=I={i1，i2，…，i50}。將學(xué)校的屬性L確定為兩種:師資隊(duì)伍為1，硬件設(shè)備為2；將不同屬性的改善水平分為兩等，即良好和優(yōu)秀，將其量化為 Vl={0.1，0.2}；定義不同屬性的敏感度參數(shù){θ1，θ2}={2，1}。設(shè)引力敏感度參數(shù)、距離敏感度參數(shù)、消費(fèi)敏感度參數(shù)分別為α=β=λ=1，學(xué)校的基準(zhǔn)吸引力αj=1，設(shè)免費(fèi)設(shè)施的吸引力與基準(zhǔn)吸引力相同。免費(fèi)小學(xué)的覆蓋半徑為2.5 km。假設(shè)小學(xué)的基本建設(shè)成本為1000萬元，改善師資的成本c1（yj1）={c1（0.1，0.2）}={10，50}，改善設(shè)備的成本c2（yj2）={c2（0.1，0.2）}={5，25}，該區(qū)財(cái)政預(yù)算經(jīng)費(fèi)B=12900萬元。

為了切合真實(shí)情況，將dij考慮為學(xué)生從居住地到學(xué)校的實(shí)際行程，使用Arcview GIS網(wǎng)絡(luò)分析功能可求得距離矩陣。需求點(diǎn)i的消費(fèi)水平參數(shù)Ri由各個(gè)需求點(diǎn)的收入水平確定。wi為50個(gè)居民區(qū)的小學(xué)適齡入學(xué)學(xué)生人口數(shù)。因dij、Ri、wi數(shù)據(jù)量大，在此不一一列出。設(shè)置最大迭代次數(shù)count=100次，利用Matlab7.0編程，分3類情況進(jìn)行討論。

情況1 預(yù)算確定情況下的學(xué)校選址與設(shè)計(jì)問題求解結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖3可知，遺傳算法對(duì)求解該模型具有良好的收斂性，在迭代次數(shù)count=18時(shí)收斂。預(yù)算確定情況下，免費(fèi)與收費(fèi)設(shè)施的選址與設(shè)計(jì)屬性如圖4所示。由圖4可知，需建立10所免費(fèi)學(xué)校，其編號(hào)為:7，8，25，29，37，41，42，44，48，49；建立兩所收費(fèi)學(xué)校，其編號(hào)為:15，17，其中兩所學(xué)校的師資屬性均為優(yōu)秀，硬件屬性均為良好。兩所收費(fèi)學(xué)校距離較近，因?yàn)樵搮^(qū)域人口眾多，且為該區(qū)內(nèi)收入最高的區(qū)域，為了保證有能力的消費(fèi)者能夠充分享受到優(yōu)質(zhì)的教育資源，故選擇以上兩點(diǎn)作為收費(fèi)學(xué)校選址點(diǎn)。

圖3 預(yù)算確定時(shí)迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值關(guān)系圖

圖4 預(yù)算確定情況下學(xué)校選址與設(shè)計(jì)圖

情況2 新增需求點(diǎn)后學(xué)校選址與設(shè)計(jì)問題。假定該區(qū)需新建兩個(gè)配套生活小區(qū)，已存在設(shè)施的候選點(diǎn)集合不變，新增的兩個(gè)小區(qū)也作為候選點(diǎn)集，即 I={i1，i2，…，i52}，求解選址與設(shè)計(jì)問題，其求解結(jié)果如圖5所示。

圖5 新增需求點(diǎn)后迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值關(guān)系圖

由圖5可知，遺傳算法求解該模型具有良好的收斂性，在迭代次數(shù)count=41時(shí)收斂。新增需求點(diǎn)后學(xué)校選址與設(shè)計(jì)屬性如圖6所示。由圖6可知，需建立11所免費(fèi)學(xué)校，即在預(yù)算確定情況所確定的10所免費(fèi)學(xué)校的基礎(chǔ)上新增加1所編號(hào)為52的免費(fèi)學(xué)校，另外，需建立兩所收費(fèi)學(xué)校，其編號(hào)為:16，51，其中兩所學(xué)校的師資屬性均為良好，硬件屬性前者為優(yōu)秀，后者為良好。

圖6 新增需求點(diǎn)后學(xué)校選址與設(shè)計(jì)圖

結(jié)果表明，與情況1相比，在不增加預(yù)算的前提下，首先保證基本需求，即新增1所免費(fèi)學(xué)校，然而，由于預(yù)算并沒有增加，故收費(fèi)設(shè)施的服務(wù)等級(jí)要受到影響，即原來有兩個(gè)優(yōu)秀與兩個(gè)良好，現(xiàn)在變?yōu)?個(gè)優(yōu)秀，3個(gè)良好。另外，收費(fèi)學(xué)校選址點(diǎn)發(fā)生了變化，原因?yàn)樾略龅?1、52點(diǎn)的需求人數(shù)相當(dāng)大，且消費(fèi)水平較高，故新增的需求點(diǎn)附近要有收費(fèi)學(xué)校來滿足需求，同時(shí)為了平衡新建居民區(qū)與老居民區(qū)對(duì)優(yōu)質(zhì)教育資源的需求，因而選擇編號(hào)為16、51的點(diǎn)作為收費(fèi)學(xué)校選址點(diǎn)。

情況3 預(yù)算及消費(fèi)水平變化后的學(xué)校選址與設(shè)計(jì)問題。假定國家對(duì)公共設(shè)施的投入持續(xù)增長，消費(fèi)者的消費(fèi)水平持續(xù)提高，筆者以5年規(guī)劃為例，討論該區(qū)的預(yù)算及消費(fèi)水平變化后的學(xué)校選址與設(shè)計(jì)問題。假設(shè)財(cái)政預(yù)算經(jīng)費(fèi)B每年按4%增長，需求點(diǎn)的消費(fèi)水平Ri每年按10%增長，在此情況下免費(fèi)學(xué)校的選址情況不變，收費(fèi)學(xué)校的選址與設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 收費(fèi)學(xué)校選址及其屬性設(shè)計(jì)

由表1可知，隨著投入經(jīng)費(fèi)的增加與消費(fèi)水平的提高，第2年與第1年相比，兩所收費(fèi)學(xué)校的屬性發(fā)生了明顯的變化，即設(shè)備屬性均由良好變?yōu)閮?yōu)秀。第3年與第2年相比，收費(fèi)學(xué)校的數(shù)目發(fā)生了變化，即增加了1所收費(fèi)學(xué)校。同樣，第4年與第3年比屬性有改善，第5年與第4年比，增加了1所收費(fèi)學(xué)校。結(jié)果表明，隨著對(duì)公共設(shè)施投入水平的增加，優(yōu)質(zhì)資源從質(zhì)與量上均將得以改善。

4 結(jié)論

筆者考慮了顧客的消費(fèi)水平，基于Huff重力模型，以最大化收費(fèi)設(shè)施的效用為目標(biāo)，建立了一類基于消費(fèi)水平的公共設(shè)施選址與設(shè)計(jì)模型。筆者以武漢市某區(qū)為例進(jìn)行案例分析，結(jié)果表明，采用遺傳算法求解該模型的收斂性較好。從案例所討論的3種情況來看，收費(fèi)設(shè)施建設(shè)于人口比較集中且消費(fèi)水平較高的選址點(diǎn)；在不增加預(yù)算的前提下，首先保證基本需求，即新增免費(fèi)學(xué)校，而收費(fèi)設(shè)施的服務(wù)等級(jí)要受到影響；隨著對(duì)公共設(shè)施投入水平的增加，優(yōu)質(zhì)資源在質(zhì)與量上均將得到改善。

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